Question

Dado que una sucesión satisface $x_0 = 0$ y $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ para todos los enteros $k \ge 1,$ halla el mínimo valor posible de $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|.$

Given that a sequence satisfies $x_0 = 0$ and $|x_k| = |x_{k-1} + 3|$ for all integers $k \ge 1,$ find the minimum possible value of $|x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006}|.$

Respuesta

Solución:

Elevar al cuadrado la recurrencia da $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ $= x_{k-1}^2 + 6 x_{k-1} + 9.$ Sumar para $k = 1$ hasta $2007$ se telescopa: $x_{2007}^2 = x_0^2 + 6 \sum_{k=0}^{2006} x_k + 9 \cdot 2007,$ así que con $x_0 = 0,$ $\begin{aligned} &x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006} \\ &= \frac{x_{2007}^2 - 18063}{6}. \end{aligned}$

La inducción muestra que cada $x_k$ es múltiplo de $3$ cuya paridad coincide con la de $k,$ así que $x_{2007}$ es un múltiplo impar de $3.$ Para minimizar $\left|x_{2007}^2 - 18063\right|,$ toma el múltiplo impar de $3$ cuyo cuadrado sea el más cercano a $18063:$ es decir $\pm 135,$ con $135^2 = 18225,$ lo que da $\frac{18225 - 18063}{6} = 27$ (los vecinos $129$ y $141$ dan $237$ y $303$ ).

Este valor se alcanza: toma $x_k = 3k$ para $k \le 45,$ y a partir de ahí alterna $x_k = -138$ para $k$ par y $x_k = 135$ para $k$ impar; entonces $x_{2007} = 135$ y la suma es $27.$ Así que el mínimo es $27.$

Squaring the recurrence gives $x_k^2 = (x_{k-1} + 3)^2$ $= x_{k-1}^2 + 6 x_{k-1} + 9.$ Summing for $k = 1$ to $2007$ telescopes: $x_{2007}^2 = x_0^2 + 6 \sum_{k=0}^{2006} x_k + 9 \cdot 2007,$ so with $x_0 = 0,$ $\begin{aligned} &x_1 + x_2 + \cdots + x_{2006} \\ &= \frac{x_{2007}^2 - 18063}{6}. \end{aligned}$

Induction shows each $x_k$ is a multiple of $3$ whose parity matches that of $k,$ so $x_{2007}$ is an odd multiple of $3.$ To minimize $\left|x_{2007}^2 - 18063\right|,$ take the odd multiple of $3$ whose square is nearest $18063:$ that is $\pm 135,$ with $135^2 = 18225,$ giving $\frac{18225 - 18063}{6} = 27$ (the neighbors $129$ and $141$ give $237$ and $303$ ).

This value is attained: take $x_k = 3k$ for $k \le 45,$ and thereafter alternate $x_k = -138$ for even $k$ and $x_k = 135$ for odd $k;$ then $x_{2007} = 135$ and the sum is $27.$ So the minimum is $27.$

2006 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años