Question

Los círculos $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ se intersecan en dos puntos, uno de los cuales es $(9, 6),$ y el producto de sus radios es $68.$ El eje $x$ y la recta $y = mx,$ donde $m \gt 0,$ son tangentes a ambos círculos. Se da que $m$ puede escribirse en la forma $a\sqrt{b}/c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, y $a$ y $c$ son primos entre sí. Halla $a + b + c.$

Circles $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ intersect at two points, one of which is $(9, 6),$ and the product of their radii is $68.$ The $x$ -axis and the line $y = mx,$ where $m \gt 0,$ are tangent to both circles. It is given that $m$ can be written in the form $a\sqrt{b}/c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, $b$ is not divisible by the square of any prime, and $a$ and $c$ are relatively prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Ambos círculos son tangentes al eje $x$ y a $y = mx,$ así que ambos centros están en la bisectriz del ángulo del primer cuadrante entre esas rectas. Si la bisectriz forma un ángulo $\alpha$ con el eje $x$ , entonces $m = \tan 2\alpha,$ y cada centro tiene la forma $(x_i, \, x_i \tan\alpha)$ con radio $r_i = x_i \tan\alpha$ (su distancia al eje $x$ ).

Como $(9, 6)$ está en cada círculo, $(9 - x_i)^2 + (6 - x_i \tan\alpha)^2$ $= x_i^2 \tan^2\alpha,$ que se expande a $\begin{aligned} &x_i^2 - (18 + 12\tan\alpha)\,x_i + 117 \\ &= 0. \end{aligned}$ Tanto $x_1$ como $x_2$ satisfacen esta única cuadrática, así que por las fórmulas de Vieta $x_1 x_2 = 117.$ Entonces $r_1 r_2$ $= x_1 x_2 \tan^2\alpha$ $= 117 \tan^2\alpha$ $= 68,$ así que $\tan^2\alpha = \frac{68}{117}$ y $\tan\alpha = \frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{13}}.$

Finalmente, $\begin{aligned} m &= \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \\ &= \frac{2\tan\alpha}{49/117} \\ &= \frac{234}{49} \cdot \frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{13}} \\ &= \frac{156\sqrt{17}}{49\sqrt{13}} \\ &= \frac{12\sqrt{221}}{49}, \end{aligned}$ así que $a + b + c$ $= 12 + 221 + 49$ $= 282.$

Both circles are tangent to the $x$ -axis and to $y = mx,$ so both centers lie on the bisector of the first-quadrant angle between those lines. If the bisector makes angle $\alpha$ with the $x$ -axis, then $m = \tan 2\alpha,$ and each center has the form $(x_i, \, x_i \tan\alpha)$ with radius $r_i = x_i \tan\alpha$ (its distance to the $x$ -axis).

Since $(9, 6)$ lies on each circle, $(9 - x_i)^2 + (6 - x_i \tan\alpha)^2$ $= x_i^2 \tan^2\alpha,$ which expands to $\begin{aligned} &x_i^2 - (18 + 12\tan\alpha)\,x_i + 117 \\ &= 0. \end{aligned}$ Both $x_1$ and $x_2$ satisfy this one quadratic, so by Vieta's formulas $x_1 x_2 = 117.$ Then $r_1 r_2$ $= x_1 x_2 \tan^2\alpha$ $= 117 \tan^2\alpha$ $= 68,$ so $\tan^2\alpha = \frac{68}{117}$ and $\tan\alpha = \frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{13}}.$

Finally, $\begin{aligned} m &= \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} \\ &= \frac{2\tan\alpha}{49/117} \\ &= \frac{234}{49} \cdot \frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{13}} \\ &= \frac{156\sqrt{17}}{49\sqrt{13}} \\ &= \frac{12\sqrt{221}}{49}, \end{aligned}$ so $a + b + c$ $= 12 + 221 + 49$ $= 282.$

2002 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años