Question

Halle el menor factor primo impar de $2019^8 + 1.$

Find the least odd prime factor of $2019^8 + 1.$

Respuesta

Solución:

Suponga que un primo impar $p$ divide a $2019^8 + 1.$ Entonces $2019^8 \equiv -1 \pmod{p},$ así que $2019^{16} \equiv 1$ mientras que $2019^8 \not\equiv 1:$ el orden multiplicativo de $2019$ módulo $p$ es exactamente $16.$ Como el orden divide a $p - 1,$ necesitamos $p \equiv 1 \pmod{16},$ y los menores primos de ese tipo son $17$ y $97.$

Módulo $17:$ $2019 \equiv 13,$ y $13^2 = 169 \equiv -1,$ así que $2019^8 \equiv (-1)^4 = 1$ y $2019^8 + 1 \equiv 2 \neq 0.$ Módulo $97:$ $2019 \equiv -18,$ y elevando al cuadrado repetidamente, $\begin{aligned} 2019^2 &\equiv 324 \equiv 33, \\ 2019^4 &\equiv 33^2 = 1089 \\ &\equiv 22, \\ 2019^8 &\equiv 22^2 = 484 \\ &\equiv -1 \pmod{97}. \end{aligned}$

Así que $97$ divide a $2019^8 + 1,$ y es el menor factor primo impar: $97.$

Suppose an odd prime $p$ divides $2019^8 + 1.$ Then $2019^8 \equiv -1 \pmod{p},$ so $2019^{16} \equiv 1$ while $2019^8 \not\equiv 1:$ the multiplicative order of $2019$ modulo $p$ is exactly $16.$ Since the order divides $p - 1,$ we need $p \equiv 1 \pmod{16},$ and the smallest such primes are $17$ and $97.$

Modulo $17:$ $2019 \equiv 13,$ and $13^2 = 169 \equiv -1,$ so $2019^8 \equiv (-1)^4 = 1$ and $2019^8 + 1 \equiv 2 \neq 0.$ Modulo $97:$ $2019 \equiv -18,$ and squaring repeatedly, $\begin{aligned} 2019^2 &\equiv 324 \equiv 33, \\ 2019^4 &\equiv 33^2 = 1089 \\ &\equiv 22, \\ 2019^8 &\equiv 22^2 = 484 \\ &\equiv -1 \pmod{97}. \end{aligned}$

So $97$ divides $2019^8 + 1,$ and it is the least odd prime factor: $97.$

2019 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años