Question

El perímetro del triángulo $APM$ es $152,$ y el ángulo $PAM$ es un ángulo recto. Se traza un círculo de radio $19$ con centro $O$ en $\overline{AP}$ de modo que es tangente a $\overline{AM}$ y $\overline{PM}.$ Dado que $OP = m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

The perimeter of triangle $APM$ is $152,$ and angle $PAM$ is a right angle. A circle of radius $19$ with center $O$ on $\overline{AP}$ is drawn so that it is tangent to $\overline{AM}$ and $\overline{PM}.$ Given that $OP = m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $T$ el punto donde el círculo toca $\overline{PM}.$ Como $\overline{AM} \perp \overline{AP}$ y $O$ está en $\overline{AP}$ a distancia $19$ de la recta $AM,$ el círculo es tangente a $\overline{AM}$ en $A$ mismo, así que las dos tangentes desde $M$ dan $MT = MA.$ Los triángulos rectángulos $POT$ y $PMA$ (ángulos rectos en $T$ y $A$ ) comparten el ángulo $P,$ así que son semejantes con razón $\frac{OT}{MA} = \frac{19}{MA}.$

El perímetro del triángulo pequeño es $PO + OT + TP$ $= (PA - 19) + 19 + TP$ $= PA + PT,$ y como $MT = MA,$ $\begin{aligned} PA + PT &= PA + PM - MT \\ &= 152 - 2\,MA. \end{aligned}$ Los perímetros de triángulos semejantes están en la razón de semejanza, así que $\frac{19}{MA} = \frac{152 - 2\,MA}{152},$ que se simplifica a $MA^2 - 76\,MA + 1444$ $= (MA - 38)^2$ $= 0.$ Por lo tanto $MA = 38.$

La razón de semejanza es entonces $\frac{19}{38} = \frac{1}{2},$ así que $PO = \frac{1}{2} PM.$ Del perímetro, $PA + PM = 152 - 38 = 114,$ y $PA = PO + 19,$ así que $\frac{1}{2} PM + 19 + PM = 114,$ dando $PM = \frac{190}{3}$ y $OP = \frac{95}{3}.$ Por lo tanto $m + n = 95 + 3 = 98.$

Let $T$ be the point where the circle touches $\overline{PM}.$ Since $\overline{AM} \perp \overline{AP}$ and $O$ lies on $\overline{AP}$ at distance $19$ from line $AM,$ the circle is tangent to $\overline{AM}$ at $A$ itself, so the two tangents from $M$ give $MT = MA.$ Right triangles $POT$ and $PMA$ (right angles at $T$ and $A$ ) share angle $P,$ so they are similar with ratio $\frac{OT}{MA} = \frac{19}{MA}.$

The small triangle's perimeter is $PO + OT + TP$ $= (PA - 19) + 19 + TP$ $= PA + PT,$ and since $MT = MA,$ $\begin{aligned} PA + PT &= PA + PM - MT \\ &= 152 - 2\,MA. \end{aligned}$ Perimeters of similar triangles are in the ratio of similarity, so $\frac{19}{MA} = \frac{152 - 2\,MA}{152},$ which simplifies to $MA^2 - 76\,MA + 1444$ $= (MA - 38)^2$ $= 0.$ Thus $MA = 38.$

The ratio of similarity is then $\frac{19}{38} = \frac{1}{2},$ so $PO = \frac{1}{2} PM.$ From the perimeter, $PA + PM = 152 - 38 = 114,$ and $PA = PO + 19,$ so $\frac{1}{2} PM + 19 + PM = 114,$ giving $PM = \frac{190}{3}$ and $OP = \frac{95}{3}.$ Hence $m + n = 95 + 3 = 98.$

2002 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años