Soluciones del 2014 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Los $8$ ojales para el cordón de una zapatilla están todos sobre un rectángulo, cuatro igualmente espaciados en cada uno de los lados más largos. El rectángulo tiene un ancho de $50$ mm y un largo de $80$ mm. Hay un ojal en cada vértice del rectángulo. El cordón debe pasar entre los ojales de los vértices a lo largo de un lado corto del rectángulo y luego entrecruzarse entre ojales sucesivos hasta llegar a los dos ojales del otro lado corto del rectángulo, como se muestra. Después de pasar por estos ojales finales, cada uno de los extremos del cordón debe extenderse al menos $200$ mm más para poder atar un nudo. Halla la longitud mínima del cordón en milímetros.

The $8$ eyelets for the lace of a sneaker all lie on a rectangle, four equally spaced on each of the longer sides. The rectangle has a width of $50$ mm and a length of $80$ mm. There is one eyelet at each vertex of the rectangle. The lace itself must pass between the vertex eyelets along a width side of the rectangle and then crisscross between successive eyelets until it reaches the two eyelets at the other width side of the rectangle as shown. After passing through these final eyelets, each of the ends of the lace must extend at least $200$ mm farther to allow a knot to be tied. Find the minimum length of the lace in millimeters.

Respuesta

Conceptos:Teorema de Pitágoras perímetro

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Los cuatro ojales de cada lado de $80$ mm están igualmente espaciados con uno en cada vértice, así que ojales consecutivos en un lado distan $\frac{80}{3}$ mm. El cordón consta de un segmento que cruza el ancho de $50$ mm, seis piezas entrecruzadas (después del cruce del ancho, cada una de las dos hebras hace tres cruces hasta llegar arriba) y dos extremos libres de al menos $200$ mm cada uno. El cordón es más corto cuando cada pieza es un segmento recto.

Cada pieza entrecruzada abarca todo el ancho y sube un hueco, así que su longitud es $\begin{aligned} &\sqrt{50^2 + \left(\tfrac{80}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{28900}{9}} = \frac{170}{3}. \end{aligned}$

La longitud mínima es $50 + 6 \cdot \frac{170}{3}$ $+ 2 \cdot 200$ $= 50 + 340 + 400$ $= 790.$

The four eyelets on each $80$ mm side are equally spaced with one at each vertex, so consecutive eyelets on a side are $\frac{80}{3}$ mm apart. The lace consists of one segment across the $50$ mm width, six crisscross pieces (after the width crossing, each of the two strands makes three crossings to reach the top), and two free ends of at least $200$ mm each. The lace is shortest when every piece is a straight segment.

Each crisscross piece spans the full width and rises one gap, so its length is $\begin{aligned} &\sqrt{50^2 + \left(\tfrac{80}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{\tfrac{28900}{9}} = \frac{170}{3}. \end{aligned}$

The minimum length is $50 + 6 \cdot \frac{170}{3}$ $+ 2 \cdot 200$ $= 50 + 340 + 400$ $= 790.$

2.

Una urna contiene $4$ bolas verdes y $6$ bolas azules. Una segunda urna contiene $16$ bolas verdes y $N$ bolas azules. Se extrae al azar una sola bola de cada urna. La probabilidad de que ambas bolas sean del mismo color es $0.58.$ Halla $N.$

An urn contains $4$ green balls and $6$ blue balls. A second urn contains $16$ green balls and $N$ blue balls. A single ball is drawn at random from each urn. The probability that both balls are of the same color is $0.58.$ Find $N.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Ambas bolas son verdes con probabilidad $\frac{4}{10} \cdot \frac{16}{16+N},$ y ambas son azules con probabilidad $\frac{6}{10} \cdot \frac{N}{16+N}.$ La condición es $\frac{64 + 6N}{10(16 + N)} = \frac{29}{50}.$

Al eliminar denominadores, $5(64 + 6N) = 29(16 + N),$ así que $320 + 30N = 464 + 29N,$ lo que da $N = 144.$

Both balls are green with probability $\frac{4}{10} \cdot \frac{16}{16+N},$ and both are blue with probability $\frac{6}{10} \cdot \frac{N}{16+N}.$ The condition is $\frac{64 + 6N}{10(16 + N)} = \frac{29}{50}.$

Clearing denominators, $5(64 + 6N) = 29(16 + N),$ so $320 + 30N = 464 + 29N,$ giving $N = 144.$

3.

