Solución:

Sea $k$ el menor entero con $k^2 \ge n$. La función $f$ sube de a un paso hasta el siguiente cuadrado perfecto, así que $f(n) = k + (k^2 - n)$. La función $g$ sube en pasos de $2$, preservando la paridad de su argumento, y $j^2 \equiv j \pmod 2$, así que $g(n) = j + (j^2 - n)$, donde $j$ es el menor entero con $j^2 \ge n$ y $j \equiv n \pmod 2$. Si $k \equiv n \pmod 2$, entonces $j = k$ y la razón es $1$; así que necesitamos $k \not\equiv n \pmod 2$, en cuyo caso $j = k + 1$ y $g(n) - f(n) = (k+1)^2 - k^2 + 1$ $= 2k + 2$.

Entonces $7f = 4g = 4f + 4(2k + 2)$ da $f = \frac{8(k+1)}{3}$, así que $k \equiv 2 \pmod 3$ y $$n = k^2 + k - \frac{8(k+1)}{3},$$ sujeto a $(k-1)^2 \lt n \le k^2$ y $n \not\equiv k \pmod 2$.

Para $k = 2, 5, 8, 11$ la fórmula da $n = -2, 14, 48, 100$, cada uno fallando $n \gt (k-1)^2$; para $k = 14$, $n = 170$ está en el rango pero tiene la misma paridad que $k$. Para $k = 17$, $n = 289 + 17 - 48 = 258$, que satisface $256 \lt 258 \le 289$ y es par mientras que $k$ es impar. En efecto, $f(258) = 17 + 31 = 48$ y $g(258) = 18 + 66 = 84$, con $\frac{48}{84} = \frac{4}{7}$, así que el menor $n$ es $258$.