Question

Sea $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ un octágono regular. Sean $M_1,$ $M_3,$ $M_5,$ y $M_7$ los puntos medios de los lados $\overline{A_1A_2},$ $\overline{A_3A_4},$ $\overline{A_5A_6},$ y $\overline{A_7A_8},$ respectivamente. Para $i = 1, 3, 5, 7,$ se construye el rayo $R_i$ desde $M_i$ hacia el interior del octágono de modo que $R_1 \perp R_3,$ $R_3 \perp R_5,$ $R_5 \perp R_7,$ y $R_7 \perp R_1.$ Los pares de rayos $R_1$ y $R_3,$ $R_3$ y $R_5,$ $R_5$ y $R_7,$ y $R_7$ y $R_1$ se cortan en $B_1,$ $B_3,$ $B_5,$ y $B_7,$ respectivamente. Si $B_1B_3 = A_1A_2,$ entonces $\cos 2\angle A_3M_3B_1$ se puede escribir en la forma $m - \sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Halla $m + n.$

Let $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ be a regular octagon. Let $M_1,$ $M_3,$ $M_5,$ and $M_7$ be the midpoints of sides $\overline{A_1A_2},$ $\overline{A_3A_4},$ $\overline{A_5A_6},$ and $\overline{A_7A_8},$ respectively. For $i = 1, 3, 5, 7,$ ray $R_i$ is constructed from $M_i$ towards the interior of the octagon such that $R_1 \perp R_3,$ $R_3 \perp R_5,$ $R_5 \perp R_7,$ and $R_7 \perp R_1.$ Pairs of rays $R_1$ and $R_3,$ $R_3$ and $R_5,$ $R_5$ and $R_7,$ and $R_7$ and $R_1$ meet at $B_1,$ $B_3,$ $B_5,$ and $B_7,$ respectively. If $B_1B_3 = A_1A_2,$ then $\cos 2\angle A_3M_3B_1$ can be written in the form $m - \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Escala de modo que $A_1A_2 = 2.$ Una rotación de $90^\circ$ alrededor del centro lleva toda la configuración a sí misma, así que $B_1B_3B_5B_7$ es un cuadrado y las distancias $a = M_iB_i$ y $b = M_iB_{i-2}$ no dependen de $i.$ Tanto $B_3$ como $B_1$ están en el rayo $R_3$ (a distancias $a$ y $b$ de $M_3$ ), así que $b - a = B_1B_3 = 2.$ Además, $R_1 \perp R_3$ hace que el triángulo $M_1B_1M_3$ sea rectángulo en $B_1,$ así que $a^2 + b^2 = M_1M_3^2.$

Las rectas $A_1A_2$ y $A_3A_4$ se cortan en un punto $C$ en ángulo recto, y el triángulo $A_2CA_3$ es un triángulo rectángulo isósceles con catetos $A_2C = A_3C = \sqrt{2},$ así que $M_1C = M_3C = 1 + \sqrt{2}$ y $a^2 + b^2 = M_1M_3^2 = 2(1 + \sqrt{2})^2.$ Entonces $\begin{aligned} (a + b)^2 &= 2(a^2 + b^2) - (b - a)^2 \\ &= 4(1 + \sqrt{2})^2 - 4 \\ &= 8 + 8\sqrt{2}. \end{aligned}$

Como el triángulo $M_1CM_3$ es un triángulo rectángulo isósceles y $A_3$ está sobre el segmento $\overline{M_3C},$ tenemos $\angle A_3M_3M_1 = 45^\circ,$ mientras que $\tan \angle M_1M_3B_1 = \frac{a}{b}$ por el triángulo rectángulo. La fórmula de adición de la tangente da $\begin{aligned} \tan \angle A_3M_3B_1 &= \frac{1 + \frac{a}{b}}{1 - \frac{a}{b}} \\ &= \frac{a + b}{b - a}, \end{aligned}$ así que $\begin{aligned} \tan^2 \angle A_3M_3B_1 &= \frac{8 + 8\sqrt{2}}{4} \\ &= 2 + 2\sqrt{2}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $\begin{aligned} &\cos 2\angle A_3M_3B_1 \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{1 - \tan^2 \angle A_3M_3B_1}{1 + \tan^2 \angle A_3M_3B_1} \\ &\quad {}= \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \\ &\quad {}= -(1 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) \\ &\quad {}= 5 - 4\sqrt{2} \\ &\quad {}= 5 - \sqrt{32}, \end{aligned}$ y $m + n = 5 + 32 = 37.$

Scale so that $A_1A_2 = 2.$ A $90^\circ$ rotation about the center carries the whole configuration to itself, so $B_1B_3B_5B_7$ is a square and the distances $a = M_iB_i$ and $b = M_iB_{i-2}$ do not depend on $i.$ Both $B_3$ and $B_1$ lie on ray $R_3$ (at distances $a$ and $b$ from $M_3$ ), so $b - a = B_1B_3 = 2.$ Also, $R_1 \perp R_3$ makes triangle $M_1B_1M_3$ right-angled at $B_1,$ so $a^2 + b^2 = M_1M_3^2.$

Lines $A_1A_2$ and $A_3A_4$ meet at a point $C$ at a right angle, and triangle $A_2CA_3$ is an isosceles right triangle with legs $A_2C = A_3C = \sqrt{2},$ so $M_1C = M_3C = 1 + \sqrt{2}$ and $a^2 + b^2 = M_1M_3^2 = 2(1 + \sqrt{2})^2.$ Then $\begin{aligned} (a + b)^2 &= 2(a^2 + b^2) - (b - a)^2 \\ &= 4(1 + \sqrt{2})^2 - 4 \\ &= 8 + 8\sqrt{2}. \end{aligned}$

Since triangle $M_1CM_3$ is an isosceles right triangle and $A_3$ lies on segment $\overline{M_3C},$ we have $\angle A_3M_3M_1 = 45^\circ,$ while $\tan \angle M_1M_3B_1 = \frac{a}{b}$ from the right triangle. The tangent addition formula gives $\begin{aligned} \tan \angle A_3M_3B_1 &= \frac{1 + \frac{a}{b}}{1 - \frac{a}{b}} \\ &= \frac{a + b}{b - a}, \end{aligned}$ so $\begin{aligned} \tan^2 \angle A_3M_3B_1 &= \frac{8 + 8\sqrt{2}}{4} \\ &= 2 + 2\sqrt{2}. \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} &\cos 2\angle A_3M_3B_1 \\ &\quad {}= \scriptsize \frac{1 - \tan^2 \angle A_3M_3B_1}{1 + \tan^2 \angle A_3M_3B_1} \\ &\quad {}= \frac{-1 - 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} \\ &\quad {}= -(1 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) \\ &\quad {}= 5 - 4\sqrt{2} \\ &\quad {}= 5 - \sqrt{32}, \end{aligned}$ and $m + n = 5 + 32 = 37.$

2011 AIME I Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años