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2003 AIME II Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2003 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2003 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

Sean A=(0,0)A = (0, 0) y B=(b,2)B = (b, 2) puntos en el plano coordenado. Sea ABCDEFABCDEF un hexágono equilátero convexo tal que ∠FAB=120∘,\angle FAB = 120^\circ, AB‾∥DE‾,\overline{AB} \parallel \overline{DE}, BC‾∥EF‾,\overline{BC} \parallel \overline{EF}, CD‾∥FA‾,\overline{CD} \parallel \overline{FA}, y las coordenadas yy de sus vértices son elementos distintos del conjunto {0,2,4,6,8,10}.\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}. El área del hexágono puede escribirse en la forma mn,m\sqrt{n}, donde mm y nn son enteros positivos y nn no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla m+n.m + n.
Let A=(0,0)A = (0, 0) and B=(b,2)B = (b, 2) be points on the coordinate plane. Let ABCDEFABCDEF be a convex equilateral hexagon such that ∠FAB=120∘,\angle FAB = 120^\circ, AB‾∥DE‾,\overline{AB} \parallel \overline{DE}, BC‾∥EF‾,\overline{BC} \parallel \overline{EF}, CD‾∥FA‾,\overline{CD} \parallel \overline{FA}, and the yy-coordinates of its vertices are distinct elements of the set {0,2,4,6,8,10}.\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}. The area of the hexagon can be written in the form mn,m\sqrt{n}, where mm and nn are positive integers and nn is not divisible by the square of any prime. Find m+n.m + n.
Respuesta: 51
Conceptos:geometría analíticavectorsimetría
Nivel de dificultad: 3060
Pista pequeña:
Los lados opuestos iguales y paralelos hacen que el hexágono sea centralmente simétrico, así que las coordenadas yy de los vértices opuestos tienen todas la misma suma
Equal, parallel opposite sides make the hexagon centrally symmetric, so the yy-coordinates of opposite vertices all have the same sum
Pista grande:
Las coordenadas yy en orden son 0,0, 2,2, 6,6, 10,10, 8,8, 4.4. Expresa ∠FAB=120∘\angle FAB = 120^\circ como un producto escalar y despeja la longitud del lado
The yy-coordinates in order are 0,0, 2,2, 6,6, 10,10, 8,8, 4.4. Express ∠FAB=120∘\angle FAB = 120^\circ as a dot product and solve for the side length
Solución:
Los lados opuestos son paralelos, de igual longitud, y recorridos en direcciones opuestas, así que AB→=ED→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}, BC→=FE→,\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FE}, CD→=AF→:\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}: el hexágono es centralmente simétrico, y las coordenadas yy de los vértices opuestos comparten una suma común, a saber 0+2+⋯+103=10.\frac{0 + 2 + \cdots + 10}{3} = 10. De yA=0y_A = 0 y yB=2y_B = 2 obtenemos yD=10,y_D = 10, yE=8,y_E = 8, y la convexidad da yC=6,y_C = 6, yF=4.y_F = 4. Escribe AB→=(b,2),\overrightarrow{AB} = (b, 2), BC→=(p,4),\overrightarrow{BC} = (p, 4), CD→=(q,4).\overrightarrow{CD} = (q, 4). Las longitudes iguales de los lados dan s2=b2+4s^2 = b^2 + 4 =p2+16= p^2 + 16 =q2+16,= q^2 + 16, así que p=±q;p = \pm q; como p=qp = q haría que B,B, C,C, DD fueran colineales, p=−q.p = -q.
Como AF→=CD→,\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{CD}, tenemos F=(q,4),F = (q, 4), y ∠FAB=120∘\angle FAB = 120^\circ da AB→⋅AF→=bq+8=−s22=−b2+42. \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} &= bq + 8 \\ &= -\frac{s^2}{2} = -\frac{b^2 + 4}{2}. \end{aligned} Tomar b>0b \gt 0 obliga a q<0,q \lt 0, así que q=−b2−12,q = -\sqrt{b^2 - 12}, y la ecuación se convierte en bb2−12=b2+202.b\sqrt{b^2 - 12} = \frac{b^2 + 20}{2}. Elevar al cuadrado da 3b4−88b2−400=0,3b^4 - 88b^2 - 400 = 0, así que b2=1003,b^2 = \frac{100}{3}, lo que da b=103,b = \frac{10}{\sqrt{3}}, q=−83,q = -\frac{8}{\sqrt{3}}, p=83.p = \frac{8}{\sqrt{3}}.
