Question

Un unicornio está atado con una cuerda plateada de $20$ pies a la base de la torre cilíndrica de un mago cuyo radio es $8$ pies. La cuerda está sujeta a la torre a nivel del suelo y al unicornio a una altura de $4$ pies. El unicornio ha tensado la cuerda, el extremo de la cuerda está a $4$ pies del punto más cercano de la torre, y la longitud de la cuerda que toca la torre es $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$ pies, donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ es primo. Halla $a + b + c.$

A unicorn is tethered by a $20$ -foot silver rope to the base of a magician's cylindrical tower whose radius is $8$ feet. The rope is attached to the tower at ground level and to the unicorn at a height of $4$ feet. The unicorn has pulled the rope taut, the end of the rope is $4$ feet from the nearest point on the tower, and the length of the rope that is touching the tower is $\frac{a - \sqrt{b}}{c}$ feet, where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

La cuerda va desde su anclaje $A$ en la base de la torre, se pega a la pared hasta un punto $P$ , luego va recta hasta su extremo $Q$ , que está a altura $4$ y a distancia $8 + 4 = 12$ del eje de la torre. Desenrolla la pared del cilindro en un plano: una cuerda tensa se vuelve un solo segmento recto de longitud $20$ que sube $4$ pies, así que su proyección horizontal tiene longitud $\sqrt{20^2 - 4^2} = 8\sqrt{6}$ , y cada trozo de la cuerda tiene la misma razón $\frac{20}{8\sqrt{6}} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$ entre longitud y proyección horizontal.

Vista desde arriba, la parte libre $PQ$ es tangente a la circunferencia de radio $8$ en $P$ desde un punto a distancia $12$ , así que su proyección horizontal tiene longitud $\sqrt{12^2 - 8^2} = 4\sqrt{5}$ . Por lo tanto $\begin{aligned} PQ &= \frac{5}{2\sqrt{6}} \cdot 4\sqrt{5} \\ &= \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{5\sqrt{30}}{3}. \end{aligned}$

La cuerda que toca la torre tiene longitud $20 - \frac{5\sqrt{30}}{3} = \frac{60 - \sqrt{750}}{3},$ y $c = 3$ es primo, así que $a + b + c = 60 + 750 + 3 = 813.$

The rope runs from its anchor $A$ at the base of the tower, hugs the wall up to a point $P,$ then goes straight to its end $Q,$ which is at height $4$ and at distance $8 + 4 = 12$ from the tower's axis. Unroll the cylinder's wall into a plane: a taut rope becomes a single straight segment of length $20$ rising $4$ feet, so its horizontal projection has length $\sqrt{20^2 - 4^2} = 8\sqrt{6},$ and every piece of the rope has the same ratio $\frac{20}{8\sqrt{6}} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$ of length to horizontal projection.

Viewed from above, the free portion $PQ$ is tangent to the circle of radius $8$ at $P$ from a point at distance $12,$ so its horizontal projection has length $\sqrt{12^2 - 8^2} = 4\sqrt{5}.$ Therefore $\begin{aligned} PQ &= \frac{5}{2\sqrt{6}} \cdot 4\sqrt{5} \\ &= \frac{10\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \\ &= \frac{5\sqrt{30}}{3}. \end{aligned}$

The rope touching the tower has length $20 - \frac{5\sqrt{30}}{3} = \frac{60 - \sqrt{750}}{3},$ and $c = 3$ is prime, so $a + b + c = 60 + 750 + 3 = 813.$

2004 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años