Halla la cantidad de números racionales $r,$ con $0 \lt r \lt 1,$ tales que cuando $r$ se escribe como una fracción en su forma irreducible, el numerador y el denominador suman $1000.$

Find the number of rational numbers $r,$ $0 \lt r \lt 1,$ such that when $r$ is written as a fraction in lowest terms, the numerator and the denominator have a sum of $1000.$

Respuesta

Conceptos:Función φ de Euler máximo común divisor fracción

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Escribe $r = \frac{a}{b}$ en su forma irreducible con $a + b = 1000;$ como $0 \lt r \lt 1,$ necesitamos $1 \le a \le 499.$ Dado que $\gcd(a, b) = \gcd(a, 1000 - a)$ $= \gcd(a, 1000),$ la fracción es irreducible exactamente cuando $a$ es coprimo con $1000.$

Hay $\varphi(1000) = 1000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 400$ enteros en $[1, 999]$ coprimos con $1000,$ y se emparejan como $a \leftrightarrow 1000 - a$ (nótese que $a = 500$ no es coprimo con $1000$ ), así que exactamente $200$ de ellos son menores que $500.$ La respuesta es $200.$

Write $r = \frac{a}{b}$ in lowest terms with $a + b = 1000;$ since $0 \lt r \lt 1,$ we need $1 \le a \le 499.$ Because $\gcd(a, b) = \gcd(a, 1000 - a)$ $= \gcd(a, 1000),$ the fraction is in lowest terms exactly when $a$ is coprime to $1000.$

There are $\varphi(1000) = 1000 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = 400$ integers in $[1, 999]$ coprime to $1000,$ and they pair up as $a \leftrightarrow 1000 - a$ (note $a = 500$ is not coprime to $1000$ ), so exactly $200$ of them are less than $500.$ The answer is $200.$

4.

Jon y Steve montan en bicicleta por un camino paralelo a dos vías de tren contiguas que corren en dirección este/oeste. Jon va hacia el este a $20$ millas por hora, y Steve va hacia el oeste a $20$ millas por hora. Dos trenes de igual longitud, que viajan en direcciones opuestas a velocidades constantes pero distintas, pasan cada uno junto a los dos ciclistas. Cada tren tarda exactamente $1$ minuto en pasar a Jon. El tren que va hacia el oeste tarda $10$ veces más que el tren que va hacia el este en pasar a Steve. La longitud de cada tren es $\frac{m}{n}$ millas, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Jon and Steve ride their bicycles on a path that parallels two side-by-side train tracks running in the east/west direction. Jon rides east at $20$ miles per hour, and Steve rides west at $20$ miles per hour. Two trains of equal length, traveling in opposite directions at constant but different speeds, each pass the two riders. Each train takes exactly $1$ minute to go past Jon. The westbound train takes $10$ times as long as the eastbound train to go past Steve. The length of each train is $\frac{m}{n}$ miles, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:velocidad relativa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Sean $v_1$ y $v_2$ las velocidades en millas por hora de los trenes hacia el este y hacia el oeste, y $L$ millas su longitud común. Un tren pasa a un ciclista en un tiempo igual a $L$ dividido entre la velocidad relativa. Pasar a Jon (que va hacia el este a $20$ ) en $\frac{1}{60}$ de hora da $\frac{L}{v_1 - 20} = \frac{L}{v_2 + 20} = \frac{1}{60},$ así que $v_1 = 60L + 20$ y $v_2 = 60L - 20.$

Respecto a Steve (que va hacia el oeste a $20$ ), las velocidades relativas son $v_1 + 20$ y $v_2 - 20,$ y el tren hacia el oeste tarda $10$ veces más: $\frac{L}{v_2 - 20} = \frac{10L}{v_1 + 20},$ así que $v_1 + 20 = 10(v_2 - 20).$ Al sustituir, $60L + 40 = 600L - 400,$ de modo que $540L = 440$ y $L = \frac{22}{27}.$

Como $\gcd(22, 27) = 1,$ la respuesta es $22 + 27 = 49.$

Let the eastbound and westbound trains have speeds $v_1$ and $v_2$ miles per hour and common length $L$ miles. A train passes a rider in time $L$ divided by their relative speed. Passing Jon (riding east at $20$ ) in $\frac{1}{60}$ hour gives $\frac{L}{v_1 - 20} = \frac{L}{v_2 + 20} = \frac{1}{60},$ so $v_1 = 60L + 20$ and $v_2 = 60L - 20.$

Relative to Steve (riding west at $20$ ), the speeds are $v_1 + 20$ and $v_2 - 20,$ and the westbound train takes $10$ times as long: $\frac{L}{v_2 - 20} = \frac{10L}{v_1 + 20},$ so $v_1 + 20 = 10(v_2 - 20).$ Substituting, $60L + 40 = 600L - 400,$ so $540L = 440$ and $L = \frac{22}{27}.$

Since $\gcd(22, 27) = 1,$ the answer is $22 + 27 = 49.$

5.

