Question

Sea $N$ el número de ternas ordenadas $(A, B, C)$ de enteros que satisfacen las condiciones:

• $0 \le A \lt B \lt C \le 99,$

• existen enteros $a,$ $b,$ y $c,$ y un primo $p$ donde $0 \le b \lt a \lt c \lt p,$

• $p$ divide a $A - a,$ $B - b,$ y $C - c,$ y

• cada terna ordenada $(A, B, C)$ y cada terna ordenada $(b, a, c)$ forman sucesiones aritméticas.

Halla $N.$

Let $N$ be the number of ordered triples $(A, B, C)$ of integers satisfying the conditions

• $0 \le A \lt B \lt C \le 99,$

• there exist integers $a,$ $b,$ and $c,$ and prime $p$ where $0 \le b \lt a \lt c \lt p,$

• $p$ divides $A - a,$ $B - b,$ and $C - c,$ and

• each ordered triple $(A, B, C)$ and each ordered triple $(b, a, c)$ form arithmetic sequences.

Find $N.$

Respuesta

Solución:

Sea $d$ la diferencia común de $(b, a, c),$ de modo que $a - b = c - a = d \gt 0$ y $c = b + 2d \lt p,$ de donde $0 \lt 2d \lt p.$ Sea $D \gt 0$ la diferencia común de $(A, B, C).$ Reduciendo módulo $p,$ obtenemos $D = B - A \equiv b - a = -d$ y $D = C - B \equiv c - b = 2d,$ así que $p \mid 3d.$ Como $0 \lt d \lt p,$ el primo $p$ no puede dividir a $d,$ así que $p = 3;$ entonces $2d \lt 3$ da $d = 1$ y $(b, a, c) = (0, 1, 2).$

Así que las ternas válidas son exactamente las progresiones aritméticas crecientes en $[0, 99]$ con $A \equiv 1,$ $B \equiv 0,$ $C \equiv 2 \pmod 3.$ Escribe $A = 1 + 3j$ con $j \ge 0;$ la diferencia satisface $D \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3,$ así que $D = 2 + 3k$ con $k \ge 0.$ La restricción es $C = A + 2D$ $= 5 + 3j + 6k \le 99,$ es decir $j + 2k \le 31,$ y todo par $(j, k)$ de este tipo funciona.

Para cada $k = 0, 1, \ldots, 15$ hay $32 - 2k$ elecciones de $j,$ así que $\begin{aligned} &N = \sum_{k=0}^{15} (32 - 2k) \\ &= 16 \cdot 32 - 2 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} \\ &= 512 - 240 = 272. \end{aligned}$

Let $d$ be the common difference of $(b, a, c),$ so $a - b = c - a = d \gt 0$ and $c = b + 2d \lt p,$ whence $0 \lt 2d \lt p.$ Let $D \gt 0$ be the common difference of $(A, B, C).$ Reducing mod $p,$ we get $D = B - A \equiv b - a = -d$ and $D = C - B \equiv c - b = 2d,$ so $p \mid 3d.$ Since $0 \lt d \lt p,$ the prime $p$ cannot divide $d,$ so $p = 3;$ then $2d \lt 3$ gives $d = 1$ and $(b, a, c) = (0, 1, 2).$

So the valid triples are exactly the increasing arithmetic progressions in $[0, 99]$ with $A \equiv 1,$ $B \equiv 0,$ $C \equiv 2 \pmod 3.$ Write $A = 1 + 3j$ with $j \ge 0;$ the difference satisfies $D \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3,$ so $D = 2 + 3k$ with $k \ge 0.$ The constraint is $C = A + 2D$ $= 5 + 3j + 6k \le 99,$ i.e. $j + 2k \le 31,$ and every such pair $(j, k)$ works.

For each $k = 0, 1, \ldots, 15$ there are $32 - 2k$ choices of $j,$ so $\begin{aligned} &N = \sum_{k=0}^{15} (32 - 2k) \\ &= 16 \cdot 32 - 2 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} \\ &= 512 - 240 = 272. \end{aligned}$

2013 AIME I Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años