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2014 AIME II Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2014 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

En △ABC,\triangle ABC, AB=10,AB = 10, ∠A=30∘,\angle A = 30^\circ, y ∠C=45∘.\angle C = 45^\circ. Sean H,H, D,D, y MM puntos sobre la recta BC‾\overline{BC} tales que AH‾⊥BC‾,\overline{AH} \perp \overline{BC}, ∠BAD=∠CAD,\angle BAD = \angle CAD, y BM=CM.BM = CM. El punto NN es el punto medio del segmento HM‾,\overline{HM}, y el punto PP está sobre el rayo ADAD tal que PN‾⊥BC‾.\overline{PN} \perp \overline{BC}. Entonces AP2=mn,AP^2 = \frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.
In △ABC,\triangle ABC, AB=10,AB = 10, ∠A=30∘,\angle A = 30^\circ, and ∠C=45∘.\angle C = 45^\circ. Let H,H, D,D, and MM be points on line BC‾\overline{BC} such that AH‾⊥BC‾,\overline{AH} \perp \overline{BC}, ∠BAD=∠CAD,\angle BAD = \angle CAD, and BM=CM.BM = CM. Point NN is the midpoint of segment HM‾,\overline{HM}, and point PP is on ray ADAD such that PN‾⊥BC‾.\overline{PN} \perp \overline{BC}. Then AP2=mn,AP^2 = \frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 77
Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradiobisectrizley de los senospunto medio
Nivel de dificultad: 3160
Pista pequeña:
Extiende el rayo ADAD hasta el circuncírculo: vuelve a cortarlo en el punto medio EE del arco BC,BC, cuya proyección sobre la recta BCBC es exactamente MM
Extend ray ADAD to the circumcircle: it meets it at the midpoint EE of arc BC,BC, whose projection onto line BCBC is exactly MM
Pista grande:
Como NN es el punto medio de HM‾,\overline{HM}, PP es el punto medio de AE‾.\overline{AE}. Halla AEAE a partir del triángulo ABEABE con la ley de senos.
Since NN is the midpoint of HM‾,\overline{HM}, PP is the midpoint of AE‾.\overline{AE}. Find AEAE from triangle ABEABE with the law of sines.
Solución:
Sea EE el segundo punto en que el rayo ADAD corta el circuncírculo de △ABC.\triangle ABC. Como ADAD bisecta el ángulo A,A, el punto EE es el punto medio del arco BC,BC, así que EE está sobre la mediatriz de BC‾\overline{BC} y se proyecta sobre la recta BCBC en M.M. Las proyecciones de los puntos colineales A,A, P,P, EE sobre la recta BCBC son H,H, N,N, M,M, y la proyección conserva las razones a lo largo de una recta; como NN es el punto medio de HM‾,\overline{HM}, el punto PP es el punto medio de AE‾.\overline{AE}.
Aquí ∠B=105∘,\angle B = 105^\circ, y ∠CBE=∠CAE=15∘\angle CBE = \angle CAE = 15^\circ (ambos subtienden el arco CECE), así que ∠ABE=120∘.\angle ABE = 120^\circ. Además ∠AEB=∠ACB=45∘\angle AEB = \angle ACB = 45^\circ (ambos subtienden el arco ABAB). La ley de senos en △ABE\triangle ABE da AE=AB⋅sin⁡∠ABEsin⁡∠AEB=10⋅sin⁡120∘sin⁡45∘=56. \begin{aligned} AE &= AB \cdot \frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle AEB} \\ &= 10 \cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6}. \end{aligned}
Por tanto AP=12AE=562,AP = \frac{1}{2} AE = \frac{5\sqrt{6}}{2}, así que AP2=752AP^2 = \frac{75}{2} y m+n=75+2=77.m + n = 75 + 2 = 77.
Let ray ADAD meet the circumcircle of △ABC\triangle ABC again at E.E. Since ADAD bisects angle A,A, the point EE is the midpoint of arc BC,BC, so EE lies on the perpendicular bisector of BC‾\overline{BC} and projects onto line BCBC at M.M. The projections of the collinear points A,A, P,P, EE onto line BCBC are H,H, N,N, M,M, and projection preserves ratios along a line; since NN is the midpoint of HM‾,\overline{HM}, point PP is the midpoint of AE‾.\overline{AE}.
Here ∠B=105∘,\angle B = 105^\circ, and ∠CBE=∠CAE=15∘\angle CBE = \angle CAE = 15^\circ (both subtend arc CECE), so ∠ABE=120∘.\angle ABE = 120^\circ. Also ∠AEB=∠ACB=45∘\angle AEB = \angle ACB = 45^\circ (both subtend arc ABAB). The law of sines in △ABE\triangle ABE gives AE=AB⋅sin⁡∠ABEsin⁡∠AEB=10⋅sin⁡120∘sin⁡45∘=56. \begin{aligned} AE &= AB \cdot \frac{\sin \angle ABE}{\sin \angle AEB} \\ &= 10 \cdot \frac{\sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} \\ &= 5\sqrt{6}. \end{aligned}
Therefore AP=12AE=562,AP = \frac{1}{2} AE = \frac{5\sqrt{6}}{2}, so AP2=752AP^2 = \frac{75}{2} and m+n=75+2=77.m + n = 75 + 2 = 77.
Problema 13#13
Examen completo
Problema 15#15

El Problema 14 en otros años

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