Sea el conjunto $S = \{P_1, P_2, \ldots, P_{12}\}$ formado por los doce vértices de un $12$ -ágono regular. Un subconjunto $Q$ de $S$ se llama comunal si existe un círculo tal que todos los puntos de $Q$ están dentro del círculo, y todos los puntos de $S$ que no están en $Q$ están fuera del círculo. ¿Cuántos subconjuntos comunales hay? (Nótese que el conjunto vacío es un subconjunto comunal.)

Let the set $S = \{P_1, P_2, \ldots, P_{12}\}$ consist of the twelve vertices of a regular $12$ -gon. A subset $Q$ of $S$ is called communal if there is a circle such that all points of $Q$ are inside the circle, and all points of $S$ not in $Q$ are outside of the circle. How many communal subsets are there? (Note that the empty set is a communal subset.)

Respuesta

Conceptos:subconjuntos polígono regular conteo básico

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Un subconjunto $Q$ es comunal exactamente cuando sus vértices son consecutivos alrededor del $12$ -ágono. En efecto, un círculo separador corta la circunferencia circunscrita del $12$ -ágono en a lo sumo dos puntos, así que los vértices en su interior forman un arco contiguo. Recíprocamente, cualquier tramo de vértices consecutivos puede separarse de los vértices restantes mediante una recta, y un círculo suficientemente grande del lado adecuado de esa recta contiene exactamente ese tramo.

Para cada tamaño $k$ con $1 \le k \le 11$ hay $12$ tramos de $k$ vértices consecutivos (uno que empieza en cada vértice), lo que da $12 \cdot 11 = 132$ subconjuntos, y el conjunto vacío y todo $S$ también son comunales. El total es $132 + 2 = 134.$

A subset $Q$ is communal exactly when its vertices are consecutive around the $12$ -gon. Indeed, a separating circle meets the circumcircle of the $12$ -gon in at most two points, so the vertices inside it form a contiguous arc. Conversely, any run of consecutive vertices can be separated from the remaining vertices by a line, and a sufficiently large circle on the proper side of that line contains exactly that run.

For each size $k$ with $1 \le k \le 11$ there are $12$ runs of $k$ consecutive vertices (one starting at each vertex), giving $12 \cdot 11 = 132$ subsets, and the empty set and all of $S$ are also communal. The total is $132 + 2 = 134.$

6.

Las gráficas $y = 3(x-h)^2 + j$ y $y = 2(x-h)^2 + k$ tienen ordenadas al origen sobre el eje $y$ de $2013$ y $2014,$ respectivamente, y cada gráfica tiene dos intersecciones con el eje $x$ que son enteros positivos. Halla $h.$

The graphs $y = 3(x-h)^2 + j$ and $y = 2(x-h)^2 + k$ have $y$ -intercepts of $2013$ and $2014,$ respectively, and each graph has two positive integer $x$ -intercepts. Find $h.$

Respuesta

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta factorización en primos

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Poner $x = 0$ da $3h^2 + j = 2013$ y $2h^2 + k = 2014.$ Al desarrollar, la primera gráfica es $y = 3x^2 - 6hx + 2013,$ cuyas raíces son enteros positivos con suma $2h$ y producto $\frac{2013}{3} = 671 = 11 \cdot 61.$ De forma similar, la segunda es $y = 2x^2 - 4hx + 2014,$ con raíces enteras de suma $2h$ y producto $\frac{2014}{2} = 1007 = 19 \cdot 53.$

El primer par de raíces es $\{11, 61\}$ o $\{1, 671\},$ así que $2h = 72$ o $672;$ el segundo par es $\{19, 53\}$ o $\{1, 1007\},$ así que $2h = 72$ o $1008.$ El único valor común es $2h = 72,$ por lo que $h = 36,$ lo que en efecto da intersecciones con el eje $x$ en $11, 61$ y $19, 53.$

