Question

El área del menor triángulo equilátero con un vértice en cada uno de los lados del triángulo rectángulo de lados de longitud $2\sqrt{3},$ $5,$ y $\sqrt{37},$ como se muestra, es $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $n$ son primos entre sí, y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

The area of the smallest equilateral triangle with one vertex on each of the sides of the right triangle with side lengths $2\sqrt{3},$ $5,$ and $\sqrt{37},$ as shown, is $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Solución:

Coloca el ángulo recto en el origen con vértices $(0, 0),$ $(5, 0),$ y $(0, 2\sqrt{3}),$ de modo que la hipotenusa esté sobre la recta $2\sqrt{3}\,x + 5y = 10\sqrt{3}.$ Sea el lado del triángulo equilátero entre los dos catetos con extremos $(s\cos\theta, 0)$ y $(0, s\sin\theta),$ donde $s$ es la longitud del lado. Su punto medio es $\frac{s}{2}(\cos\theta, \sin\theta),$ y moverse una distancia $\frac{\sqrt{3}}{2}s$ perpendicular al lado coloca el tercer vértice en $\frac{s}{2}$ $\cdot\small\left(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta,\ \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta\right).$

Sustituir este vértice en la ecuación de la hipotenusa y simplificar da $s = \frac{20\sqrt{3}}{7\sqrt{3}\cos\theta + 11\sin\theta}.$ El denominador es a lo sumo $\sqrt{(7\sqrt{3})^2 + 11^2}$ $= \sqrt{268} = 2\sqrt{67},$ alcanzado para cierto valor admisible de $\theta,$ así que la longitud mínima del lado satisface $s^2 = \frac{(10\sqrt{3})^2}{67} = \frac{300}{67}.$

El área mínima es $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{300}{67} = \frac{75\sqrt{3}}{67},$ así que $m + n + p = 75 + 67 + 3 = 145.$

Place the right angle at the origin with vertices $(0, 0),$ $(5, 0),$ and $(0, 2\sqrt{3}),$ so the hypotenuse lies on the line $2\sqrt{3}\,x + 5y = 10\sqrt{3}.$ Let the equilateral triangle's side between the two legs have endpoints $(s\cos\theta, 0)$ and $(0, s\sin\theta),$ where $s$ is the side length. Its midpoint is $\frac{s}{2}(\cos\theta, \sin\theta),$ and moving a distance $\frac{\sqrt{3}}{2}s$ perpendicular to the side places the third vertex at $\frac{s}{2}$ $\cdot\small\left(\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta,\ \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta\right).$

Substituting this vertex into the hypotenuse equation and simplifying gives $s = \frac{20\sqrt{3}}{7\sqrt{3}\cos\theta + 11\sin\theta}.$ The denominator is at most $\sqrt{(7\sqrt{3})^2 + 11^2}$ $= \sqrt{268} = 2\sqrt{67},$ attained for an admissible $\theta,$ so the minimum side length satisfies $s^2 = \frac{(10\sqrt{3})^2}{67} = \frac{300}{67}.$

The minimum area is $\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{300}{67} = \frac{75\sqrt{3}}{67},$ so $m + n + p = 75 + 67 + 3 = 145.$

2017 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años