Question

Los círculos $\mathcal{P}$ y $\mathcal{Q}$ tienen radios $1$ y $4,$ respectivamente, y son tangentes exteriormente en el punto $A.$ El punto $B$ está en $\mathcal{P}$ y el punto $C$ está en $\mathcal{Q}$ de modo que la recta $BC$ es una tangente exterior común de los dos círculos. Una recta $\ell$ que pasa por $A$ corta de nuevo a $\mathcal{P}$ en $D$ y corta de nuevo a $\mathcal{Q}$ en $E.$ Los puntos $B$ y $C$ están del mismo lado de $\ell,$ y las áreas de $\triangle DBA$ y $\triangle ACE$ son iguales. Esta área común es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Circles $\mathcal{P}$ and $\mathcal{Q}$ have radii $1$ and $4,$ respectively, and are externally tangent at point $A.$ Point $B$ is on $\mathcal{P}$ and point $C$ is on $\mathcal{Q}$ so that line $BC$ is a common external tangent of the two circles. A line $\ell$ through $A$ intersects $\mathcal{P}$ again at $D$ and intersects $\mathcal{Q}$ again at $E.$ Points $B$ and $C$ lie on the same side of $\ell,$ and the areas of $\triangle DBA$ and $\triangle ACE$ are equal. This common area is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloca la recta $BC$ sobre el eje $x$ , de modo que los centros son $P = (0, 1)$ y $Q = (4, 4)$ (su distancia es $1 + 4 = 5$ ), con $B = (0, 0),$ $C = (4, 0),$ y el punto de tangencia $A = P + \frac{1}{5}(Q - P) = \left(\frac{4}{5}, \frac{8}{5}\right).$ La homotecia centrada en $A$ con razón $-4$ lleva $\mathcal{P}$ a $\mathcal{Q}$ y $D$ a $E,$ así que $AE = 4\,AD.$ Como $[DBA] = \frac{1}{2} AD \cdot d(B, \ell)$ y $[ACE] = \frac{1}{2} AE \cdot d(C, \ell),$ la condición de áreas iguales es $d(B, \ell) = 4\,d(C, \ell)$ con $B$ y $C$ del mismo lado de $\ell.$

Escribe $\ell$ como $u\left(x - \frac{4}{5}\right) + v\left(y - \frac{8}{5}\right) = 0.$ Sus valores con signo en $B$ y $C$ son $-\frac{4u + 8v}{5}$ y $\frac{16u - 8v}{5},$ así que la condición de mismo lado y razón $4$ queda $-(4u + 8v) = 4(16u - 8v),$ dando $24v = 68u,$ es decir $v = \frac{17}{6}u.$ Tomando $(u, v) = (6, 17),$ la recta es $6x + 17y = 32.$

Entonces $d(B, \ell) = \frac{32}{\sqrt{325}},$ y el centro $P = (0, 1)$ está a distancia $\frac{15}{\sqrt{325}}$ de $\ell,$ así que la cuerda da $AD = 2\sqrt{1 - \frac{225}{325}} = \frac{20}{\sqrt{325}}.$ El área común es $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{325}} \cdot \frac{32}{\sqrt{325}} \\ &= \frac{320}{325} = \frac{64}{65}, \end{aligned}$ así que $m + n = 64 + 65 = 129.$

Place line $BC$ on the $x$ -axis, so the centers are $P = (0, 1)$ and $Q = (4, 4)$ (their distance is $1 + 4 = 5$ ), with $B = (0, 0),$ $C = (4, 0),$ and the tangency point $A = P + \frac{1}{5}(Q - P) = \left(\frac{4}{5}, \frac{8}{5}\right).$ The homothety centered at $A$ with ratio $-4$ carries $\mathcal{P}$ to $\mathcal{Q}$ and $D$ to $E,$ so $AE = 4\,AD.$ Since $[DBA] = \frac{1}{2} AD \cdot d(B, \ell)$ and $[ACE] = \frac{1}{2} AE \cdot d(C, \ell),$ the equal-area condition is $d(B, \ell) = 4\,d(C, \ell)$ with $B$ and $C$ on the same side of $\ell.$

Write $\ell$ as $u\left(x - \frac{4}{5}\right) + v\left(y - \frac{8}{5}\right) = 0.$ Its signed values at $B$ and $C$ are $-\frac{4u + 8v}{5}$ and $\frac{16u - 8v}{5},$ so the same-side ratio- $4$ condition reads $-(4u + 8v) = 4(16u - 8v),$ giving $24v = 68u,$ i.e. $v = \frac{17}{6}u.$ Taking $(u, v) = (6, 17),$ the line is $6x + 17y = 32.$

Then $d(B, \ell) = \frac{32}{\sqrt{325}},$ and the center $P = (0, 1)$ is at distance $\frac{15}{\sqrt{325}}$ from $\ell,$ so the chord gives $AD = 2\sqrt{1 - \frac{225}{325}} = \frac{20}{\sqrt{325}}.$ The common area is $\begin{aligned} &\frac{1}{2} \cdot \frac{20}{\sqrt{325}} \cdot \frac{32}{\sqrt{325}} \\ &= \frac{320}{325} = \frac{64}{65}, \end{aligned}$ so $m + n = 64 + 65 = 129.$

2015 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años