Question

Considere los puntos $A(0, 12),$ $B(10, 9),$ $C(8, 0),$ y $D(-4, 7).$ Existe un único cuadrado $\mathcal{S}$ tal que cada uno de los cuatro puntos está en un lado diferente de $\mathcal{S}.$ Sea $K$ el área de $\mathcal{S}.$ Halle el resto cuando $10K$ se divide entre $1000.$

Consider the points $A(0, 12),$ $B(10, 9),$ $C(8, 0),$ and $D(-4, 7).$ There is a unique square $\mathcal{S}$ such that each of the four points is on a different side of $\mathcal{S}.$ Let $K$ be the area of $\mathcal{S}.$ Find the remainder when $10K$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Como los segmentos $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se cruzan, $A$ y $C$ están en lados opuestos del cuadrado, al igual que $B$ y $D.$ Sea $m$ la pendiente del lado que pasa por $B,$ de modo que ese lado está sobre $mx - y + 9 - 10m = 0,$ y el lado perpendicular que pasa por $C$ está sobre $x + my - 8 = 0.$ La longitud del lado del cuadrado es igual tanto a la distancia entre los lados paralelos que pasan por $B$ y $D$ como a la distancia entre los lados que pasan por $A$ y $C:$ $\begin{aligned} &\frac{|{-4m} - 7 + 9 - 10m|}{\sqrt{m^2 + 1}} \\ &= \frac{|12m - 8|}{\sqrt{m^2 + 1}}, \end{aligned}$ así que $|2 - 14m| = |12m - 8|,$ lo que da $m = \frac{5}{13}$ o $m = -3.$

Para $m = \frac{5}{13},$ los puntos $A$ y $C$ caen en lados opuestos de la recta que pasa por $B,$ lo cual es imposible si esa recta contiene un lado del cuadrado, así que $m = -3.$ Entonces la longitud del lado es $\frac{|12(-3) - 8|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{44}{\sqrt{10}},$ así que $K = \frac{44^2}{10} = \frac{1936}{10}$ y $10K = 1936.$

El resto cuando $1936$ se divide entre $1000$ es $936.$

Since segments $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ cross, $A$ and $C$ lie on opposite sides of the square, as do $B$ and $D.$ Let $m$ be the slope of the side through $B,$ so that side lies on $mx - y + 9 - 10m = 0,$ and the perpendicular side through $C$ lies on $x + my - 8 = 0.$ The side length of the square equals both the distance between the parallel sides through $B$ and $D$ and the distance between the sides through $A$ and $C:$ $\begin{aligned} &\frac{|{-4m} - 7 + 9 - 10m|}{\sqrt{m^2 + 1}} \\ &= \frac{|12m - 8|}{\sqrt{m^2 + 1}}, \end{aligned}$ so $|2 - 14m| = |12m - 8|,$ giving $m = \frac{5}{13}$ or $m = -3.$

For $m = \frac{5}{13},$ the points $A$ and $C$ fall on opposite sides of the line through $B,$ which is impossible if that line contains a side of the square, so $m = -3.$ Then the side length is $\frac{|12(-3) - 8|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{44}{\sqrt{10}},$ so $K = \frac{44^2}{10} = \frac{1936}{10}$ and $10K = 1936.$

The remainder when $1936$ is divided by $1000$ is $936.$

2005 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años