Question

En el triángulo $ABC$ , $AB = 13$ , $BC = 15$ , y $CA = 14$ . El punto $D$ está sobre $\overline{BC}$ con $CD = 6$ . El punto $E$ está sobre $\overline{BC}$ tal que $\angle BAE \cong \angle CAD$ . Dado que $BE = \frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí, halla $q$ .

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ and $CA = 14.$ Point $D$ is on $\overline{BC}$ with $CD = 6.$ Point $E$ is on $\overline{BC}$ such that $\angle BAE \cong \angle CAD.$ Given that $BE = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, find $q.$

Respuesta

Solución:

Una ceviana $AD$ divide el lado opuesto en la razón $\begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned}$ y de forma análoga $\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}$ .

Como $\angle BAE = \angle CAD$ , también tenemos $\angle BAD = \angle CAE$ (cada uno es ese ángulo común más $\angle EAD$ ), así que multiplicar las dos razones cancela todos los senos: $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}$ . Con $BD = 9$ , $DC = 6$ , $AB = 13$ , y $AC = 14$ , esto da $\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.$

Por lo tanto $BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}$ . Como $463$ es primo y no divide a $2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2$ , la fracción está en su forma más simple, y $q = 463$ .

A cevian $AD$ splits the opposite side in the ratio $\begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned}$ and similarly $\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}.$

Since $\angle BAE = \angle CAD,$ we also have $\angle BAD = \angle CAE$ (each is that common angle plus $\angle EAD$ ), so multiplying the two ratios cancels all the sines: $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.$ With $BD = 9,$ $DC = 6,$ $AB = 13,$ and $AC = 14,$ this gives $\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.$

Hence $BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}.$ Since $463$ is prime and does not divide $2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2,$ the fraction is in lowest terms, and $q = 463.$

2005 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años