Setting $x = 0$ gives $3h^2 + j = 2013$ and $2h^2 + k = 2014.$ Expanding, the first graph is $y = 3x^2 - 6hx + 2013,$ whose roots are positive integers with sum $2h$ and product $\frac{2013}{3} = 671 = 11 \cdot 61.$ Similarly the second is $y = 2x^2 - 4hx + 2014,$ with integer roots of sum $2h$ and product $\frac{2014}{2} = 1007 = 19 \cdot 53.$

The first pair of roots is $\{11, 61\}$ or $\{1, 671\},$ so $2h = 72$ or $672;$ the second pair is $\{19, 53\}$ or $\{1, 1007\},$ so $2h = 72$ or $1008.$ The only common value is $2h = 72,$ so $h = 36,$ which indeed gives $x$ -intercepts $11, 61$ and $19, 53.$

7.

Sean $w$ y $z$ números complejos tales que $|w| = 1$ y $|z| = 10.$ Sea $\theta = \arg\left(\tfrac{w-z}{z}\right).$ El valor máximo posible de $\tan^2 \theta$ puede escribirse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$ (Nótese que $\arg(w),$ para $w \ne 0,$ denota la medida del ángulo que la semirrecta desde $0$ hasta $w$ forma con el eje real positivo en el plano complejo.)

Let $w$ and $z$ be complex numbers such that $|w| = 1$ and $|z| = 10.$ Let $\theta = \arg\left(\tfrac{w-z}{z}\right).$ The maximum possible value of $\tan^2 \theta$ can be written as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$ (Note that $\arg(w),$ for $w \ne 0,$ denotes the measure of the angle that the ray from $0$ to $w$ makes with the positive real axis in the complex plane.)

Respuesta

Conceptos:número complejo círculo recta tangente optimización

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Como $\frac{w-z}{z} = \frac{w}{z} - 1,$ y $\frac{w}{z}$ puede ser cualquier número complejo de módulo $\frac{1}{10},$ el punto $\zeta = \frac{w-z}{z}$ recorre el círculo de radio $\frac{1}{10}$ centrado en $-1.$

Como $\tan^2\theta$ no cambia cuando $\theta$ se desplaza $180^\circ,$ buscamos el mayor ángulo $\alpha$ que una semirrecta desde el origen hasta este círculo forma con el eje real. Las semirrectas extremas son tangentes al círculo, donde $\sin \alpha = \frac{1/10}{1} = \frac{1}{10}.$

Entonces $\begin{aligned} \tan^2\theta &= \frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} = \frac{1/100}{99/100} \\ &= \frac{1}{99}, \end{aligned}$ así que $p + q = 1 + 99 = 100.$

Since $\frac{w-z}{z} = \frac{w}{z} - 1,$ and $\frac{w}{z}$ can be any complex number of modulus $\frac{1}{10},$ the point $\zeta = \frac{w-z}{z}$ ranges over the circle of radius $\frac{1}{10}$ centered at $-1.$

Because $\tan^2\theta$ is unchanged when $\theta$ shifts by $180^\circ,$ we want the largest angle $\alpha$ that a ray from the origin to this circle makes with the real axis. The extreme rays are tangent to the circle, where $\sin \alpha = \frac{1/10}{1} = \frac{1}{10}.$

Then $\begin{aligned} \tan^2\theta &= \frac{\sin^2\alpha}{1 - \sin^2\alpha} = \frac{1/100}{99/100} \\ &= \frac{1}{99}, \end{aligned}$ so $p + q = 1 + 99 = 100.$

8.

Los enteros positivos $N$ y $N^2$ terminan ambos en la misma secuencia de cuatro dígitos $abcd$ cuando se escriben en base $10,$ donde el dígito $a$ no es cero. Halla el número de tres dígitos $abc.$

The positive integers $N$ and $N^2$ both end in the same sequence of four digits $abcd$ when written in base $10,$ where digit $a$ is not zero. Find the three-digit number $abc.$

Respuesta

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto dígitos

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

La condición es $N^2 \equiv N \pmod{10^4},$ es decir, $N(N-1) \equiv 0 \pmod{2^4 \cdot 5^4}.$ Como los enteros consecutivos son coprimos, $16$ divide a uno de $N,$ $N - 1$ y $625$ divide a uno de ellos. Esto da cuatro casos módulo $10000:$ $N \equiv 0,$ $N \equiv 1,$ $N \equiv 625$ (que es $0$ mód $625$ y $1$ mód $16$ ), y $N \equiv 9376$ (que es $0$ mód $16$ y $1$ mód $625$ ).

