Question

Sean $a$ y $b$ números reales positivos con $a \ge b.$ Sea $\rho$ el máximo valor posible de $\frac{a}{b}$ para el cual el sistema de ecuaciones $\begin{aligned} a^2 + y^2 &= b^2 + x^2 \\ &= (a - x)^2 + (b - y)^2 \end{aligned}$ tiene una solución $(x, y)$ que satisface $0 \le x \lt a$ y $0 \le y \lt b.$ Entonces $\rho^2$ puede expresarse como una fracción $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $a$ and $b$ be positive real numbers with $a \ge b.$ Let $\rho$ be the maximum possible value of $\frac{a}{b}$ for which the system of equations $\begin{aligned} a^2 + y^2 &= b^2 + x^2 \\ &= (a - x)^2 + (b - y)^2 \end{aligned}$ has a solution $(x, y)$ satisfying $0 \le x \lt a$ and $0 \le y \lt b.$ Then $\rho^2$ can be expressed as a fraction $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Dibuja el rectángulo con vértices $A = (0, 0),$ $B = (a, 0),$ $C = (a, b),$ $D = (0, b),$ y sea $E = (x, 0)$ sobre $\overline{AB}$ y $F = (a, b - y)$ sobre $\overline{BC}.$ Entonces $DE^2 = b^2 + x^2,$ $DF^2 = a^2 + y^2,$ y $EF^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2,$ así que el sistema dice exactamente que el triángulo $DEF$ es equilátero, con las restricciones que mantienen $E$ y $F$ sobre esos dos lados.

Sea $\theta = \angle ADE,$ así que $x = b\tan\theta$ y $DE = \frac{b}{\cos\theta}.$ Como $\angle EDF = 60^\circ$ y el ángulo de la esquina en $D$ es $90^\circ,$ obtenemos $\angle CDF = 30^\circ - \theta,$ así que $y = a\tan(30^\circ - \theta)$ y $DF = \frac{a}{\cos(30^\circ - \theta)}.$ Igualar $DE = DF$ da $\begin{aligned} \frac{a}{b} &= \frac{\cos(30^\circ - \theta)}{\cos\theta} \\ &= \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \tan\theta, \end{aligned}$ que es creciente en $\theta.$ El requisito $y \ge 0$ fuerza $\theta \le 30^\circ.$

El máximo se alcanza por lo tanto en $\theta = 30^\circ,$ donde $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}},$ logrado con $y = 0$ y $x = \frac{b}{\sqrt{3}} \lt a.$ Por lo tanto $\rho^2 = \frac{4}{3},$ y $m + n = 4 + 3 = 7.$

Draw the rectangle with vertices $A = (0, 0),$ $B = (a, 0),$ $C = (a, b),$ $D = (0, b),$ and let $E = (x, 0)$ on $\overline{AB}$ and $F = (a, b - y)$ on $\overline{BC}.$ Then $DE^2 = b^2 + x^2,$ $DF^2 = a^2 + y^2,$ and $EF^2 = (a - x)^2 + (b - y)^2,$ so the system says exactly that triangle $DEF$ is equilateral, with the constraints keeping $E$ and $F$ on those two sides.

Let $\theta = \angle ADE,$ so $x = b\tan\theta$ and $DE = \frac{b}{\cos\theta}.$ Since $\angle EDF = 60^\circ$ and the corner angle at $D$ is $90^\circ,$ we get $\angle CDF = 30^\circ - \theta,$ so $y = a\tan(30^\circ - \theta)$ and $DF = \frac{a}{\cos(30^\circ - \theta)}.$ Setting $DE = DF$ gives $\begin{aligned} \frac{a}{b} &= \frac{\cos(30^\circ - \theta)}{\cos\theta} \\ &= \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \tan\theta, \end{aligned}$ which is increasing in $\theta.$ The requirement $y \ge 0$ forces $\theta \le 30^\circ.$

The maximum is therefore at $\theta = 30^\circ,$ where $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}},$ attained with $y = 0$ and $x = \frac{b}{\sqrt{3}} \lt a.$ Hence $\rho^2 = \frac{4}{3},$ and $m + n = 4 + 3 = 7.$

2008 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años