Solución:

Tome un vector de dirección primitivo $(a, b, c)$ para la recta. Cualquier componente no nula de valor absoluto $2$ o más limita la recta a a lo sumo $5$ puntos de la cuadrícula, así que cada componente es $0$ o $\pm 1.$ Las rectas paralelas a un eje coordenado contienen $10$ puntos, nunca $8.$ Si exactamente una componente es $0,$ la recta está en uno de los $30$ planos paralelos a una cara del cubo ($3$ orientaciones, $10$ posiciones), y dentro de esa cuadrícula $10 \times 10$ es una diagonal de pendiente $\pm 1$ desplazada del centro; el desplazamiento en $2$ en cualquier dirección desde cada una de las dos diagonales principales da exactamente $8$ puntos. Eso es $4$ rectas por plano, y cada una está en solo uno de los $30$ planos: $4 \cdot 30 = 120$ rectas.

En caso contrario la dirección es una de las cuatro direcciones de diagonal espacial $(1, \pm 1, \pm 1)$ salvo signo; por simetría, cuente las rectas paralelas a $(1, 1, 1)$ y multiplique por $4.$ Una recta así $(d + t,\ e + t,\ f + t)$ corta la cuadrícula en $10$ $- (\max(d,e,f) - \min(d,e,f))$ puntos, así que exactamente $8$ puntos significa $\max - \min = 2.$ Normalizando el punto base de modo que $\min(d, e, f) = 1,$ necesitamos $(d, e, f)$ con entradas en $\{1, 2, 3\}$ usando tanto $1$ como $3:$ hay $27 - 8 - 8 + 1 = 12$ de ellos, por lo tanto $12$ rectas por dirección y $4 \cdot 12 = 48$ en total.

El total es $120 + 48 = 168.$