Question

Sea $b \ge 2$ un entero. Un entero positivo $n$ se llama $b$ -eautiful si tiene exactamente dos dígitos al expresarse en base $b$ y estos dos dígitos suman $\sqrt{n}.$ Por ejemplo, $81$ es $13$ -eautiful porque $81 = \underline{6}\,\underline{3}_{13}$ y $6 + 3 = \sqrt{81}.$ Halla el menor entero $b \ge 2$ para el cual hay más de diez enteros $b$ -eautiful.

Let $b \ge 2$ be an integer. Call a positive integer $n$ $b$ -eautiful if it has exactly two digits when expressed in base $b$ and these two digits sum to $\sqrt{n}.$ For example, $81$ is $13$ -eautiful because $81 = \underline{6}\,\underline{3}_{13}$ and $6 + 3 = \sqrt{81}.$ Find the least integer $b \ge 2$ for which there are more than ten $b$ -eautiful integers.

Respuesta

Solución:

Un número de dos dígitos en base $b$ es $n = xb + y$ con $1 \le x \le b-1$ y $0 \le y \le b-1,$ y la condición dice $n = s^2$ donde $s = x + y.$ Entonces $s^2 = xb + y = x(b-1) + s,$ así que $s(s - 1) = x(b - 1).$ Nota que $s \le \sqrt{b^2 - 1} \lt b.$ Recíprocamente, para cualquier $s$ con $2 \le s \le b - 1$ y $(b-1) \mid s(s-1),$ tomando $x = \frac{s(s-1)}{b-1}$ y $y = s - x = \frac{s(b-s)}{b-1}$ se obtiene $1 \le x \le b-1$ y $0 \le y \le b-1,$ por lo que hay exactamente un entero $b$ -eautiful $n = s^2.$ Así que el recuento es igual al número de $s \in \{2, \ldots, b-1\}$ con $s(s-1) \equiv 0 \pmod{b-1}.$

Sea $m = b - 1.$ Como $s$ y $s - 1$ son coprimos, cada potencia de primo que divide $m$ debe dividir $s$ o $s - 1,$ así que por el teorema chino del resto hay $2^{\omega(m)}$ soluciones módulo $m,$ donde $\omega(m)$ es el número de factores primos distintos de $m.$ Entre los representantes $1, 2, \ldots, m,$ solo $s = 1$ cae fuera de nuestro rango (y $s = m$ califica), así que el recuento es $2^{\omega(m)} - 1.$

Necesitamos $2^{\omega(m)} - 1 \gt 10,$ es decir $\omega(m) \ge 4.$ El menor entero positivo con cuatro factores primos distintos es $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210,$ así que la menor base es $b = 211$ (que tiene $2^4 - 1 = 15$ enteros $b$ -eautiful).

A two-digit number in base $b$ is $n = xb + y$ with $1 \le x \le b-1$ and $0 \le y \le b-1,$ and the condition says $n = s^2$ where $s = x + y.$ Then $s^2 = xb + y = x(b-1) + s,$ so $s(s - 1) = x(b - 1).$ Note $s \le \sqrt{b^2 - 1} \lt b.$ Conversely, for any $s$ with $2 \le s \le b - 1$ and $(b-1) \mid s(s-1),$ setting $x = \frac{s(s-1)}{b-1}$ and $y = s - x = \frac{s(b-s)}{b-1}$ gives $1 \le x \le b-1$ and $0 \le y \le b-1,$ hence exactly one $b$ -eautiful integer $n = s^2.$ So the count equals the number of $s \in \{2, \ldots, b-1\}$ with $s(s-1) \equiv 0 \pmod{b-1}.$

Let $m = b - 1.$ Since $s$ and $s - 1$ are coprime, each prime power dividing $m$ must divide $s$ or $s - 1,$ so by the Chinese remainder theorem there are $2^{\omega(m)}$ solutions modulo $m,$ where $\omega(m)$ is the number of distinct prime factors of $m.$ Among the representatives $1, 2, \ldots, m,$ only $s = 1$ falls outside our range (and $s = m$ qualifies), so the count is $2^{\omega(m)} - 1.$

We need $2^{\omega(m)} - 1 \gt 10,$ i.e. $\omega(m) \ge 4.$ The smallest positive integer with four distinct prime factors is $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210,$ so the least base is $b = 211$ (which has $2^4 - 1 = 15$ $b$ -eautiful integers).

2024 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años