Question

El triángulo equilátero

\triangle ABC

tiene lado

600.

Los puntos

P

y

Q

están fuera del plano de

\triangle ABC

y en lados opuestos del plano. Además,

PA = PB = PC,

y

QA = QB = QC,

y los planos de

\triangle PAB

y

\triangle QAB

forman un ángulo diedro de

120^\circ

(el ángulo entre los dos planos). Existe un punto

O

cuya distancia a cada uno de

A,

B,

C,

P,

y

Q

es

d.

Halla

d.

Equilateral

\triangle ABC

has side length

600.

Points

P

and

Q

lie outside the plane of

\triangle ABC

and are on opposite sides of the plane. Furthermore,

PA = PB = PC,

and

QA = QB = QC,

and the planes of

\triangle PAB

and

\triangle QAB

form a

120^\circ

dihedral angle (the angle between the two planes). There is a point

O

whose distance from each of

A,

B,

C,

P,

and

Q

is

d.

Find

d.

Respuesta

Respuesta: 450

Conceptos:Geometría 3D identidad trigonométrica ángulo inscrito simetría

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

P,

Q,

y

O

están todos en la recta que pasa por el centro de

\triangle ABC

perpendicular a su plano, y

O

es el punto medio de

\overline{PQ}

P,

Q,

and

O

all lie on the line through the center of

\triangle ABC

perpendicular to its plane, and

O

is the midpoint of

\overline{PQ}

Pista grande:

Como

OC = OP = OQ,

tenemos

\angle PCQ = 90^\circ,

así que

CH^2 = PH \cdot QH.

Combina con la fórmula de adición de la tangente en el punto medio de

\overline{AB}.

Since

OC = OP = OQ,

\angle PCQ = 90^\circ,

so

CH^2 = PH \cdot QH.

Combine with the tangent addition formula at the midpoint of

\overline{AB}.

Solución:

Como

PA = PB = PC

y

QA = QB = QC,

tanto

P

como

Q

están en la recta que pasa por el centro

H

de

\triangle ABC

perpendicular a su plano, en lados opuestos. Cualquier punto equidistante de

A,

B,

C

también está en esa recta, así que

O

está en ella, y

OP = OQ = d

hace de

O

el punto medio de

\overline{PQ},

con

PQ = 2d.

Sea

D

el punto medio de

\overline{AB}

y

a = 600;

entonces

DH = \frac{a\sqrt{3}}{6}

y

CH = \frac{a\sqrt{3}}{3}.

Como

\overline{PD} \perp \overline{AB}

y

\overline{QD} \perp \overline{AB},

el ángulo diedro es

\angle PDQ = 120^\circ;

escribimos

x = \angle PDH

y

y = \angle QDH,

así que

x + y = 120^\circ.

Los triángulos rectángulos

PDH

y

QDH

dan

PH = DH \tan x

y

QH = DH \tan y,

así que

\begin{aligned} 2d = PQ &= PH \\ &\quad {}+ QH \\ &= \frac{a\sqrt{3}}{6} \\ &\quad {}\cdot (\tan x + \tan y). \end{aligned}

Como

OC = OP = OQ = d,

el punto

C

está en la circunferencia de diámetro

\overline{PQ},

así que

\angle PCQ = 90^\circ,

y

H

es el pie de la altura desde

C

a la hipotenusa

\overline{PQ}.

Por tanto

CH^2 = PH \cdot QH,

lo que da

\tan x \tan y = \frac{CH^2}{DH^2} = 4.

Por la fórmula de adición de la tangente,

-\sqrt{3} = \tan 120^\circ

= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}

= \frac{\tan x + \tan y}{-3},

así que

\tan x + \tan y = 3\sqrt{3}.

Entonces

2d = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3a}{2},

así que

d = \frac{3a}{4} = 450.

Since

PA = PB = PC

and

QA = QB = QC,

both

P

and

Q

lie on the line through the center

H

of

\triangle ABC

perpendicular to its plane, on opposite sides. Any point equidistant from

A,

B,

C

also lies on that line, so

O

is on it, and

OP = OQ = d

makes

O

the midpoint of

\overline{PQ},

with

PQ = 2d.

Let

D

be the midpoint of

\overline{AB}

and

a = 600;

then

DH = \frac{a\sqrt{3}}{6}

and

CH = \frac{a\sqrt{3}}{3}.

Since

\overline{PD} \perp \overline{AB}

and

\overline{QD} \perp \overline{AB},

the dihedral angle is

\angle PDQ = 120^\circ;

write

x = \angle PDH

and

y = \angle QDH,

so

x + y = 120^\circ.

Right triangles

PDH

and

QDH

give

PH = DH \tan x

and

QH = DH \tan y,

so

\begin{aligned} 2d = PQ &= PH \\ &\quad {}+ QH \\ &= \frac{a\sqrt{3}}{6} \\ &\quad {}\cdot (\tan x + \tan y). \end{aligned}

Since

OC = OP = OQ = d,

point

C

lies on the circle with diameter

\overline{PQ},

so

\angle PCQ = 90^\circ,

and

H

is the foot of the altitude from

C

to the hypotenuse

\overline{PQ}.

Thus

CH^2 = PH \cdot QH,

which gives

\tan x \tan y = \frac{CH^2}{DH^2} = 4.

By the tangent addition formula,

-\sqrt{3} = \tan 120^\circ

= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}

= \frac{\tan x + \tan y}{-3},

so

\tan x + \tan y = 3\sqrt{3}.

Then

2d = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3a}{2},

so

d = \frac{3a}{4} = 450.

2016 AIME II Problema 14

Respuesta: 450

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años