Question

Un bloque de madera tiene la forma de un cilindro circular recto con radio $6$ y altura $8,$ y toda su superficie ha sido pintada de azul. Los puntos $A$ y $B$ se eligen en el borde de una de las caras circulares del cilindro de modo que el arco $\overset{\frown}{AB}$ en esa cara mide $120^\circ.$ Luego el bloque se corta por la mitad a lo largo del plano que pasa por el punto $A,$ el punto $B,$ y el centro del cilindro, revelando una cara plana sin pintar en cada mitad. El área de una de estas caras sin pintar es $a\cdot\pi + b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

A block of wood has the shape of a right circular cylinder with radius $6$ and height $8,$ and its entire surface has been painted blue. Points $A$ and $B$ are chosen on the edge of one of the circular faces of the cylinder so that arc $\overset{\frown}{AB}$ on that face measures $120^\circ.$ The block is then sliced in half along the plane that passes through point $A,$ point $B,$ and the center of the cylinder, revealing a flat, unpainted face on each half. The area of one of these unpainted faces is $a\cdot\pi + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Coloca el bloque de pie sobre la cara que contiene a $A$ y $B,$ y sea $O'$ el centro de esa cara, $M$ el punto medio de $\overline{AB},$ y $O$ el centro del cilindro. El plano de corte encuentra la cara inferior en la cuerda $\overline{AB}$ y, por simetría respecto a $O,$ encuentra la cara superior en la cuerda reflejada, así que la cara cortada se proyecta verticalmente sobre la región $R'$ entre la cuerda $\overline{AB}$ y su imagen especular respecto a $O'$ (sombreada abajo). Cada segmento circular de $120^\circ$ recortado tiene área $\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \sin 120^\circ$ $= 12\pi - 9\sqrt{3},$ así que $R'$ tiene área $36\pi - 2\left(12\pi - 9\sqrt{3}\right)$ $= 12\pi + 18\sqrt{3}.$

Como $\overset{\frown}{AB} = 120^\circ,$ el triángulo $AO'B$ da $O'M = 6\cos 60^\circ = 3,$ y $OO' = 4,$ así que $OM = 5.$ La cara cortada es plana e inclinada respecto a la horizontal solo en la dirección de $\overline{O'M},$ con el ángulo $\theta$ tal que $\cos\theta = \frac{O'M}{OM} = \frac{3}{5}.$ Deshacer la proyección multiplica por lo tanto las áreas por $\frac{5}{3},$ así que la cara sin pintar tiene área $\frac{5}{3}\left(12\pi + 18\sqrt{3}\right) = 20\pi + 30\sqrt{3}.$ Por lo tanto $a + b + c = 20 + 30 + 3 = 53.$

Stand the block on the face containing $A$ and $B,$ and let $O'$ be the center of that face, $M$ the midpoint of $\overline{AB},$ and $O$ the center of the cylinder. The cutting plane meets the bottom face in chord $\overline{AB}$ and, by symmetry through $O,$ meets the top face in the reflected chord, so the cut face projects vertically onto the region $R'$ between chord $\overline{AB}$ and its mirror image through $O'$ (shaded below). Each $120^\circ$ circular segment cut off has area $\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 - \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \sin 120^\circ$ $= 12\pi - 9\sqrt{3},$ so $R'$ has area $36\pi - 2\left(12\pi - 9\sqrt{3}\right)$ $= 12\pi + 18\sqrt{3}.$

Since $\overset{\frown}{AB} = 120^\circ,$ triangle $AO'B$ gives $O'M = 6\cos 60^\circ = 3,$ and $OO' = 4,$ so $OM = 5.$ The cut face is planar and tilted from the horizontal only in the direction of $\overline{O'M},$ at the angle $\theta$ with $\cos\theta = \frac{O'M}{OM} = \frac{3}{5}.$ Undoing the projection therefore multiplies areas by $\frac{5}{3},$ so the unpainted face has area $\frac{5}{3}\left(12\pi + 18\sqrt{3}\right) = 20\pi + 30\sqrt{3}.$ Thus $a + b + c = 20 + 30 + 3 = 53.$

2015 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años