Question

El triángulo

ABC

está inscrito en la circunferencia

\omega

con

AB = 5,

BC = 7,

y

AC = 3.

La bisectriz del ángulo

A

corta al lado

\overline{BC}

en

D

y a la circunferencia

\omega

en un segundo punto

E.

Sea

\gamma

la circunferencia de diámetro

\overline{DE}.

Las circunferencias

\omega

y

\gamma

se cortan en

E

y en un segundo punto

F.

Entonces

AF^2 = \frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halle

m + n.

Triangle

ABC

is inscribed in circle

\omega

with

AB = 5,

BC = 7,

and

AC = 3.

The bisector of angle

A

meets side

\overline{BC}

at

D

and circle

\omega

at a second point

E.

Let

\gamma

be the circle with diameter

\overline{DE}.

Circles

\omega

and

\gamma

meet at

E

and a second point

F.

Then

AF^2 = \frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 919

Conceptos:círculo ángulo inscrito bisectriz geometría analítica

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Sea

E'

el punto diametralmente opuesto a

E

en

\omega;

los ángulos en semicircunferencias dan

\angle DFE = \angle E'FE = 90^\circ,

así que

F

está en la recta

E'D

.

Let

E'

be diametrically opposite

E

on

\omega;

angles in semicircles give

\angle DFE = \angle E'FE = 90^\circ,

so

F

lies on line

E'D

Pista grande:

Coloque

B = (0, 0)

y

C = (7, 0);

entonces

D,

E,

E'

tienen coordenadas sencillas, y

F

resulta de intersecar la recta

E'D

con

\omega

.

Place

B = (0, 0)

and

C = (7, 0);

then

D,

E,

E'

have clean coordinates, and

F

comes from intersecting line

E'D

with

\omega

Solución:

Sea

E'

el punto de

\omega

diametralmente opuesto a

E.

Como

\overline{DE}

es un diámetro de

\gamma,

el ángulo

\angle DFE = 90^\circ,

y como

\overline{EE'}

es un diámetro de

\omega,

también

\angle E'FE = 90^\circ.

Tanto

FD

como

FE'

son perpendiculares a

FE,

así que

D

está en la recta

E'F:

el punto

F

es la segunda intersección de la recta

E'D

con

\omega.

Tomamos

B = (0, 0)

y

C = (7, 0);

entonces

A = \left(\frac{65}{14}, \frac{15\sqrt{3}}{14}\right).

La bisectriz da

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{3},

así que

D = \left(\frac{35}{8}, 0\right).

Como

E

es el punto medio del arco

BC

que no contiene a

A,

tanto

E

como

E'

están en la recta vertical

x = \frac{7}{2}

que pasa por el centro

O = \left(\frac{7}{2}, -\frac{7\sqrt{3}}{6}\right),

el cual satisface

|OB| = |OA|

con

R^2 = \frac{49}{3}.

Así

E = \left(\frac{7}{2}, -\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)

y

E' = \left(\frac{7}{2}, \frac{7\sqrt{3}}{6}\right).

La dirección de

E'

a

D

es proporcional a

(3, -4\sqrt{3}),

y el punto

E' + t\,(3, -4\sqrt{3})

está en

\omega

cuando

57t^2 - 56t = 0,

así que

t = \frac{56}{57}

da

F = \left(\frac{245}{38}, -\frac{105\sqrt{3}}{38}\right).

Entonces

\begin{aligned} AF^2 &= \left(\frac{240}{133}\right)^2 + 3\left(\frac{510}{133}\right)^2 \\ &= \frac{837900}{17689} = \frac{900}{19}, \end{aligned}

así que

m + n = 900 + 19 = 919.

Let

E'

be the point of

\omega

diametrically opposite

E.

Since

\overline{DE}

is a diameter of

\gamma,

the angle

\angle DFE = 90^\circ,

and since

\overline{EE'}

is a diameter of

\omega,

also

\angle E'FE = 90^\circ.

Both

FD

and

FE'

are perpendicular to

FE,

so

D

lies on line

E'F:

the point

F

is the second intersection of line

E'D

with

\omega.

Set

B = (0, 0)

and

C = (7, 0);

then

A = \left(\frac{65}{14}, \frac{15\sqrt{3}}{14}\right).

The bisector gives

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{3},

so

D = \left(\frac{35}{8}, 0\right).

Since

E

is the midpoint of arc

BC

not containing

A,

both

E

and

E'

lie on the vertical line

x = \frac{7}{2}

through the center

O = \left(\frac{7}{2}, -\frac{7\sqrt{3}}{6}\right),

which satisfies

|OB| = |OA|

with

R^2 = \frac{49}{3}.

Thus

E = \left(\frac{7}{2}, -\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)

and

E' = \left(\frac{7}{2}, \frac{7\sqrt{3}}{6}\right).

The direction from

E'

to

D

is proportional to

(3, -4\sqrt{3}),

and the point

E' + t\,(3, -4\sqrt{3})

lies on

\omega

when

57t^2 - 56t = 0,

so

t = \frac{56}{57}

gives

F = \left(\frac{245}{38}, -\frac{105\sqrt{3}}{38}\right).

Then

\begin{aligned} AF^2 &= \left(\frac{240}{133}\right)^2 + 3\left(\frac{510}{133}\right)^2 \\ &= \frac{837900}{17689} = \frac{900}{19}, \end{aligned}

so

m + n = 900 + 19 = 919.

2012 AIME II Problema 15

Respuesta: 919

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años