Question

Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A = 90^\circ$ y $BC = 38.$ Existen puntos $K$ y $L$ dentro del triángulo tales que $\begin{gathered} AK = AL = BK \\ = CL = KL = 14. \end{gathered}$ El área del cuadrilátero $BKLC$ se puede expresar como $n\sqrt{3}$ para algún entero positivo $n.$ Halla $n.$

Let $\triangle ABC$ be a right triangle with $\angle A = 90^\circ$ and $BC = 38.$ There exist points $K$ and $L$ inside the triangle such that $\begin{gathered} AK = AL = BK \\ = CL = KL = 14. \end{gathered}$ The area of the quadrilateral $BKLC$ can be expressed as $n\sqrt{3}$ for some positive integer $n.$ Find $n.$

Respuesta

Solución:

Como $AK = AL = KL = 14,$ el triángulo $AKL$ es equilátero y $\angle KAL = 60^\circ.$ Sean $\alpha = \angle BAK$ y $\beta = \angle LAC,$ así que $\alpha + \beta = 30^\circ.$ Como $AK = KB,$ el punto $K$ está sobre la mediatriz de $\overline{AB},$ así que $AB = 2 \cdot 14\cos\alpha = 28\cos\alpha;$ de forma similar $AC = 28\cos\beta.$ Entonces $AB^2 + AC^2 = 38^2$ da $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = \frac{361}{196},$ es decir $\cos 2\alpha + \cos 2\beta = \frac{165}{98}.$ Por producto a suma, $2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$ $= \sqrt{3}\cos(\alpha - \beta)$ $= \frac{165}{98},$ así que $\cos(\alpha - \beta) = \frac{55\sqrt{3}}{98}.$

Descompón $[BKLC] = [ABC] - [ABK]$ $- [ACL] - [AKL].$ Primero, $\begin{gathered} [ABC] = \tfrac{1}{2} AB \cdot AC \\ = 392\cos\alpha\cos\beta \\ = 196\bigl(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\bigr) \\ = 110\sqrt{3} + 98\sqrt{3} = 208\sqrt{3}. \end{gathered}$ Luego, $K$ tiene altura $14\sin\alpha$ sobre $\overline{AB},$ así que $[ABK] = \frac{1}{2} \cdot 28\cos\alpha$ $\cdot 14\sin\alpha$ $= 98\sin 2\alpha,$ y análogamente $[ACL] = 98\sin 2\beta;$ su suma es $196\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$ $= 98 \cdot \frac{55\sqrt{3}}{98}$ $= 55\sqrt{3}.$ Finalmente $[AKL] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = 49\sqrt{3}.$

Por lo tanto $[BKLC] = 208\sqrt{3} - 55\sqrt{3}$ $- 49\sqrt{3} = 104\sqrt{3},$ así que $n = 104.$

Since $AK = AL = KL = 14,$ triangle $AKL$ is equilateral and $\angle KAL = 60^\circ.$ Let $\alpha = \angle BAK$ and $\beta = \angle LAC,$ so $\alpha + \beta = 30^\circ.$ Because $AK = KB,$ point $K$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{AB},$ so $AB = 2 \cdot 14\cos\alpha = 28\cos\alpha;$ similarly $AC = 28\cos\beta.$ Then $AB^2 + AC^2 = 38^2$ gives $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = \frac{361}{196},$ i.e. $\cos 2\alpha + \cos 2\beta = \frac{165}{98}.$ By sum-to-product, $2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$ $= \sqrt{3}\cos(\alpha - \beta)$ $= \frac{165}{98},$ so $\cos(\alpha - \beta) = \frac{55\sqrt{3}}{98}.$

Decompose $[BKLC] = [ABC] - [ABK]$ $- [ACL] - [AKL].$ First, $\begin{gathered} [ABC] = \tfrac{1}{2} AB \cdot AC \\ = 392\cos\alpha\cos\beta \\ = 196\bigl(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)\bigr) \\ = 110\sqrt{3} + 98\sqrt{3} = 208\sqrt{3}. \end{gathered}$ Next, $K$ has height $14\sin\alpha$ over $\overline{AB},$ so $[ABK] = \frac{1}{2} \cdot 28\cos\alpha$ $\cdot 14\sin\alpha$ $= 98\sin 2\alpha,$ and likewise $[ACL] = 98\sin 2\beta;$ their sum is $196\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$ $= 98 \cdot \frac{55\sqrt{3}}{98}$ $= 55\sqrt{3}.$ Finally $[AKL] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 14^2 = 49\sqrt{3}.$

Therefore $[BKLC] = 208\sqrt{3} - 55\sqrt{3}$ $- 49\sqrt{3} = 104\sqrt{3},$ so $n = 104.$

2025 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años