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2013 AIME I Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2013 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

Sea NN el número de ternas ordenadas (A,B,C)(A, B, C) de enteros que satisfacen las condiciones:
• 0≤A<B<C≤99,0 \le A \lt B \lt C \le 99,
• existen enteros a,a, b,b, y c,c, y un primo pp donde 0≤b<a<c<p,0 \le b \lt a \lt c \lt p,
• pp divide a A−a,A - a, B−b,B - b, y C−c,C - c, y
• cada terna ordenada (A,B,C)(A, B, C) y cada terna ordenada (b,a,c)(b, a, c) forman sucesiones aritméticas.
Halla N.N.
Let NN be the number of ordered triples (A,B,C)(A, B, C) of integers satisfying the conditions
• 0≤A<B<C≤99,0 \le A \lt B \lt C \le 99,
• there exist integers a,a, b,b, and c,c, and prime pp where 0≤b<a<c<p,0 \le b \lt a \lt c \lt p,
• pp divides A−a,A - a, B−b,B - b, and C−c,C - c, and
• each ordered triple (A,B,C)(A, B, C) and each ordered triple (b,a,c)(b, a, c) form arithmetic sequences.
Find N.N.
Respuesta: 272
Conceptos:sucesión aritméticaaritmética modularconteo de pares
Nivel de dificultad: 3270
Pista pequeña:
Si DD y dd son las diferencias comunes de (A,B,C)(A,B,C) y (b,a,c),(b,a,c), entonces módulo pp se cumple a la vez D≡−dD \equiv -d y D≡2d,D \equiv 2d, así que 3d3d es divisible por pp.
If DD and dd are the common differences of (A,B,C)(A,B,C) and (b,a,c),(b,a,c), then mod pp both D≡−dD \equiv -d and D≡2d,D \equiv 2d, so 3d3d is divisible by pp
Pista grande:
Como 0<2d<p,0 \lt 2d \lt p, eso obliga a p=3p = 3 y (b,a,c)=(0,1,2);(b,a,c) = (0,1,2); cuenta las ternas con A≡1,A \equiv 1, B≡0,B \equiv 0, C≡2(mod3)C \equiv 2 \pmod 3.
Since 0<2d<p,0 \lt 2d \lt p, that forces p=3p = 3 and (b,a,c)=(0,1,2);(b,a,c) = (0,1,2); count triples with A≡1,A \equiv 1, B≡0,B \equiv 0, C≡2(mod3)C \equiv 2 \pmod 3
Solución:
Sea dd la diferencia común de (b,a,c),(b, a, c), de modo que a−b=c−a=d>0a - b = c - a = d \gt 0 y c=b+2d<p,c = b + 2d \lt p, de donde 0<2d<p.0 \lt 2d \lt p. Sea D>0D \gt 0 la diferencia común de (A,B,C).(A, B, C). Reduciendo módulo p,p, obtenemos D=B−A≡b−a=−dD = B - A \equiv b - a = -d y D=C−B≡c−b=2d,D = C - B \equiv c - b = 2d, así que 3d3d es divisible por p.p. Como 0<d<p,0 \lt d \lt p, el primo pp no puede dividir a d,d, así que p=3;p = 3; entonces 2d<32d \lt 3 da d=1d = 1 y (b,a,c)=(0,1,2).(b, a, c) = (0, 1, 2).
Así que las ternas válidas son exactamente las progresiones aritméticas crecientes en [0,99][0, 99] con A≡1,A \equiv 1, B≡0,B \equiv 0, C≡2(mod3).C \equiv 2 \pmod 3. Escribe A=1+3jA = 1 + 3j con j≥0;j \ge 0; la diferencia satisface D≡−1≡2(mod3),D \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3, así que D=2+3kD = 2 + 3k con k≥0.k \ge 0. La restricción es C=A+2DC = A + 2D =5+3j+6k≤99,= 5 + 3j + 6k \le 99, es decir j+2k≤31,j + 2k \le 31, y todo par (j,k)(j, k) de este tipo funciona.
Para cada k=0,1,…,15k = 0, 1, \ldots, 15 hay 32−2k32 - 2k elecciones de j,j, así que N=∑k=015(32−2k)=16⋅32−2⋅15⋅162=512−240=272. \begin{aligned} &N = \sum_{k=0}^{15} (32 - 2k) \\ &= 16 \cdot 32 - 2 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} \\ &= 512 - 240 = 272. \end{aligned}
Let dd be the common difference of (b,a,c),(b, a, c), so a−b=c−a=d>0a - b = c - a = d \gt 0 and c=b+2d<p,c = b + 2d \lt p, whence 0<2d<p.0 \lt 2d \lt p. Let D>0D \gt 0 be the common difference of (A,B,C).(A, B, C). Reducing mod p,p, we get D=B−A≡b−a=−dD = B - A \equiv b - a = -d and D=C−B≡c−b=2d,D = C - B \equiv c - b = 2d, so 3d3d is divisible by p.p. Since 0<d<p,0 \lt d \lt p, the prime pp cannot divide d,d, so p=3;p = 3; then 2d<32d \lt 3 gives d=1d = 1 and (b,a,c)=(0,1,2).(b, a, c) = (0, 1, 2).
So the valid triples are exactly the increasing arithmetic progressions in [0,99][0, 99] with A≡1,A \equiv 1, B≡0,B \equiv 0, C≡2(mod3).C \equiv 2 \pmod 3. Write A=1+3jA = 1 + 3j with j≥0;j \ge 0; the difference satisfies D≡−1≡2(mod3),D \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3, so D=2+3kD = 2 + 3k with k≥0.k \ge 0. The constraint is C=A+2DC = A + 2D =5+3j+6k≤99,= 5 + 3j + 6k \le 99, i.e. j+2k≤31,j + 2k \le 31, and every such pair (j,k)(j, k) works.
For each k=0,1,…,15k = 0, 1, \ldots, 15 there are 32−2k32 - 2k choices of j,j, so N=∑k=015(32−2k)=16⋅32−2⋅15⋅162=512−240=272. \begin{aligned} &N = \sum_{k=0}^{15} (32 - 2k) \\ &= 16 \cdot 32 - 2 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} \\ &= 512 - 240 = 272. \end{aligned}
Problema 14#14
Examen completo

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