Los últimos cuatro dígitos $abcd$ deben cumplir $a \ne 0,$ lo que descarta $0000,$ $0001,$ y $0625.$ Así que $abcd = 9376$ , por ejemplo $9376^2 = 87909376$ , y $abc = 937.$

The condition is $N^2 \equiv N \pmod{10^4},$ that is, $N(N-1) \equiv 0 \pmod{2^4 \cdot 5^4}.$ Since consecutive integers are coprime, $16$ divides one of $N,$ $N - 1$ and $625$ divides one of them. This gives four cases modulo $10000:$ $N \equiv 0,$ $N \equiv 1,$ $N \equiv 625$ (which is $0$ mod $625$ and $1$ mod $16$ ), and $N \equiv 9376$ (which is $0$ mod $16$ and $1$ mod $625$ ).

The last four digits $abcd$ must have $a \ne 0,$ which rules out $0000,$ $0001,$ and $0625.$ So $abcd = 9376$ — for instance $9376^2 = 87909376$ — and $abc = 937.$

9.

Sean $x_1 \lt x_2 \lt x_3$ las tres raíces reales de la ecuación $\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0.$ Halla $x_2(x_1 + x_3).$

Let $x_1 \lt x_2 \lt x_3$ be the three real roots of the equation $\sqrt{2014}\,x^3 - 4029x^2 + 2 = 0.$ Find $x_2(x_1 + x_3).$

Respuesta

Conceptos:polinomio factorización Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Escribe $a = \sqrt{2014},$ de modo que la ecuación es $ax^3 - (2a^2 + 1)x^2 + 2 = 0.$ Se factoriza como $\left(ax - 1\right)\left(x^2 - 2ax - 2\right) = 0,$ como confirma el desarrollo. Así que una raíz es $\frac{1}{a},$ y las otras dos son $a \pm \sqrt{a^2 + 2},$ con producto $-2$ y suma $2a.$

Como $a - \sqrt{a^2+2} \lt 0$ $\lt \frac{1}{a} \lt a + \sqrt{a^2+2},$ la raíz del medio es $x_2 = \frac{1}{a},$ y $x_1 + x_3 = 2a.$ Por lo tanto $x_2(x_1 + x_3) = \frac{1}{a} \cdot 2a = 2.$

Write $a = \sqrt{2014},$ so the equation is $ax^3 - (2a^2 + 1)x^2 + 2 = 0.$ It factors as $\left(ax - 1\right)\left(x^2 - 2ax - 2\right) = 0,$ as expanding confirms. So one root is $\frac{1}{a},$ and the other two are $a \pm \sqrt{a^2 + 2},$ with product $-2$ and sum $2a.$

Since $a - \sqrt{a^2+2} \lt 0$ $\lt \frac{1}{a} \lt a + \sqrt{a^2+2},$ the middle root is $x_2 = \frac{1}{a},$ and $x_1 + x_3 = 2a.$ Therefore $x_2(x_1 + x_3) = \frac{1}{a} \cdot 2a = 2.$

10.

Un disco de radio $1$ es tangente exteriormente a un disco de radio $5.$ Sea $A$ el punto donde los discos son tangentes, $C$ el centro del disco menor, y $E$ el centro del disco mayor. Mientras el disco mayor permanece fijo, se deja que el disco menor ruede por el exterior del disco mayor hasta que el disco menor haya girado un ángulo de $360^\circ.$ Es decir, si el centro del disco menor se ha movido al punto $D,$ y el punto del disco menor que empezó en $A$ se ha movido ahora al punto $B,$ entonces $\overline{AC}$ es paralelo a $\overline{BD}.$ Entonces $\sin^2(\angle BEA) = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A disk with radius $1$ is externally tangent to a disk with radius $5.$ Let $A$ be the point where the disks are tangent, $C$ be the center of the smaller disk, and $E$ be the center of the larger disk. While the larger disk remains fixed, the smaller disk is allowed to roll along the outside of the larger disk until the smaller disk has turned through an angle of $360^\circ.$ That is, if the center of the smaller disk has moved to the point $D,$ and the point on the smaller disk that began at $A$ has now moved to point $B,$ then $\overline{AC}$ is parallel to $\overline{BD}.$ Then $\sin^2(\angle BEA) = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:círculo transformación geometría analítica trigonometría

