Solución:

Sumando la ecuación $x^2 - y - k = 0$ a $\frac{1}{2}$ veces $2(y - 20)^2 - x - k = 0$ se obtiene una cónica que pasa por todos los puntos de intersección con coeficientes de $x^2$ y $y^2$ iguales: $$\begin{aligned} &x^2 + y^2 - \tfrac{1}{2}x - 41y \\ &\quad {}+ 400 - \tfrac{3k}{2} = 0, \end{aligned}$$ un círculo centrado en $\left(\frac{1}{4}, \frac{41}{2}\right)$ con radio al cuadrado $\frac{1}{16} + \frac{1681}{4} - 400 + \frac{3k}{2}$ $= \frac{325}{16} + \frac{3k}{2}.$ Así que siempre que existan cuatro puntos de intersección distintos, son concíclicos, y el radio es a lo sumo $21$ exactamente cuando $\frac{325}{16} + \frac{3k}{2} \le 441,$ es decir $k \le 280$ para enteros.

Sustituyendo $y = x^2 - k$ en la segunda parábola se obtiene la cuártica $f(x) = 2(x^2 - c)^2 - x - k = 0$ donde $c = k + 20.$ Para $1 \le k \le 4:$ si $x \le -k$ entonces $f(x) = 2(x^2 - c)^2$ $+ (-x - k) \gt 0,$ y si $-k \lt x \le 0$ entonces $x^2 \lt 16$ mientras que $c \ge 21,$ así que $f(x) \gt 2 \cdot 25 - k \gt 0;$ por lo tanto no hay intersecciones con $x \le 0,$ y como $f'(x) = 8x^3 - 8cx - 1$ tiene exactamente una raíz positiva, $f$ tiene a lo sumo (y, por $f(0) \gt 0,$ $f(\sqrt{c}) \lt 0,$ exactamente) dos raíces positivas. Así que $k \le 4$ falla. Para $k \ge 5,$ tenemos $k^2 \ge k + 20,$ así que $f\left(-\sqrt{c}\right) = \sqrt{c} - k \le 0$ con $f$ estrictamente decreciente ahí, mientras que $f(-\infty) = +\infty,$ $f(0) = 2c^2 - k \gt 0,$ $f\left(\sqrt{c}\right) = -\sqrt{c} - k \lt 0,$ y $f(+\infty) = +\infty:$ los cambios de signo producen cuatro raíces reales distintas.

Por lo tanto $S = \{5, 6, \ldots, 280\},$ y la respuesta es $5 + 280 = 285.$