Question

Sean $v$ y $w$ raíces distintas, elegidas al azar, de la ecuación $z^{1997} - 1 = 0.$ Sea $\frac{m}{n}$ la probabilidad de que $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $v$ and $w$ be distinct, randomly chosen roots of the equation $z^{1997} - 1 = 0.$ Let $\frac{m}{n}$ be the probability that $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Por simetría rotacional podemos fijar $v$ y tomar $w = v e^{2\pi i k/1997}$ con $k$ uniforme en $\{1, 2, \ldots, 1996\}.$ Entonces $\begin{aligned} |v + w| &= \left|1 + e^{2\pi i k/1997}\right| \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|. \end{aligned}$ Además $\left(2\cos 15^\circ\right)^2 = 2 + 2\cos 30^\circ$ $= 2 + \sqrt{3},$ así que el umbral es $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos\frac{\pi}{12}.$

La condición $\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right| \ge \cos\frac{\pi}{12}$ se cumple exactamente cuando $\frac{\pi k}{1997}$ está a menos de $\frac{\pi}{12}$ de $0$ o de $\pi,$ es decir $k \le \frac{1997}{12} = 166.41\ldots$ o $k \ge \frac{11 \cdot 1997}{12} = 1830.58\ldots.$ Eso da $166 + 166 = 332$ valores favorables de $k.$

La probabilidad es $\frac{332}{1996} = \frac{83}{499},$ y $499$ es primo, así que $m + n = 83 + 499 = 582.$

By rotational symmetry we may fix $v$ and let $w = v e^{2\pi i k/1997}$ with $k$ uniform in $\{1, 2, \ldots, 1996\}.$ Then $\begin{aligned} |v + w| &= \left|1 + e^{2\pi i k/1997}\right| \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|. \end{aligned}$ Also $\left(2\cos 15^\circ\right)^2 = 2 + 2\cos 30^\circ$ $= 2 + \sqrt{3},$ so the threshold is $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos\frac{\pi}{12}.$

The condition $\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right| \ge \cos\frac{\pi}{12}$ holds exactly when $\frac{\pi k}{1997}$ is within $\frac{\pi}{12}$ of $0$ or of $\pi,$ i.e. $k \le \frac{1997}{12} = 166.41\ldots$ or $k \ge \frac{11 \cdot 1997}{12} = 1830.58\ldots.$ That gives $166 + 166 = 332$ favorable values of $k.$

The probability is $\frac{332}{1996} = \frac{83}{499},$ and $499$ is prime, so $m + n = 83 + 499 = 582.$

1997 AIME Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años