Las condiciones dicen que $a_n \bmod m$ depende solo de $n \bmod m,$ para cada $m = 2,$ $3,$ y $5$.

Por el teorema chino del resto, tanto las posiciones como los valores corresponden a ternas de residuos módulo $2,$ $3,$ y $5;$ una permutación válida es exactamente una elección de una permutación de residuos para cada módulo.

Para cada $m \in \{2, 3, 5\},$ la condición $a_{n+m} \equiv a_n \pmod{m}$ significa que el residuo de $a_n$ módulo $m$ depende solo de $n \bmod m,$ definiendo una aplicación $\sigma_m$ de residuos a residuos. Cada clase de residuos de posiciones tiene $\frac{30}{m}$ miembros, y lo mismo cada clase de residuos de valores; si $\sigma_m$ enviara dos clases de posiciones a la misma clase de valores, los $\frac{30}{m}$ valores de esa clase tendrían que llenar $\frac{60}{m}$ posiciones, lo cual es imposible. Así que cada $\sigma_m$ es una permutación de los residuos módulo $m.$

Recíprocamente, por el teorema chino del resto cada posición $n \in \{1, \ldots, 30\}$ corresponde a una única tripleta $(n \bmod 2,\, n \bmod 3,\, n \bmod 5),$ y lo mismo para los valores. Cualquier elección de permutaciones $(\sigma_2, \sigma_3, \sigma_5)$ determina, por lo tanto, una única permutación válida de $1, \ldots, 30,$ que envía la tripleta de posición a la tripleta de valor prescrita.

Por lo tanto $N = 2! \cdot 3! \cdot 5! = 1440,$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $440.$