Question

David encontró cuatro palos de diferentes longitudes que pueden usarse para formar tres cuadriláteros cíclicos convexos no congruentes, $A,$ $B,$ $C,$ cada uno de los cuales puede inscribirse en un círculo de radio $1.$ Sea $\varphi_A$ la medida del ángulo agudo formado por las diagonales del cuadrilátero $A,$ y defina $\varphi_B$ y $\varphi_C$ de manera similar. Suponga que $\sin\varphi_A = \frac{2}{3},$ $\sin\varphi_B = \frac{3}{5},$ y $\sin\varphi_C = \frac{6}{7}.$ Los tres cuadriláteros tienen la misma área $K,$ que puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

David found four sticks of different lengths that can be used to form three non-congruent convex cyclic quadrilaterals, $A,$ $B,$ $C,$ which can each be inscribed in a circle with radius $1.$ Let $\varphi_A$ denote the measure of the acute angle made by the diagonals of quadrilateral $A,$ and define $\varphi_B$ and $\varphi_C$ similarly. Suppose that $\sin\varphi_A = \frac{2}{3},$ $\sin\varphi_B = \frac{3}{5},$ and $\sin\varphi_C = \frac{6}{7}.$ All three quadrilaterals have the same area $K,$ which can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Los cuatro palos son cuerdas del círculo unitario que subtienden arcos fijos $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ con $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ.$ Los tres cuadriláteros son los tres órdenes cíclicos distintos de los lados: digamos que $A$ tiene los arcos en orden $\alpha, \beta, \gamma, \delta;$ entonces $B$ (orden $\alpha, \gamma, \beta, \delta$ ) y $C$ (orden $\alpha, \beta, \delta, \gamma$ ) son los otros dos. El ángulo entre las diagonales de un cuadrilátero cíclico es la mitad de la suma de los arcos subtendidos por cualquiera de los dos pares de lados opuestos, así que $\sin\varphi_B = \sin\frac{\alpha + \beta}{2}$ y $\sin\varphi_C = \sin\frac{\alpha + \delta}{2} = \sin\frac{\beta + \gamma}{2}.$

En un círculo de radio $1,$ una cuerda que abarca un arco $\theta$ tiene longitud $2\sin\frac{\theta}{2}.$ Las diagonales de $A$ abarcan los arcos $\alpha + \beta$ y $\beta + \gamma,$ así que sus longitudes son $2\sin\varphi_B$ y $2\sin\varphi_C.$ Por lo tanto $\begin{aligned} &K = \frac{1}{2}\,d_1 d_2 \sin\varphi_A \\ &= 2\sin\varphi_A \sin\varphi_B \sin\varphi_C, \end{aligned}$ una fórmula simétrica en los tres cuadriláteros, razón por la cual las tres áreas son iguales.

Por lo tanto $K = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{7} = \frac{24}{35},$ y $m + n = 24 + 35 = 59.$

The four sticks are chords of the unit circle subtending fixed arcs $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ $\delta$ with $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ.$ The three quadrilaterals are the three distinct cyclic orders of the sides: say $A$ has arcs in order $\alpha, \beta, \gamma, \delta;$ then $B$ (order $\alpha, \gamma, \beta, \delta$ ) and $C$ (order $\alpha, \beta, \delta, \gamma$ ) are the other two. The angle between the diagonals of a cyclic quadrilateral is half the sum of the arcs subtended by either pair of opposite sides, so $\sin\varphi_B = \sin\frac{\alpha + \beta}{2}$ and $\sin\varphi_C = \sin\frac{\alpha + \delta}{2} = \sin\frac{\beta + \gamma}{2}.$

In a circle of radius $1,$ a chord spanning an arc $\theta$ has length $2\sin\frac{\theta}{2}.$ The diagonals of $A$ span the arcs $\alpha + \beta$ and $\beta + \gamma,$ so their lengths are $2\sin\varphi_B$ and $2\sin\varphi_C.$ Hence $\begin{aligned} &K = \frac{1}{2}\,d_1 d_2 \sin\varphi_A \\ &= 2\sin\varphi_A \sin\varphi_B \sin\varphi_C, \end{aligned}$ a formula symmetric in the three quadrilaterals, which is why all three areas are equal.

Therefore $K = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{6}{7} = \frac{24}{35},$ and $m + n = 24 + 35 = 59.$

2018 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años