Solución:

Escribe $z = a + bi$ con $a^2 + b^2 = p,$ así que $p = 2$ o $p \equiv 1 \pmod 4,$ y el par $\{|a|, |b|\}$ es entonces único. Reemplazar $z$ por $\pm z,$ $\pm\bar{z},$ $\pm iz,$ $\pm i\bar{z}$ solo cambia las partes real e imaginaria de $z^3$ por signos e intercambios, así que podemos tomar $a \gt b \gt 0,$ y las dos longitudes de lado candidatas son $|\operatorname{Re} z^3|$ y $|\operatorname{Im} z^3|.$ Desarrollando $z^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i$ y factorizando, $$\begin{aligned} &\operatorname{Re} z^3 + \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a - b)(p + 4ab), \qquad \\ &\operatorname{Re} z^3 - \operatorname{Im} z^3 \\ &\quad = (a + b)(p - 4ab). \end{aligned}$$ El triángulo existe exactamente cuando $\bigl||\operatorname{Re}| - |\operatorname{Im}|\bigr| \lt p$ $\lt |\operatorname{Re}| + |\operatorname{Im}|,$ y esas dos cantidades son, en algún orden, los valores absolutos de arriba. Como $a \gt b$ obliga a $(a - b)(p + 4ab) \gt p,$ toda la condición se reduce a $(a + b)\,|p - 4ab| \lt p.$

Como $a + b \gt \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{p},$ esto requiere $|p - 4ab| \lt \sqrt{p} \lt 32:$ los productos $4ab$ y $a^2 + b^2$ deben casi coincidir. Revisando los primos $p \equiv 1 \pmod 4$ por debajo de $1000$ de mayor a menor, cada uno con su representación única (por ejemplo $997 = 31^2 + 6^2$ da $(a+b)|p - 4ab| = 37 \cdot 253,$ demasiado grande), la condición falla para todo primo mayor que $349$ y se cumple para $349 = 18^2 + 5^2,$ donde $(a + b)\,|p - 4ab|$ $= 23 \cdot |349 - 360|$ $= 253 \lt 349.$

En efecto, para $z = 18 + 5i$ obtenemos $z^3 = 4482 + 4735i,$ y las longitudes $349,$ $4482,$ $4735$ forman un triángulo válido. La respuesta es $349.$