Question

En $\triangle ABC,$ $AB = 3,$ $BC = 4,$ y $CA = 5.$ El círculo $\omega$ corta a $\overline{AB}$ en $E$ y $B,$ a $\overline{BC}$ en $B$ y $D,$ y a $\overline{AC}$ en $F$ y $G.$ Dado que $EF = DF$ y $\frac{DG}{EG} = \frac{3}{4},$ la longitud $DE = \frac{a\sqrt{b}}{c},$ donde $a$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí, y $b$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

In $\triangle ABC,$ $AB = 3,$ $BC = 4,$ and $CA = 5.$ Circle $\omega$ intersects $\overline{AB}$ at $E$ and $B,$ $\overline{BC}$ at $B$ and $D,$ and $\overline{AC}$ at $F$ and $G.$ Given that $EF = DF$ and $\frac{DG}{EG} = \frac{3}{4},$ length $DE = \frac{a\sqrt{b}}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers, and $b$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Respuesta: 41

Conceptos:círculo ángulo inscrito cuadrilátero cíclico geometría analítica

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

$\angle B = 90^\circ$ está inscrito en $\omega,$ así que $DE$ es un diámetro y $\angle EFD = \angle EGD = 90^\circ$

$\angle B = 90^\circ$ is inscribed in $\omega,$ so $DE$ is a diameter and $\angle EFD = \angle EGD = 90^\circ$

Pista grande:

Expresa las distancias de $E$ y $D$ a la recta $AC$ como múltiplos de $DE$ usando los ángulos del cuadrilátero cíclico $EFGD,$ y luego compara con las coordenadas

Express the distances from $E$ and $D$ to line $AC$ as multiples of $DE$ using the angles of cyclic quadrilateral $EFGD,$ then compare with coordinates

Solución:

Como $3^2 + 4^2 = 5^2,$ el ángulo $B$ es recto, y como $\angle EBD = 90^\circ$ está inscrito en $\omega,$ la cuerda $ED$ es un diámetro. Por tanto $\angle EFD = \angle EGD = 90^\circ.$ De $EF = DF,$ el triángulo $EFD$ es un triángulo rectángulo isósceles, así que $EF = DF = \frac{DE}{\sqrt{2}}$ y $\angle FED = 45^\circ;$ de $DG : EG = 3 : 4$ y $DG^2 + EG^2 = DE^2$ obtenemos $DG = \frac{3}{5}DE$ y $EG = \frac{4}{5}DE.$ En $\omega$ el orden es $E,$ $F,$ $G,$ $D$ (tanto $F$ como $G$ están en el arco opuesto a $B,$ y $\angle FED = 45^\circ$ supera a $\angle GED = \arcsin\frac{3}{5},$ así que $F$ está más lejos de $D$ ).

La recta $AC$ es la recta $FG,$ así que las distancias de $E$ y $D$ a ella se deducen de los ángulos del cuadrilátero cíclico $EFGD.$ En $F:$ $\angle EFG = 180^\circ - \angle GDE$ y $\sin\angle GDE = \frac{EG}{DE} = \frac{4}{5},$ así que la distancia desde $E$ es $EF \sin\angle EFG = \frac{DE}{\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{5}$ $= \frac{2\sqrt{2}}{5}DE.$ En $G:$ $\angle FGD = 180^\circ - \angle FED = 135^\circ,$ así que la distancia desde $D$ es $DG \sin\angle FGD = \frac{3}{5}DE \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $= \frac{3\sqrt{2}}{10}DE.$

Ahora coloca $B = (0,0),$ $C = (4,0),$ $A = (0,3),$ de modo que $E = (0, e),$ $D = (d, 0),$ la recta $AC:$ $3x + 4y = 12,$ y $DE^2 = d^2 + e^2.$ Poniendo $k = \frac{\sqrt{2}}{2}DE,$ las dos fórmulas de distancia quedan $\frac{12 - 4e}{5} = \frac{2\sqrt{2}}{5}DE$ y $\frac{12 - 3d}{5} = \frac{3\sqrt{2}}{10}DE,$ lo que da $e = 3 - k$ y $d = 4 - k.$ Entonces $DE^2 = 2k^2$ se convierte en $2k^2 = (3-k)^2 + (4-k)^2$ $= 2k^2 - 14k + 25,$ así que $k = \frac{25}{14}$ y $DE = \sqrt{2}\,k = \frac{25\sqrt{2}}{14}.$ Por lo tanto $a + b + c = 25 + 2 + 14 = 41.$

Since $3^2 + 4^2 = 5^2,$ angle $B$ is right, and as $\angle EBD = 90^\circ$ is inscribed in $\omega,$ the chord $ED$ is a diameter. Hence $\angle EFD = \angle EGD = 90^\circ.$ From $EF = DF,$ triangle $EFD$ is an isosceles right triangle, so $EF = DF = \frac{DE}{\sqrt{2}}$ and $\angle FED = 45^\circ;$ from $DG : EG = 3 : 4$ and $DG^2 + EG^2 = DE^2$ we get $DG = \frac{3}{5}DE$ and $EG = \frac{4}{5}DE.$ On $\omega$ the order is $E,$ $F,$ $G,$ $D$ (both $F$ and $G$ lie on the arc opposite $B,$ and $\angle FED = 45^\circ$ exceeds $\angle GED = \arcsin\frac{3}{5},$ so $F$ is farther from $D$ ).

Line $AC$ is the line $FG,$ so the distances from $E$ and $D$ to it follow from the angles of cyclic quadrilateral $EFGD.$ At $F:$ $\angle EFG = 180^\circ - \angle GDE$ and $\sin\angle GDE = \frac{EG}{DE} = \frac{4}{5},$ so the distance from $E$ is $EF \sin\angle EFG = \frac{DE}{\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{5}$ $= \frac{2\sqrt{2}}{5}DE.$ At $G:$ $\angle FGD = 180^\circ - \angle FED = 135^\circ,$ so the distance from $D$ is $DG \sin\angle FGD = \frac{3}{5}DE \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $= \frac{3\sqrt{2}}{10}DE.$

Now place $B = (0,0),$ $C = (4,0),$ $A = (0,3),$ so $E = (0, e),$ $D = (d, 0),$ line $AC:$ $3x + 4y = 12,$ and $DE^2 = d^2 + e^2.$ Setting $k = \frac{\sqrt{2}}{2}DE,$ the two distance formulas read $\frac{12 - 4e}{5} = \frac{2\sqrt{2}}{5}DE$ and $\frac{12 - 3d}{5} = \frac{3\sqrt{2}}{10}DE,$ which give $e = 3 - k$ and $d = 4 - k.$ Then $DE^2 = 2k^2$ becomes $2k^2 = (3-k)^2 + (4-k)^2$ $= 2k^2 - 14k + 25,$ so $k = \frac{25}{14}$ and $DE = \sqrt{2}\,k = \frac{25\sqrt{2}}{14}.$ Therefore $a + b + c = 25 + 2 + 14 = 41.$

2014 AIME I Problema 15

Respuesta: 41

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años