Question

Los números $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,$ y $8$ se escriben al azar en las caras de un octaedro regular de modo que cada cara contiene un número diferente. La probabilidad de que no haya dos números consecutivos, donde $8$ y $1$ se consideran consecutivos, escritos en caras que comparten una arista es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The numbers $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,$ and $8$ are randomly written on the faces of a regular octahedron so that each face contains a different number. The probability that no two consecutive numbers, where $8$ and $1$ are considered to be consecutive, are written on faces that share an edge is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Pasa al cubo dual: las caras del octaedro corresponden a los vértices de un cubo, y dos caras comparten una arista exactamente cuando los vértices del cubo correspondientes son adyacentes. Seguir los números $1, 2, \ldots, 8$ y volver a $1$ traza un circuito cerrado de $8$ pasos por todos los vértices del cubo, y el requisito es que cada paso sea una diagonal (una arista de uno de los dos tetraedros inscritos, o una de las $4$ diagonales espaciales largas). Hay $16$ diagonales de este tipo.

Cada vértice está en exactamente una diagonal larga, así que el circuito no puede tomar dos diagonales largas seguidas, y cambiar entre los dos tetraedros solo es posible mediante una diagonal larga. Por lo tanto el circuito usa $4$ diagonales largas alternadas con aristas de tetraedro, o $2$ diagonales largas separadas por caminos de $3$ aristas en cada tetraedro. En el primer caso, elegir un par de aristas opuestas en cada tetraedro ( $3 \cdot 2$ formas) da $6$ octágonos, cada uno recorrible como $8 \cdot 2$ permutaciones: $96.$ En el segundo caso, un camino de $3$ aristas en un tetraedro puede elegirse de $4! = 24$ formas, y el camino de retorno por el otro tetraedro queda entonces forzado salvo $2$ opciones, dando $8 \cdot 24 \cdot 2 = 384$ permutaciones.

Así $96 + 384 = 480$ de los $8! = 40320$ etiquetados funcionan, y la probabilidad es $\frac{480}{40320} = \frac{1}{84}.$ Por lo tanto $m + n = 1 + 84 = 85.$

Pass to the dual cube: the octahedron's faces correspond to a cube's vertices, and two faces share an edge exactly when the corresponding cube vertices are adjacent. Following the numbers $1, 2, \ldots, 8$ and back to $1$ traces a closed $8$ -step circuit through all the cube's vertices, and the requirement is that every step is a diagonal (an edge of one of the two inscribed tetrahedra, or one of the $4$ long space diagonals). There are $16$ such diagonals.

Each vertex lies on exactly one long diagonal, so the circuit cannot take two long diagonals in a row, and switching between the two tetrahedra is possible only via a long diagonal. Hence the circuit uses either $4$ long diagonals alternating with tetrahedron edges, or $2$ long diagonals separated by $3$ -edge paths in each tetrahedron. In the first case, choosing a pair of opposite edges in each tetrahedron ( $3 \cdot 2$ ways) gives $6$ octagons, each traceable as $8 \cdot 2$ permutations: $96.$ In the second case, a $3$ -edge path in one tetrahedron can be chosen in $4! = 24$ ways, and the return path through the other tetrahedron is then forced up to $2$ choices, giving $8 \cdot 24 \cdot 2 = 384$ permutations.

So $96 + 384 = 480$ of the $8! = 40320$ labelings work, and the probability is $\frac{480}{40320} = \frac{1}{84}.$ Thus $m + n = 1 + 84 = 85.$

2001 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años