Question

Halla el mayor entero $n$ que satisface las siguientes condiciones: (i) $n^2$ puede expresarse como la diferencia de dos cubos consecutivos; (ii) $2n + 79$ es un cuadrado perfecto.

Find the largest integer $n$ satisfying the following conditions: (i) $n^2$ can be expressed as the difference of two consecutive cubes; (ii) $2n + 79$ is a perfect square.

Respuesta

Solución:

La condición (i) dice $n^2 = (m + 1)^3 - m^3$ $= 3m^2 + 3m + 1$ para algún entero $m.$ Multiplicando por $4$ y reordenando, $4n^2 - 1 = 12m^2 + 12m + 3,$ es decir, $(2n - 1)(2n + 1) = 3(2m + 1)^2.$ Los factores de la izquierda son números impares consecutivos, por lo tanto coprimos, así que uno de ellos es un cuadrado perfecto y el otro es $3$ veces un cuadrado. Si $2n - 1 = 3k^2,$ entonces $2n + 1 \equiv 2 \pmod 3$ sería un cuadrado perfecto, lo cual es imposible. Por lo tanto $2n - 1 = k^2$ con $k$ impar.

Escribir $k = 2a + 1$ da $n = 2a^2 + 2a + 1.$ La condición (ii) dice $2n + 79 = 4a^2 + 4a + 81 = d^2,$ así que $\begin{aligned} &(d - 2a - 1) \\ &\quad {}\cdot (d + 2a + 1) \\ &= d^2 - (2a + 1)^2 \\ &= 80. \end{aligned}$ Los dos factores tienen la misma paridad, así que ambos son pares: los pares $(2, 40),$ $(4, 20),$ $(8, 10)$ dan $2a + 1 = 19,$ $8,$ $1,$ de los cuales los valores impares producen $a = 9$ (así $n = 181$ ) y $a = 0$ (así $n = 1$ ).

Para $n = 181:$ en efecto $181^2 = 32761 = 105^3 - 104^3$ (aquí $2n + 1 = 363 = 3 \cdot 11^2,$ como se requería), y $2n + 79 = 441 = 21^2.$ Así que el mayor $n$ de este tipo es $181.$

Condition (i) says $n^2 = (m + 1)^3 - m^3$ $= 3m^2 + 3m + 1$ for some integer $m.$ Multiplying by $4$ and rearranging, $4n^2 - 1 = 12m^2 + 12m + 3,$ i.e. $(2n - 1)(2n + 1) = 3(2m + 1)^2.$ The factors on the left are consecutive odd numbers, hence coprime, so one of them is a perfect square and the other is $3$ times a square. If $2n - 1 = 3k^2,$ then $2n + 1 \equiv 2 \pmod 3$ would be a perfect square, which is impossible. Hence $2n - 1 = k^2$ with $k$ odd.

Writing $k = 2a + 1$ gives $n = 2a^2 + 2a + 1.$ Condition (ii) says $2n + 79 = 4a^2 + 4a + 81 = d^2,$ so $\begin{aligned} &(d - 2a - 1) \\ &\quad {}\cdot (d + 2a + 1) \\ &= d^2 - (2a + 1)^2 \\ &= 80. \end{aligned}$ The two factors have the same parity, so both are even: the pairs $(2, 40),$ $(4, 20),$ $(8, 10)$ give $2a + 1 = 19,$ $8,$ $1,$ of which the odd values yield $a = 9$ (so $n = 181$ ) and $a = 0$ (so $n = 1$ ).

For $n = 181:$ indeed $181^2 = 32761 = 105^3 - 104^3$ (here $2n + 1 = 363 = 3 \cdot 11^2,$ as required), and $2n + 79 = 441 = 21^2.$ So the largest such $n$ is $181.$

2008 AIME II Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años