Question

Hay

2n

números complejos que satisfacen a la vez

z^{28} - z^{8} - 1 = 0

y

|z| = 1.

Estos números tienen la forma

z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m},

donde

0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360

y los ángulos se miden en grados. Halla el valor de

\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}.

There are

2n

complex numbers that satisfy both

z^{28} - z^{8} - 1 = 0

and

|z| = 1.

These numbers have the form

z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m},

where

0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360

and angles are measured in degrees. Find the value of

\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}.

Respuesta

Respuesta: 840

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre aritmética modular

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Reescribe la ecuación como

z^8(z^{20} - 1) = 1

y toma valores absolutos:

|z^{20} - 1| = 1

.

Rewrite the equation as

z^8(z^{20} - 1) = 1

and take absolute values:

|z^{20} - 1| = 1

Pista grande:

z^{20}

está a distancia

1

tanto de

0

como de

1,

así que

z^{20} = \cos 60^\circ \pm i\sin 60^\circ;

deduce

z^4

y por tanto

\theta

módulo

90

.

z^{20}

is at distance

1

from both

0

and

1,

so

z^{20} = \cos 60^\circ \pm i\sin 60^\circ;

deduce

z^4

and hence

\theta

mod

90

Solución:

Escribe

\operatorname{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta.

La ecuación dice

z^8(z^{20} - 1) = 1.

Tomando valores absolutos y usando

|z| = 1

se obtiene

|z^{20} - 1| = 1,

así que

z^{20}

está a distancia

1

tanto de

0

como de

1:

es

\operatorname{cis}(\pm 60^\circ).

Si

z^{20} = \operatorname{cis} 60^\circ,

entonces

z^{20} - 1 = \operatorname{cis} 120^\circ,

así que

z^8 = \operatorname{cis}(-120^\circ)

y

\begin{aligned} z^4 &= \frac{z^{20}}{(z^8)^2} \\ &= \operatorname{cis}(60^\circ + 240^\circ) = \operatorname{cis} 300^\circ, \end{aligned}

lo que significa

4\theta \equiv 300^\circ,

es decir

\theta \equiv 75^\circ \pmod{90^\circ}.

Recíprocamente, todo

\theta

de este tipo funciona, ya que entonces

z^{20} = (z^4)^5 = \operatorname{cis} 60^\circ

y

z^8 = (z^4)^2 = \operatorname{cis}(-120^\circ).

El caso

z^{20} = \operatorname{cis}(-60^\circ)

da de forma análoga exactamente

\theta \equiv 15^\circ \pmod{90^\circ}.

Así que los

2n = 8

ángulos en orden creciente son

15, 75, 105, 165,

195, 255, 285, 345,

y

\theta_2 + \theta_4 + \theta_6 + \theta_8

= 75 + 165 + 255 + 345

= 840.

Write

\operatorname{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta.

The equation says

z^8(z^{20} - 1) = 1.

Taking absolute values and using

|z| = 1

gives

|z^{20} - 1| = 1,

so

z^{20}

is at distance

1

from both

0

and

1:

it is

\operatorname{cis}(\pm 60^\circ).

If

z^{20} = \operatorname{cis} 60^\circ,

then

z^{20} - 1 = \operatorname{cis} 120^\circ,

so

z^8 = \operatorname{cis}(-120^\circ)

and

\begin{aligned} z^4 &= \frac{z^{20}}{(z^8)^2} \\ &= \operatorname{cis}(60^\circ + 240^\circ) = \operatorname{cis} 300^\circ, \end{aligned}

which means

4\theta \equiv 300^\circ,

i.e.

\theta \equiv 75^\circ \pmod{90^\circ}.

Conversely every such

\theta

works, since then

z^{20} = (z^4)^5 = \operatorname{cis} 60^\circ

and

z^8 = (z^4)^2 = \operatorname{cis}(-120^\circ).

The case

z^{20} = \operatorname{cis}(-60^\circ)

similarly gives exactly

\theta \equiv 15^\circ \pmod{90^\circ}.

So the

2n = 8

angles in increasing order are

15, 75, 105, 165,

195, 255, 285, 345,

and

\theta_2 + \theta_4 + \theta_6 + \theta_8

= 75 + 165 + 255 + 345

= 840.

2001 AIME II Problema 14

Respuesta: 840

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años