Question

Un conjunto $\mathcal{S}$ de enteros positivos distintos tiene la siguiente propiedad: para cada entero $x$ en $\mathcal{S},$ la media aritmética del conjunto de valores obtenidos al eliminar $x$ de $\mathcal{S}$ es un entero. Dado que $1$ pertenece a $\mathcal{S}$ y que $2002$ es el mayor elemento de $\mathcal{S},$ ¿cuál es el mayor número de elementos que $\mathcal{S}$ puede tener?

A set $\mathcal{S}$ of distinct positive integers has the following property: for every integer $x$ in $\mathcal{S},$ the arithmetic mean of the set of values obtained by deleting $x$ from $\mathcal{S}$ is an integer. Given that $1$ belongs to $\mathcal{S}$ and that $2002$ is the largest element of $\mathcal{S},$ what is the greatest number of elements that $\mathcal{S}$ can have?

Respuesta

Solución:

Sea $\mathcal{S}$ con $n$ elementos de suma $S.$ La condición dice que $\frac{S - x}{n - 1}$ es un entero para cada $x \in \mathcal{S},$ lo que significa que todo elemento es congruente con $S$ módulo $n - 1.$ En particular todos los elementos son congruentes entre sí, y como $1 \in \mathcal{S},$ todo elemento es $1$ más que un múltiplo de $n - 1.$

Entonces $2002 \equiv 1 \pmod{n - 1},$ así que $n - 1$ divide a $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$ Además los $n$ elementos distintos van desde $1$ hasta $2002$ en pasos que son múltiplos de $n - 1,$ así que $2002 \ge 1 + (n - 1)^2,$ lo que fuerza $n - 1 \le 44.$ El mayor divisor de $2001$ que es a lo sumo $44$ es $29,$ así que $n \le 30.$

Treinta es alcanzable: tome los $29$ números $1, 30, 59, \ldots, 813$ junto con $2002.$ Todos son $\equiv 1 \pmod{29},$ y la suma de los $30$ es $\equiv 30 \equiv 1 \pmod{29},$ así que toda media tras eliminar un elemento es un entero. La respuesta es $30.$

Let $\mathcal{S}$ have $n$ elements with sum $S.$ The condition says $\frac{S - x}{n - 1}$ is an integer for every $x \in \mathcal{S},$ which means every element is congruent to $S$ modulo $n - 1.$ In particular all elements are congruent to each other, and since $1 \in \mathcal{S},$ every element is $1$ more than a multiple of $n - 1.$

Then $2002 \equiv 1 \pmod{n - 1},$ so $n - 1$ divides $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$ Moreover the $n$ distinct elements run from $1$ up to $2002$ in steps that are multiples of $n - 1,$ so $2002 \ge 1 + (n - 1)^2,$ forcing $n - 1 \le 44.$ The largest divisor of $2001$ that is at most $44$ is $29,$ so $n \le 30.$

Thirty is attainable: take the $29$ numbers $1, 30, 59, \ldots, 813$ together with $2002.$ All are $\equiv 1 \pmod{29},$ and the sum of all $30$ is $\equiv 30 \equiv 1 \pmod{29},$ so every deleted mean is an integer. The answer is $30.$

2002 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años