Respuesta: 263

Pista pequeña:

Suma $4$ a ambos lados, repartiendo una unidad a cada fracción: cada una se convierte en $\frac{x}{x-k}.$ Luego sustituye $t = x - 11.$

Pista grande:

Los pares simétricos se combinan en $\frac{2}{t^2 - 64} + \frac{2}{t^2 - 36} = 1,$ una ecuación cuadrática en $t^2$

Solución:

Suma $4$ a ambos lados, dando una unidad a cada fracción: como $\frac{k}{x-k} + 1 = \frac{x}{x-k},$ la ecuación se convierte en $$\begin{aligned} &\scriptsize x\left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-17} + \frac{1}{x-19}\right) \\ &= x^2 - 11x = x(x - 11). \end{aligned}$$ Aparte de $x = 0,$ podemos dividir entre $x$ y sustituir $t = x - 11,$ lo que empareja las fracciones simétricamente: $$\frac{2t}{t^2 - 64} + \frac{2t}{t^2 - 36} = t.$$

Aparte de $t = 0,$ dividir entre $t$ da $\frac{2}{t^2 - 64} + \frac{2}{t^2 - 36} = 1.$ Con $u = t^2,$ eliminar denominadores da $2(u - 36) + 2(u - 64)$ $= (u - 36)(u - 64),$ es decir $u^2 - 104u + 2504 = 0,$ así que $u = 52 \pm \sqrt{200}.$

La mayor solución es $m = 11 + \sqrt{52 + \sqrt{200}} \approx 19.1,$ que supera a los demás candidatos $0,$ $11,$ y $11 \pm \sqrt{52 \pm \sqrt{200}}.$ Por lo tanto $a + b + c$ $= 11 + 52 + 200 = 263.$