Question

Un conjunto

\mathcal{S}

de enteros positivos distintos tiene la siguiente propiedad: para cada entero

x

en

\mathcal{S},

la media aritmética del conjunto de valores obtenidos al eliminar

x

de

\mathcal{S}

es un entero. Dado que

1

pertenece a

\mathcal{S}

y que

2002

es el mayor elemento de

\mathcal{S},

¿cuál es el mayor número de elementos que

\mathcal{S}

puede tener?

A set

\mathcal{S}

of distinct positive integers has the following property: for every integer

x

in

\mathcal{S},

the arithmetic mean of the set of values obtained by deleting

x

from

\mathcal{S}

is an integer. Given that

1

belongs to

\mathcal{S}

and that

2002

is the largest element of

\mathcal{S},

what is the greatest number of elements that

\mathcal{S}

can have?

Respuesta

Respuesta: 30

Conceptos:aritmética modular media argumento extremal

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Si

S

es la suma y

n

el tamaño, cada

\frac{S - x}{n - 1}

es un entero, así que todos los elementos son congruentes módulo

n - 1

If

S

is the sum and

n

the size, every

\frac{S - x}{n - 1}

is an integer, so all elements are congruent mod

n - 1

Pista grande:

Con

1

y

2002

en el conjunto,

n - 1

divide a

2001,

y

n

elementos distintos de ese tipo fuerzan

(n - 1)^2 + 1 \le 2002

With

1

and

2002

in the set,

n - 1

divides

2001,

and

n

distinct such elements force

(n - 1)^2 + 1 \le 2002

Solución:

Sea

\mathcal{S}

un conjunto de

n

elementos cuya suma es

S.

La condición dice que

\frac{S - x}{n - 1}

es un entero para cada

x \in \mathcal{S},

lo que significa que todo elemento es congruente con

S

módulo

n - 1.

En particular todos los elementos son congruentes entre sí, y como

1 \in \mathcal{S},

todo elemento es

1

más que un múltiplo de

n - 1.

Entonces

2002 \equiv 1 \pmod{n - 1},

así que

n - 1

divide a

2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.

Además los

n

elementos distintos van desde

1

hasta

2002

en pasos que son múltiplos de

n - 1,

así que

2002 \ge 1 + (n - 1)^2,

lo que fuerza

n - 1 \le 44.

El mayor divisor de

2001

que es a lo sumo

44

es

29,

así que

n \le 30.

Treinta es alcanzable: tome los

29

números

1, 30, 59, \ldots, 813

junto con

2002.

Todos son

\equiv 1 \pmod{29},

y la suma de los

30

es

\equiv 30 \equiv 1 \pmod{29},

así que toda media tras eliminar un elemento es un entero. La respuesta es

30.

Let

\mathcal{S}

have

n

elements with sum

S.

The condition says

\frac{S - x}{n - 1}

is an integer for every

x \in \mathcal{S},

which means every element is congruent to

S

modulo

n - 1.

In particular all elements are congruent to each other, and since

1 \in \mathcal{S},

every element is

1

more than a multiple of

n - 1.

Then

2002 \equiv 1 \pmod{n - 1},

so

n - 1

divides

2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.

Moreover the

n

distinct elements run from

1

up to

2002

in steps that are multiples of

n - 1,

so

2002 \ge 1 + (n - 1)^2,

forcing

n - 1 \le 44.

The largest divisor of

2001

that is at most

44

is

29,

so

n \le 30.

Thirty is attainable: take the

29

numbers

1, 30, 59, \ldots, 813

together with

2002.

All are

\equiv 1 \pmod{29},

and the sum of all

30

is

\equiv 30 \equiv 1 \pmod{29},

so every deleted mean is an integer. The answer is

30.

2002 AIME I Problema 14

Respuesta: 30

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 14 en otros años