Question

Sea $m$ la mayor solución real de la ecuación $\begin{aligned} &\frac{3}{x-3} + \frac{5}{x-5} \\ &\quad {}+ \frac{17}{x-17} + \frac{19}{x-19} \\ &= x^2 - 11x - 4. \end{aligned}$ Existen enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ tales que $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}.$ Halla $a + b + c.$

Let $m$ be the largest real solution to the equation $\begin{aligned} &\frac{3}{x-3} + \frac{5}{x-5} \\ &\quad {}+ \frac{17}{x-17} + \frac{19}{x-19} \\ &= x^2 - 11x - 4. \end{aligned}$ There are positive integers $a,$ $b,$ and $c$ such that $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}.$ Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Suma $4$ a ambos lados, dando una unidad a cada fracción: como $\frac{k}{x-k} + 1 = \frac{x}{x-k},$ la ecuación se convierte en $\begin{aligned} &\scriptsize x\left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-17} + \frac{1}{x-19}\right) \\ &= x^2 - 11x = x(x - 11). \end{aligned}$ Aparte de $x = 0,$ podemos dividir entre $x$ y sustituir $t = x - 11,$ lo que empareja las fracciones simétricamente: $\frac{2t}{t^2 - 64} + \frac{2t}{t^2 - 36} = t.$

Aparte de $t = 0,$ dividir entre $t$ da $\frac{2}{t^2 - 64} + \frac{2}{t^2 - 36} = 1.$ Con $u = t^2,$ eliminar denominadores da $2(u - 36) + 2(u - 64)$ $= (u - 36)(u - 64),$ es decir $u^2 - 104u + 2504 = 0,$ así que $u = 52 \pm \sqrt{200}.$

La mayor solución es $m = 11 + \sqrt{52 + \sqrt{200}} \approx 19.1,$ que supera a los demás candidatos $0,$ $11,$ y $11 \pm \sqrt{52 \pm \sqrt{200}}.$ Por lo tanto $a + b + c$ $= 11 + 52 + 200 = 263.$

Add $4$ to both sides, giving one unit to each fraction: since $\frac{k}{x-k} + 1 = \frac{x}{x-k},$ the equation becomes $\begin{aligned} &\scriptsize x\left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-17} + \frac{1}{x-19}\right) \\ &= x^2 - 11x = x(x - 11). \end{aligned}$ Besides $x = 0,$ we can divide by $x$ and substitute $t = x - 11,$ which pairs the fractions symmetrically: $\frac{2t}{t^2 - 64} + \frac{2t}{t^2 - 36} = t.$

Besides $t = 0,$ dividing by $t$ gives $\frac{2}{t^2 - 64} + \frac{2}{t^2 - 36} = 1.$ With $u = t^2,$ clearing denominators gives $2(u - 36) + 2(u - 64)$ $= (u - 36)(u - 64),$ i.e. $u^2 - 104u + 2504 = 0,$ so $u = 52 \pm \sqrt{200}.$

The largest solution is $m = 11 + \sqrt{52 + \sqrt{200}} \approx 19.1,$ which exceeds the other candidates $0,$ $11,$ and $11 \pm \sqrt{52 \pm \sqrt{200}}.$ Therefore $a + b + c$ $= 11 + 52 + 200 = 263.$

2014 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años