Question

Hay $2n$ números complejos que satisfacen a la vez $z^{28} - z^{8} - 1 = 0$ y $|z| = 1.$ Estos números tienen la forma $z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m},$ donde $0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360$ y los ángulos se miden en grados. Halla el valor de $\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}.$

There are $2n$ complex numbers that satisfy both $z^{28} - z^{8} - 1 = 0$ and $|z| = 1.$ These numbers have the form $z_{m} = \cos\theta_{m} + i\sin\theta_{m},$ where $0 \le \theta_{1} \lt \theta_{2} \lt \ldots \lt \theta_{2n} \lt 360$ and angles are measured in degrees. Find the value of $\theta_{2} + \theta_{4} + \cdots + \theta_{2n}.$

Respuesta

Solución:

Escribe $\operatorname{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta.$ La ecuación dice $z^8(z^{20} - 1) = 1.$ Tomando valores absolutos y usando $|z| = 1$ se obtiene $|z^{20} - 1| = 1,$ así que $z^{20}$ está a distancia $1$ tanto de $0$ como de $1:$ es $\operatorname{cis}(\pm 60^\circ).$

Si $z^{20} = \operatorname{cis} 60^\circ,$ entonces $z^{20} - 1 = \operatorname{cis} 120^\circ,$ así que $z^8 = \operatorname{cis}(-120^\circ)$ y $\begin{aligned} z^4 &= \frac{z^{20}}{(z^8)^2} \\ &= \operatorname{cis}(60^\circ + 240^\circ) = \operatorname{cis} 300^\circ, \end{aligned}$ lo que significa $4\theta \equiv 300^\circ,$ es decir $\theta \equiv 75^\circ \pmod{90^\circ}.$ Recíprocamente, todo $\theta$ de este tipo funciona, ya que entonces $z^{20} = (z^4)^5 = \operatorname{cis} 60^\circ$ y $z^8 = (z^4)^2 = \operatorname{cis}(-120^\circ).$ El caso $z^{20} = \operatorname{cis}(-60^\circ)$ da de forma análoga exactamente $\theta \equiv 15^\circ \pmod{90^\circ}.$

Así que los $2n = 8$ ángulos en orden creciente son $15, 75, 105, 165,$ $195, 255, 285, 345,$ y $\theta_2 + \theta_4 + \theta_6 + \theta_8$ $= 75 + 165 + 255 + 345$ $= 840.$

Write $\operatorname{cis}\theta = \cos\theta + i\sin\theta.$ The equation says $z^8(z^{20} - 1) = 1.$ Taking absolute values and using $|z| = 1$ gives $|z^{20} - 1| = 1,$ so $z^{20}$ is at distance $1$ from both $0$ and $1:$ it is $\operatorname{cis}(\pm 60^\circ).$

If $z^{20} = \operatorname{cis} 60^\circ,$ then $z^{20} - 1 = \operatorname{cis} 120^\circ,$ so $z^8 = \operatorname{cis}(-120^\circ)$ and $\begin{aligned} z^4 &= \frac{z^{20}}{(z^8)^2} \\ &= \operatorname{cis}(60^\circ + 240^\circ) = \operatorname{cis} 300^\circ, \end{aligned}$ which means $4\theta \equiv 300^\circ,$ i.e. $\theta \equiv 75^\circ \pmod{90^\circ}.$ Conversely every such $\theta$ works, since then $z^{20} = (z^4)^5 = \operatorname{cis} 60^\circ$ and $z^8 = (z^4)^2 = \operatorname{cis}(-120^\circ).$ The case $z^{20} = \operatorname{cis}(-60^\circ)$ similarly gives exactly $\theta \equiv 15^\circ \pmod{90^\circ}.$

So the $2n = 8$ angles in increasing order are $15, 75, 105, 165,$ $195, 255, 285, 345,$ and $\theta_2 + \theta_4 + \theta_6 + \theta_8$ $= 75 + 165 + 255 + 345$ $= 840.$

2001 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años