Question

El $\triangle ABC$ equilátero tiene lado $600.$ Los puntos $P$ y $Q$ están fuera del plano de $\triangle ABC$ y en lados opuestos del plano. Además, $PA = PB = PC,$ y $QA = QB = QC,$ y los planos de $\triangle PAB$ y $\triangle QAB$ forman un ángulo diedro de $120^\circ$ (el ángulo entre los dos planos). Existe un punto $O$ cuya distancia a cada uno de $A,$ $B,$ $C,$ $P,$ y $Q$ es $d.$ Halla $d.$

Equilateral $\triangle ABC$ has side length $600.$ Points $P$ and $Q$ lie outside the plane of $\triangle ABC$ and are on opposite sides of the plane. Furthermore, $PA = PB = PC,$ and $QA = QB = QC,$ and the planes of $\triangle PAB$ and $\triangle QAB$ form a $120^\circ$ dihedral angle (the angle between the two planes). There is a point $O$ whose distance from each of $A,$ $B,$ $C,$ $P,$ and $Q$ is $d.$ Find $d.$

Respuesta

Solución:

Como $PA = PB = PC$ y $QA = QB = QC,$ tanto $P$ como $Q$ están en la recta que pasa por el centro $H$ de $\triangle ABC$ perpendicular a su plano, en lados opuestos. Cualquier punto equidistante de $A,$ $B,$ $C$ también está en esa recta, así que $O$ está en ella, y $OP = OQ = d$ hace de $O$ el punto medio de $\overline{PQ},$ con $PQ = 2d.$ Sea $D$ el punto medio de $\overline{AB}$ y $a = 600;$ entonces $DH = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ y $CH = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$ Como $\overline{PD} \perp \overline{AB}$ y $\overline{QD} \perp \overline{AB},$ el ángulo diedro es $\angle PDQ = 120^\circ;$ escribimos $x = \angle PDH$ y $y = \angle QDH,$ así que $x + y = 120^\circ.$

Los triángulos rectángulos $PDH$ y $QDH$ dan $PH = DH \tan x$ y $QH = DH \tan y,$ así que $\begin{aligned} 2d = PQ &= PH \\ &\quad {}+ QH \\ &= \frac{a\sqrt{3}}{6} \\ &\quad {}\cdot (\tan x + \tan y). \end{aligned}$ Como $OC = OP = OQ = d,$ el punto $C$ está en la circunferencia de diámetro $\overline{PQ},$ así que $\angle PCQ = 90^\circ,$ y $H$ es el pie de la altura desde $C$ a la hipotenusa $\overline{PQ}.$ Por tanto $CH^2 = PH \cdot QH,$ lo que da $\tan x \tan y = \frac{CH^2}{DH^2} = 4.$

Por la fórmula de adición de la tangente, $-\sqrt{3} = \tan 120^\circ$ $= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ $= \frac{\tan x + \tan y}{-3},$ así que $\tan x + \tan y = 3\sqrt{3}.$ Entonces $2d = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3a}{2},$ así que $d = \frac{3a}{4} = 450.$

Since $PA = PB = PC$ and $QA = QB = QC,$ both $P$ and $Q$ lie on the line through the center $H$ of $\triangle ABC$ perpendicular to its plane, on opposite sides. Any point equidistant from $A,$ $B,$ $C$ also lies on that line, so $O$ is on it, and $OP = OQ = d$ makes $O$ the midpoint of $\overline{PQ},$ with $PQ = 2d.$ Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB}$ and $a = 600;$ then $DH = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ and $CH = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$ Since $\overline{PD} \perp \overline{AB}$ and $\overline{QD} \perp \overline{AB},$ the dihedral angle is $\angle PDQ = 120^\circ;$ write $x = \angle PDH$ and $y = \angle QDH,$ so $x + y = 120^\circ.$

Right triangles $PDH$ and $QDH$ give $PH = DH \tan x$ and $QH = DH \tan y,$ so $\begin{aligned} 2d = PQ &= PH \\ &\quad {}+ QH \\ &= \frac{a\sqrt{3}}{6} \\ &\quad {}\cdot (\tan x + \tan y). \end{aligned}$ Since $OC = OP = OQ = d,$ point $C$ lies on the circle with diameter $\overline{PQ},$ so $\angle PCQ = 90^\circ,$ and $H$ is the foot of the altitude from $C$ to the hypotenuse $\overline{PQ}.$ Thus $CH^2 = PH \cdot QH,$ which gives $\tan x \tan y = \frac{CH^2}{DH^2} = 4.$

By the tangent addition formula, $-\sqrt{3} = \tan 120^\circ$ $= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ $= \frac{\tan x + \tan y}{-3},$ so $\tan x + \tan y = 3\sqrt{3}.$ Then $2d = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3a}{2},$ so $d = \frac{3a}{4} = 450.$

2016 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años