Solución:

Sea $d_i = f(i) - f(i-1),$ de modo que cada $|d_i| \in \{1, 2, 3\}$ y $d_1 + \cdots + d_6 = 12.$ Si $k$ de las diferencias fueran negativas, la suma sería a lo sumo $3(6 - k) - k = 18 - 4k,$ así que $k \le 1.$ Si ninguna diferencia es negativa, las soluciones de $a + b + c = 6,$ $a + 2b + 3c = 12$ (con $a, b, c$ contando los $1$, los $2$ y los $3$) son $(0,6,0),$ $(1,4,1),$ $(2,2,2),$ $(3,0,3),$ y todos esos ordenamientos satisfacen cada condición de pares, lo que da $$\begin{aligned} &\binom{6}{0,6,0} + \binom{6}{1,4,1} \\ &\quad {}+ \binom{6}{2,2,2} + \binom{6}{3,0,3} \\ &= 1 + 30 + 90 + 20 = 141. \end{aligned}$$

Si $d_1 \lt 0,$ entonces $|f(2)| \ge 2$ junto con $f(2) \le d_1 + 3$ obliga a $d_1 = -1$ y $d_2 = 3;$ las cuatro diferencias restantes son positivas y suman $10,$ lo que da $\binom{4}{1,0,3} + \binom{4}{0,2,2} = 4 + 6 = 10$ funciones, y el caso $d_6 \lt 0$ es simétrico: $20$ en total. Por último, si $d_{n+1} \lt 0$ para algún $n = 1, 2, 3, 4,$ las condiciones de pares $|f(n+1) - f(n-1)| \ge 2$ y $|f(n+2) - f(n)| \ge 2$ obligan a $d_{n+1} = -1$ y $d_n = d_{n+2} = 3.$ Las otras tres diferencias son positivas y suman $7,$ lo que se logra con dos $3$ y un $1$ o con un $3$ y dos $2,$ cada uno en $3$ órdenes: $6$ maneras para cada una de las $4$ posiciones, o $24$ funciones.

El total es $141 + 20 + 24 = 185.$