Question

Sea $\overline{AB}$ una cuerda de una circunferencia $\omega,$ y sea $P$ un punto sobre la cuerda $\overline{AB}.$ La circunferencia $\omega_1$ pasa por $A$ y $P$ y es tangente internamente a $\omega.$ La circunferencia $\omega_2$ pasa por $B$ y $P$ y es tangente internamente a $\omega.$ Las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en los puntos $P$ y $Q.$ La recta $PQ$ corta a $\omega$ en $X$ y $Y.$ Suponga que $AP = 5,$ $PB = 3,$ $XY = 11,$ y $PQ^2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $\overline{AB}$ be a chord of a circle $\omega,$ and let $P$ be a point on the chord $\overline{AB}.$ Circle $\omega_1$ passes through $A$ and $P$ and is internally tangent to $\omega.$ Circle $\omega_2$ passes through $B$ and $P$ and is internally tangent to $\omega.$ Circles $\omega_1$ and $\omega_2$ intersect at points $P$ and $Q.$ Line $PQ$ intersects $\omega$ at $X$ and $Y.$ Assume that $AP = 5,$ $PB = 3,$ $XY = 11,$ and $PQ^2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como $A$ está tanto en $\omega$ como en $\omega_1$ y las circunferencias tangentes internamente se encuentran solo en su punto de tangencia, $\omega_1$ es tangente a $\omega$ en $A;$ de igual modo $\omega_2$ es tangente en $B.$ Sea $Z$ la intersección de las rectas tangentes a $\omega$ en $A$ y $B.$ Cada recta tangente también es tangente a la circunferencia interior correspondiente, así que las potencias de $Z$ respecto de $\omega_1$ y $\omega_2$ son $ZA^2$ y $ZB^2,$ que son iguales. Por lo tanto $Z$ está sobre el eje radical $PQ,$ y a lo largo de la recta que pasa por $Z, X, P, Q, Y:$ $ZP \cdot ZQ = ZA^2 = ZX \cdot ZY,$ la última igualdad porque $ZA$ es tangente a $\omega.$

Como $ZA = ZB,$ el punto $Z$ está sobre la mediatriz de $\overline{AB};$ si $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ entonces $ZA^2 - ZP^2$ $= MA^2 - MP^2$ $= 4^2 - 1^2 = 15.$ Además, la potencia de $P$ en $\omega$ da $XP \cdot PY = AP \cdot PB = 15.$ Sea $s = ZP$ y $u = ZX,$ de modo que $ZY = u + 11.$ Las relaciones se convierten en $\begin{aligned} u(u + 11) &= s^2 + 15, \\ (s - u)(u + 11 - s) &= 15. \end{aligned}$ Desarrollando la segunda y sustituyendo la primera se obtiene $u = s - \frac{11}{2} + \frac{15}{s},$ y sustituyendo de vuelta da $\left(s + \frac{15}{s}\right)^2 - \frac{121}{4} = s^2 + 15,$ así que $\frac{225}{s^2} = \frac{61}{4}.$

Finalmente $ZQ = \frac{ZA^2}{ZP} = s + \frac{15}{s},$ así que $PQ = ZQ - ZP = \frac{15}{s}$ y $PQ^2 = \frac{225}{s^2} = \frac{61}{4}.$ Por lo tanto $m + n = 61 + 4 = 65.$

Since $A$ lies on both $\omega$ and $\omega_1$ and internally tangent circles meet only at their point of tangency, $\omega_1$ is tangent to $\omega$ at $A;$ likewise $\omega_2$ is tangent at $B.$ Let $Z$ be the intersection of the tangent lines to $\omega$ at $A$ and $B.$ Each tangent line is also tangent to the corresponding inner circle, so the powers of $Z$ with respect to $\omega_1$ and $\omega_2$ are $ZA^2$ and $ZB^2,$ which are equal. Hence $Z$ lies on the radical axis $PQ,$ and along the line through $Z, X, P, Q, Y:$ $ZP \cdot ZQ = ZA^2 = ZX \cdot ZY,$ the last equality because $ZA$ is tangent to $\omega.$

Because $ZA = ZB,$ the point $Z$ lies on the perpendicular bisector of $\overline{AB};$ if $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ then $ZA^2 - ZP^2$ $= MA^2 - MP^2$ $= 4^2 - 1^2 = 15.$ Also the power of $P$ in $\omega$ gives $XP \cdot PY = AP \cdot PB = 15.$ Set $s = ZP$ and $u = ZX,$ so $ZY = u + 11.$ The relations become $\begin{aligned} u(u + 11) &= s^2 + 15, \\ (s - u)(u + 11 - s) &= 15. \end{aligned}$ Expanding the second and substituting the first yields $u = s - \frac{11}{2} + \frac{15}{s},$ and substituting back gives $\left(s + \frac{15}{s}\right)^2 - \frac{121}{4} = s^2 + 15,$ so $\frac{225}{s^2} = \frac{61}{4}.$

Finally $ZQ = \frac{ZA^2}{ZP} = s + \frac{15}{s},$ so $PQ = ZQ - ZP = \frac{15}{s}$ and $PQ^2 = \frac{225}{s^2} = \frac{61}{4}.$ Therefore $m + n = 61 + 4 = 65.$

2019 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años