Question

Sean

v

y

w

raíces distintas, elegidas al azar, de la ecuación

z^{1997} - 1 = 0.

Sea

\frac{m}{n}

la probabilidad de que

\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|,

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

Let

v

and

w

be distinct, randomly chosen roots of the equation

z^{1997} - 1 = 0.

Let

\frac{m}{n}

be the probability that

\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|,

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 582

Conceptos:raíces de la unidad identidad trigonométrica probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Fija

v;

si

w = v e^{\frac{2\pi i k}{1997}},

entonces

|v + w| = 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|

Fix

v;

if

w = v e^{\frac{2\pi i k}{1997}},

then

|v + w| = 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|

Pista grande:

Como

\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos 15^\circ,

cuenta los

k

con

\frac{k}{1997} \le \frac{1}{12}

o

\frac{k}{1997} \ge \frac{11}{12}

Since

\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos 15^\circ,

count

k

with

\frac{k}{1997} \le \frac{1}{12}

or

\frac{k}{1997} \ge \frac{11}{12}

Solución:

Por simetría rotacional podemos fijar

v

y tomar

w = v e^{\frac{2\pi i k}{1997}}

con

k

uniforme en

\{1, 2, \ldots, 1996\}.

Entonces

\begin{aligned} |v + w| &= \left|1 + e^{\frac{2\pi i k}{1997}}\right| \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|. \end{aligned}

Además,

\left(2\cos 15^\circ\right)^2 = 2 + 2\cos 30^\circ

= 2 + \sqrt{3},

así que el umbral es

\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos\frac{\pi}{12}.

La condición

\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right| \ge \cos\frac{\pi}{12}

se cumple exactamente cuando

\frac{\pi k}{1997}

está a menos de

\frac{\pi}{12}

de

0

o de

\pi,

es decir

k \le \frac{1997}{12} = 166.41\ldots

o

k \ge \frac{11 \cdot 1997}{12} = 1830.58\ldots.

Eso da

166 + 166 = 332

valores favorables de

k.

La probabilidad es

\frac{332}{1996} = \frac{83}{499},

y

499

es primo, así que

m + n = 83 + 499 = 582.

By rotational symmetry we may fix

v

and let

w = v e^{\frac{2\pi i k}{1997}}

with

k

uniform in

\{1, 2, \ldots, 1996\}.

Then

\begin{aligned} |v + w| &= \left|1 + e^{\frac{2\pi i k}{1997}}\right| \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|. \end{aligned}

Also

\left(2\cos 15^\circ\right)^2 = 2 + 2\cos 30^\circ

= 2 + \sqrt{3},

so the threshold is

\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos\frac{\pi}{12}.

The condition

\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right| \ge \cos\frac{\pi}{12}

holds exactly when

\frac{\pi k}{1997}

is within

\frac{\pi}{12}

of

0

or of

\pi,

i.e.

k \le \frac{1997}{12} = 166.41\ldots

or

k \ge \frac{11 \cdot 1997}{12} = 1830.58\ldots.

That gives

166 + 166 = 332

favorable values of

k.

The probability is

\frac{332}{1996} = \frac{83}{499},

and

499

is prime, so

m + n = 83 + 499 = 582.

1997 AIME Problema 14

Respuesta: 582

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años