Question

Sean $A = (0, 0)$ y $B = (b, 2)$ puntos en el plano coordenado. Sea $ABCDEF$ un hexágono equilátero convexo tal que $\angle FAB = 120^\circ,$ $\overline{AB} \parallel \overline{DE},$ $\overline{BC} \parallel \overline{EF},$ $\overline{CD} \parallel \overline{FA},$ y las coordenadas $y$ de sus vértices son elementos distintos del conjunto $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}.$ El área del hexágono puede escribirse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

Let $A = (0, 0)$ and $B = (b, 2)$ be points on the coordinate plane. Let $ABCDEF$ be a convex equilateral hexagon such that $\angle FAB = 120^\circ,$ $\overline{AB} \parallel \overline{DE},$ $\overline{BC} \parallel \overline{EF},$ $\overline{CD} \parallel \overline{FA},$ and the $y$ -coordinates of its vertices are distinct elements of the set $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}.$ The area of the hexagon can be written in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Los lados opuestos son paralelos, de igual longitud, y recorridos en direcciones opuestas, así que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED},$ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FE},$ $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}:$ el hexágono es centralmente simétrico, y las coordenadas $y$ de los vértices opuestos comparten una suma común, a saber $\frac{0 + 2 + \cdots + 10}{3} = 10.$ De $y_A = 0$ y $y_B = 2$ obtenemos $y_D = 10,$ $y_E = 8,$ y la convexidad da $y_C = 6,$ $y_F = 4.$ Escribe $\overrightarrow{AB} = (b, 2),$ $\overrightarrow{BC} = (p, 4),$ $\overrightarrow{CD} = (q, 4).$ Las longitudes iguales de los lados dan $s^2 = b^2 + 4$ $= p^2 + 16$ $= q^2 + 16,$ así que $p = \pm q;$ como $p = q$ haría que $B,$ $C,$ $D$ fueran colineales, $p = -q.$

Como $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{CD},$ tenemos $F = (q, 4),$ y $\angle FAB = 120^\circ$ da $\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} &= bq + 8 \\ &= -\frac{s^2}{2} = -\frac{b^2 + 4}{2}. \end{aligned}$ Tomar $b \gt 0$ obliga a $q \lt 0,$ así que $q = -\sqrt{b^2 - 12},$ y la ecuación se convierte en $b\sqrt{b^2 - 12} = \frac{b^2 + 20}{2}.$ Elevar al cuadrado da $3b^4 - 88b^2 - 400 = 0,$ así que $b^2 = \frac{100}{3},$ lo que da $b = \frac{10}{\sqrt{3}},$ $q = -\frac{8}{\sqrt{3}},$ $p = \frac{8}{\sqrt{3}}.$

Los vértices son $A = (0, 0),$ $B = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 2\right),$ $C = (6\sqrt{3}, 6),$ $D = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 10\right),$ $E = (0, 8),$ $F = \left(-\frac{8}{\sqrt{3}}, 4\right).$ El hexágono se divide en el paralelogramo $ABDE,$ con lado vertical $AE = 8$ y desplazamiento horizontal $b$ (área $8b$ ), más los dos triángulos congruentes $BCD$ y $EFA,$ cada uno con base vertical $8$ y altura horizontal $\frac{8}{\sqrt{3}}.$ El área total es $\begin{aligned} &8 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{3}} = 48\sqrt{3}, \end{aligned}$ así que $m + n = 48 + 3 = 51.$

Opposite sides are parallel, equal in length, and traversed in opposite directions, so $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED},$ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FE},$ $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}:$ the hexagon is centrally symmetric, and opposite vertices' $y$ -coordinates share a common sum, namely $\frac{0 + 2 + \cdots + 10}{3} = 10.$ From $y_A = 0$ and $y_B = 2$ we get $y_D = 10,$ $y_E = 8,$ and convexity puts $y_C = 6,$ $y_F = 4.$ Write $\overrightarrow{AB} = (b, 2),$ $\overrightarrow{BC} = (p, 4),$ $\overrightarrow{CD} = (q, 4).$ Equal side lengths give $s^2 = b^2 + 4$ $= p^2 + 16$ $= q^2 + 16,$ so $p = \pm q;$ since $p = q$ would make $B,$ $C,$ $D$ collinear, $p = -q.$

Since $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{CD},$ we have $F = (q, 4),$ and $\angle FAB = 120^\circ$ gives $\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} &= bq + 8 \\ &= -\frac{s^2}{2} = -\frac{b^2 + 4}{2}. \end{aligned}$ Taking $b \gt 0$ forces $q \lt 0,$ so $q = -\sqrt{b^2 - 12},$ and the equation becomes $b\sqrt{b^2 - 12} = \frac{b^2 + 20}{2}.$ Squaring yields $3b^4 - 88b^2 - 400 = 0,$ so $b^2 = \frac{100}{3},$ giving $b = \frac{10}{\sqrt{3}},$ $q = -\frac{8}{\sqrt{3}},$ $p = \frac{8}{\sqrt{3}}.$

The vertices are $A = (0, 0),$ $B = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 2\right),$ $C = (6\sqrt{3}, 6),$ $D = \left(\frac{10}{\sqrt{3}}, 10\right),$ $E = (0, 8),$ $F = \left(-\frac{8}{\sqrt{3}}, 4\right).$ The hexagon splits into the parallelogram $ABDE,$ with vertical side $AE = 8$ and horizontal offset $b$ (area $8b$ ), plus the two congruent triangles $BCD$ and $EFA,$ each with vertical base $8$ and horizontal height $\frac{8}{\sqrt{3}}.$ The total area is $\begin{aligned} &8 \cdot \frac{10}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{144}{\sqrt{3}} = 48\sqrt{3}, \end{aligned}$ so $m + n = 48 + 3 = 51.$

2003 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años