Question

Halla el número de 7-tuplas ordenadas $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7)$ que tienen las siguientes propiedades:

• $a_k \in \{1, 2, 3\}$ para todo $k.$

• $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ $+ a_5 + a_6 + a_7$ es un múltiplo de $3.$

• $a_1a_2a_4$ $+ a_2a_3a_5$ $+ a_3a_4a_6$ $+ a_4a_5a_7$ $+ a_5a_6a_1$ $+ a_6a_7a_2$ $+ a_7a_1a_3$ es un múltiplo de $3.$

Find the number of ordered 7-tuples $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7)$ having the following properties:

• $a_k \in \{1, 2, 3\}$ for all $k.$

• $a_1 + a_2 + a_3 + a_4$ $+ a_5 + a_6 + a_7$ is a multiple of $3.$

• $a_1a_2a_4$ $+ a_2a_3a_5$ $+ a_3a_4a_6$ $+ a_4a_5a_7$ $+ a_5a_6a_1$ $+ a_6a_7a_2$ $+ a_7a_1a_3$ is a multiple of $3.$

Respuesta

Solución:

Trabajamos módulo $3:$ las entradas $3$ son $0$ y las entradas $1, 2$ son $\pm 1.$ Como las diferencias de $\{0, 1, 3\}$ alcanzan cada residuo no nulo módulo $7$ exactamente una vez, las siete ternas $\{i, i+1, i+3\}$ son las rectas de un plano de Fano sobre las posiciones: cada par de posiciones está en exactamente una recta, y dos rectas cualesquiera se cortan en exactamente un punto. Sea $Z$ el conjunto de posiciones que tienen un $3$ y $k = |Z|.$ Un término producto sobrevive exactamente cuando su recta evita $Z,$ aportando $(-1)^{\#\{\text{2's on the line}\}},$ y la condición lineal obliga a que los $7 - k$ valores $\pm 1$ sumen $0$ módulo $3.$

Análisis por casos según $k.$ $k = 7:$ la tupla con todos $3$ funciona: $1.$ $k = 6:$ un único $\pm 1$ no puede sumar $0:$ ninguna. $k = 5:$ ninguna recta sobrevive; las dos entradas no nulas deben ser un $1$ y un $2:$ $\binom{7}{2} \cdot 2 = 42.$ $k = 4:$ tres $\pm 1$ suman $0$ solo si son todos iguales, y las tres posiciones no nulas no deben formar una recta, pues de lo contrario su producto es $\pm 1:$ $(35 - 7) \cdot 2 = 56.$ $k = 3:$ cuatro $\pm 1$ deben repartirse dos y dos; si $Z$ no es una recta, exactamente una recta la evita (arruinando la suma), mientras que si $Z$ es una recta ninguna recta la evita: $7 \cdot \binom{4}{2} = 42.$ $k = 2:$ cinco $\pm 1$ deben ir cuatro y uno; exactamente dos rectas evitan $Z,$ se cortan en un punto $p$ y cubren las cinco posiciones, y sus productos se cancelan exactamente cuando el único valor minoritario evita $p:$ $\binom{7}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 168.$ $k = 1:$ seis $\pm 1$ suman $0$ si son todos iguales o tres de cada; las cuatro rectas que evitan $Z$ se cortan por pares en las seis posiciones no nulas, y como el producto de los cuatro productos de recta es $+1,$ necesitamos exactamente dos rectas negativas. Todos iguales da $0$ o $4$ rectas negativas; para tres $2$ , viendo las posiciones como aristas de $K_4$ sobre las cuatro rectas, una recta es negativa exactamente cuando tiene grado impar en el conjunto de $3$ aristas elegido, y exactamente los $12$ caminos de tres aristas (de los $\binom{6}{3} = 20$ subconjuntos) dan dos grados impares: $7 \cdot 12 = 84.$ $k = 0:$ siete $\pm 1$ necesitan dos o cinco $2$ , que hacen $4$ o $3$ rectas negativas respectivamente, pero $7 - 2t \equiv 0 \pmod 3$ necesita $t \equiv 2 \pmod 3:$ ninguna.

El total es $1 + 42 + 56$ $+ 42 + 168 + 84 = 393.$

Work modulo $3:$ entries $3$ are $0$ and entries $1, 2$ are $\pm 1.$ Because the differences of $\{0, 1, 3\}$ hit every nonzero residue mod $7$ exactly once, the seven triples $\{i, i+1, i+3\}$ are the lines of a Fano plane on the positions: every pair of positions lies on exactly one line, and any two lines meet in exactly one point. Let $Z$ be the set of positions holding a $3$ and $k = |Z|.$ A product term survives exactly when its line avoids $Z,$ contributing $(-1)^{\#\{\text{2's on the line}\}},$ and the linear condition constrains the $7 - k$ values $\pm 1$ to sum to $0$ mod $3.$

Casework on $k.$ $k = 7:$ the all- $3$ s tuple works: $1.$ $k = 6:$ a single $\pm 1$ can't sum to $0:$ none. $k = 5:$ no line survives; the two nonzero entries must be a $1$ and a $2:$ $\binom{7}{2} \cdot 2 = 42.$ $k = 4:$ three $\pm 1$ s sum to $0$ only if all equal, and the three nonzero positions must not form a line, else its product is $\pm 1:$ $(35 - 7) \cdot 2 = 56.$ $k = 3:$ four $\pm 1$ s must split two and two; exactly one line avoids a non-line $Z$ (spoiling the sum), while a line $Z$ is avoided by no line: $7 \cdot \binom{4}{2} = 42.$ $k = 2:$ five $\pm 1$ s must go four and one; exactly two lines avoid $Z,$ meeting at a point $p$ and covering the five positions, and their products cancel exactly when the lone minority value avoids $p:$ $\binom{7}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 168.$ $k = 1:$ six $\pm 1$ s sum to $0$ if all equal or three of each; the four lines avoiding $Z$ pairwise meet in the six nonzero positions, and since the product of all four line-products is $+1,$ we need exactly two negative lines. All-equal gives $0$ or $4$ negative lines; for three $2$ 's, viewing positions as edges of $K_4$ on the four lines, a line is negative exactly when it has odd degree in the chosen $3$ -edge set, and exactly the $12$ three-edge paths (of the $\binom{6}{3} = 20$ subsets) give two odd degrees: $7 \cdot 12 = 84.$ $k = 0:$ seven $\pm 1$ s need two or five $2$ 's, which make $4$ or $3$ lines negative respectively, but $7 - 2t \equiv 0 \pmod 3$ needs $t \equiv 2 \pmod 3:$ none.

The total is $1 + 42 + 56$ $+ 42 + 168 + 84 = 393.$

2026 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años