Los vértices son A=(0,0),A = (0, 0), B=(103,2),B = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 2\right), C=(63,6),C = (6\sqrt{3}, 6), D=(103,10),D = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 10\right), E=(0,8),E = (0, 8), F=(−83,4).F = \left(-\frac{8}{\sqrt{3}}, 4\right). El hexágono se divide en el paralelogramo ABDE,ABDE, con lado vertical AE=8AE = 8 y desplazamiento horizontal bb (área 8b8b), más los dos triángulos congruentes BCDBCD y EFA,EFA, cada uno con base vertical 88 y altura horizontal 83.\frac{8}{\sqrt{3}}. El área total es 8⋅103+2⋅12⋅8⋅83=1443=483, \begin{aligned} &8 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{3}} = 48\sqrt{3}, \end{aligned} así que m+n=48+3=51.m + n = 48 + 3 = 51.
Opposite sides are parallel, equal in length, and traversed in opposite directions, so AB→=ED→,\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED}, BC→=FE→,\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FE}, CD→=AF→:\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}: the hexagon is centrally symmetric, and opposite vertices’ yy-coordinates share a common sum, namely 0+2+⋯+103=10.\frac{0 + 2 + \cdots + 10}{3} = 10. From yA=0y_A = 0 and yB=2y_B = 2 we get yD=10,y_D = 10, yE=8,y_E = 8, and convexity puts yC=6,y_C = 6, yF=4.y_F = 4. Write AB→=(b,2),\overrightarrow{AB} = (b, 2), BC→=(p,4),\overrightarrow{BC} = (p, 4), CD→=(q,4).\overrightarrow{CD} = (q, 4). Equal side lengths give s2=b2+4s^2 = b^2 + 4 =p2+16= p^2 + 16 =q2+16,= q^2 + 16, so p=±q;p = \pm q; since p=qp = q would make B,B, C,C, DD collinear, p=−q.p = -q.
Since AF→=CD→,\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{CD}, we have F=(q,4),F = (q, 4), and ∠FAB=120∘\angle FAB = 120^\circ gives AB→⋅AF→=bq+8=−s22=−b2+42. \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} &= bq + 8 \\ &= -\frac{s^2}{2} = -\frac{b^2 + 4}{2}. \end{aligned} Taking b>0b \gt 0 forces q<0,q \lt 0, so q=−b2−12,q = -\sqrt{b^2 - 12}, and the equation becomes bb2−12=b2+202.b\sqrt{b^2 - 12} = \frac{b^2 + 20}{2}. Squaring yields 3b4−88b2−400=0,3b^4 - 88b^2 - 400 = 0, so b2=1003,b^2 = \frac{100}{3}, giving b=103,b = \frac{10}{\sqrt{3}}, q=−83,q = -\frac{8}{\sqrt{3}}, p=83.p = \frac{8}{\sqrt{3}}.
The vertices are A=(0,0),A = (0, 0), B=(103,2),B = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 2\right), C=(63,6),C = (6\sqrt{3}, 6), D=(103,10),D = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 10\right), E=(0,8),E = (0, 8), F=(−83,4).F = \left(-\frac{8}{\sqrt{3}}, 4\right). The hexagon splits into the parallelogram ABDE,ABDE, with vertical side AE=8AE = 8 and horizontal offset bb (area 8b8b), plus the two congruent triangles BCDBCD and EFA,EFA, each with vertical base 88 and horizontal height 83.\frac{8}{\sqrt{3}}. The total area is 8⋅103+2⋅12⋅8⋅83=1443=483, \begin{aligned} &8 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{3}} = 48\sqrt{3}, \end{aligned} so m+n=48+3=51.m + n = 48 + 3 = 51.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

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