Question

La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{BC}$ en $X.$ Sea $Y \neq X$ la otra intersección de $\overline{AX}$ con $\omega.$ Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, de modo que $\overline{PQ}$ es tangente a $\omega$ en $Y.$ Supón que $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ y $AQ = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The incircle $\omega$ of triangle $ABC$ is tangent to $\overline{BC}$ at $X.$ Let $Y \neq X$ be the other intersection of $\overline{AX}$ with $\omega.$ Points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, so that $\overline{PQ}$ is tangent to $\omega$ at $Y.$ Assume that $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ and $AQ = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $\omega$ tangente a $\overline{AB}$ en $Z$ y a $\overline{AC}$ en $W,$ y pon $\alpha = \angle BAX$ y $\beta = \angle AXC.$ El ángulo tangente-cuerda entre $PQ$ y la cuerda $XY$ es igual al que hay entre $BC$ y $XY,$ así que $\angle QYX = \angle YXC = \beta,$ y los ángulos opuestos por el vértice dan $\angle AYP = \beta.$ En el triángulo $APY$ la ley de senos da $PY = AP\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ y por tangentes iguales $PZ = PY,$ así que $\frac{AZ}{AP} = 1 + \frac{PY}{AP} = 1 + \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$ En el triángulo $ABX,$ como $\angle AXB = 180^\circ - \beta,$ de forma análoga $BX = AB\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ y $BZ = BX$ da $\frac{AZ}{AB} = 1 - \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$

Sumando las dos relaciones, $\frac{AZ}{AP} + \frac{AZ}{AB} = 2,$ así que con $AP = 3$ y $AB = 7$ obtenemos $AZ\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) = 2,$ de donde $AZ = \frac{21}{5}.$ El mismo argumento sobre el lado $AC$ (usando $\angle XAC$ en los triángulos $AQY$ y $ACX$ ) da $\frac{AW}{AQ} + \frac{AW}{AC} = 2,$ y $AW = AZ = \frac{21}{5}$ por tangentes iguales desde $A.$ Por lo tanto $\frac{1}{AQ} = \frac{10}{21} - \frac{1}{8} = \frac{59}{168},$ así que $AQ = \frac{168}{59}$ y $m + n = 168 + 59 = 227.$

Let $\omega$ touch $\overline{AB}$ at $Z$ and $\overline{AC}$ at $W,$ and set $\alpha = \angle BAX$ and $\beta = \angle AXC.$ The tangent-chord angle between $PQ$ and chord $XY$ equals the one between $BC$ and $XY,$ so $\angle QYX = \angle YXC = \beta,$ and vertical angles give $\angle AYP = \beta.$ In triangle $APY$ the law of sines gives $PY = AP\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ and by equal tangents $PZ = PY,$ so $\frac{AZ}{AP} = 1 + \frac{PY}{AP} = 1 + \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$ In triangle $ABX,$ since $\angle AXB = 180^\circ - \beta,$ similarly $BX = AB\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ and $BZ = BX$ gives $\frac{AZ}{AB} = 1 - \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$

Adding the two relations, $\frac{AZ}{AP} + \frac{AZ}{AB} = 2,$ so with $AP = 3$ and $AB = 7$ we get $AZ\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) = 2,$ hence $AZ = \frac{21}{5}.$ The identical argument on side $AC$ (using $\angle XAC$ in triangles $AQY$ and $ACX$ ) gives $\frac{AW}{AQ} + \frac{AW}{AC} = 2,$ and $AW = AZ = \frac{21}{5}$ by equal tangents from $A.$ Therefore $\frac{1}{AQ} = \frac{10}{21} - \frac{1}{8} = \frac{59}{168},$ so $AQ = \frac{168}{59}$ and $m + n = 168 + 59 = 227.$

2018 AIME II Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años