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2005 AIME II Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2005 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2005 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

En el triángulo ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=15BC = 15 y CA=14.CA = 14. El punto DD está sobre BC‾\overline{BC} con CD=6.CD = 6. El punto EE está sobre BC‾\overline{BC} tal que ∠BAE≅∠CAD.\angle BAE \cong \angle CAD. Dado que BE=pq,BE = \frac{p}{q}, donde pp y qq son enteros positivos primos entre sí, halla q.q.
In triangle ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=15,BC = 15, and CA=14.CA = 14. Point DD is on BC‾\overline{BC} with CD=6.CD = 6. Point EE is on BC‾\overline{BC} such that ∠BAE≅∠CAD.\angle BAE \cong \angle CAD. Given that BE=pq,BE = \frac{p}{q}, where pp and qq are relatively prime positive integers, find q.q.
Respuesta: 463
Conceptos:razón de áreastrigonometríarazón y proporción
Nivel de dificultad: 3060
Pista pequeña:
Compara BDDC\frac{BD}{DC} y BEEC\frac{BE}{EC} escribiendo cada razón como un cociente de áreas calculadas con 12xysin⁡θ\frac{1}{2}xy\sin\theta para triángulos con vértice A.A.
Compare BDDC\frac{BD}{DC} and BEEC\frac{BE}{EC} by writing each as a ratio of triangle areas 12xysin⁡θ\frac{1}{2}xy\sin\theta at vertex AA
Pista grande:
Los ángulos iguales se emparejan: al multiplicar las dos razones se obtiene BDDC⋅BEEC=AB2AC2.\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.
The equal angles pair up: multiplying the two ratios gives BDDC⋅BEEC=AB2AC2\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}
Solución:
Una ceviana ADAD divide el lado opuesto en la razón BDDC=[ABD][ACD]=12AB⋅ADsin⁡∠BAD12AC⋅ADsin⁡∠CAD=ABsin⁡∠BADACsin⁡∠CAD, \begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned} y de forma análoga BEEC=ABsin⁡∠BAEACsin⁡∠CAE.\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}.
Como ∠BAE=∠CAD,\angle BAE = \angle CAD, también tenemos ∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE (cada uno es ese ángulo común más ∠EAD\angle EAD), así que multiplicar las dos razones cancela todos los senos: BDDC⋅BEEC=AB2AC2.\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}. Con BD=9,BD = 9, DC=6,DC = 6, AB=13AB = 13 y AC=14,AC = 14, esto da BEEC=132142⋅69=169294.\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.
Por lo tanto BE=15⋅169169+294=2535463.BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}. Como 463463 es primo y no divide a 2535=3⋅5⋅132,2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2, la fracción está en su forma más simple, y q=463.q = 463.
A cevian ADAD splits the opposite side in the ratio BDDC=[ABD][ACD]=12AB⋅ADsin⁡∠BAD12AC⋅ADsin⁡∠CAD=ABsin⁡∠BADACsin⁡∠CAD, \begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned} and similarly BEEC=ABsin⁡∠BAEACsin⁡∠CAE.\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}.
Since ∠BAE=∠CAD,\angle BAE = \angle CAD, we also have ∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE (each is that common angle plus ∠EAD\angle EAD), so multiplying the two ratios cancels all the sines: BDDC⋅BEEC=AB2AC2.\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}. With BD=9,BD = 9, DC=6,DC = 6, AB=13,AB = 13, and AC=14,AC = 14, this gives BEEC=132142⋅69=169294.\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.
Hence BE=15⋅169169+294=2535463.BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}. Since 463463 is prime and does not divide 2535=3⋅5⋅132,2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2, the fraction is in lowest terms, and q=463.q = 463.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

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