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Coloca $E$ en el origen con $C = (6, 0),$ de modo que $A = (5, 0).$ Cuando un círculo de radio $1$ rueda sin deslizar por fuera de un círculo fijo de radio $5$ y su centro barre un ángulo $\varphi$ alrededor de $E,$ el contacto de rodadura hace girar el disco $5\varphi$ respecto de la línea de los centros, y la revolución de esa línea añade $\varphi$ más, así que el disco gira $6\varphi$ en el marco fijo. Girar $360^\circ$ significa por tanto $\varphi = 60^\circ,$ así que $D = 6(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)$ $= (3, 3\sqrt{3}).$

Tras haber girado $360^\circ,$ el disco está de vuelta en su orientación original, así que el vector desde su centro hasta el punto marcado no cambia: $B = D + (A - C)$ $= (3 - 1, 3\sqrt{3})$ $= (2, 3\sqrt{3}).$ (En particular $\overline{BD}$ es paralelo a $\overline{AC},$ como afirma el problema.)

La semirrecta $EA$ es el semieje $x$ positivo, así que $\begin{aligned} \sin^2(\angle BEA) &= \frac{(3\sqrt{3})^2}{2^2 + (3\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{27}{31}, \end{aligned}$ y $m + n = 27 + 31 = 58.$

Place $E$ at the origin with $C = (6, 0),$ so $A = (5, 0).$ When a circle of radius $1$ rolls without slipping outside a fixed circle of radius $5$ and its center sweeps an angle $\varphi$ about $E,$ the rolling contact turns the disk through $5\varphi$ relative to the line of centers, and the revolution of that line adds $\varphi$ more, so the disk turns $6\varphi$ in the ground frame. Turning through $360^\circ$ therefore means $\varphi = 60^\circ,$ so $D = 6(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ)$ $= (3, 3\sqrt{3}).$

Having turned through a full $360^\circ,$ the disk is back in its original orientation, so the vector from its center to the marked point is unchanged: $B = D + (A - C)$ $= (3 - 1, 3\sqrt{3})$ $= (2, 3\sqrt{3}).$ (In particular $\overline{BD}$ is parallel to $\overline{AC},$ as the problem states.)

The ray $EA$ is the positive $x$ -axis, so $\begin{aligned} \sin^2(\angle BEA) &= \frac{(3\sqrt{3})^2}{2^2 + (3\sqrt{3})^2} \\ &= \frac{27}{31}, \end{aligned}$ and $m + n = 27 + 31 = 58.$

11.

Una ficha parte del punto $(0, 0)$ de una cuadrícula de coordenadas $xy$ y luego realiza una sucesión de seis movimientos. Cada movimiento es de $1$ unidad en una dirección paralela a uno de los ejes coordenados. Cada movimiento se elige al azar entre las cuatro direcciones posibles e independientemente de los demás movimientos. La probabilidad de que la ficha termine en un punto de la gráfica de $|y| = |x|$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A token starts at the point $(0, 0)$ of an $xy$ -coordinate grid and then makes a sequence of six moves. Each move is $1$ unit in a direction parallel to one of the coordinate axes. Each move is selected randomly from the four possible directions and independently of the other moves. The probability that the token ends at a point on the graph of $|y| = |x|$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:camino aleatorio eventos independientes inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Trabajemos en las coordenadas diagonales $u = x + y$ y $v = x - y.$ Cada uno de los cuatro movimientos cambia $u$ en $\pm 1$ y $v$ en $\pm 1,$ y los cuatro movimientos realizan las cuatro combinaciones de signos con igual frecuencia, de modo que $u$ y $v$ realizan caminatas independientes de seis pasos con paso $\pm 1$ cada una. La ficha termina en $|y| = |x|$ exactamente cuando $y = \pm x,$ es decir, cuando $u = 0$ o $v = 0.$

Cada uno de $u = 0$ y $v = 0$ requiere tres $+1$ y tres $-1$ , con probabilidad $\binom{6}{3}/2^6 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}.$ Por independencia e inclusión-exclusión, la probabilidad es $\begin{aligned} &\frac{5}{16} + \frac{5}{16} - \left(\frac{5}{16}\right)^2 \\ &= \frac{160 - 25}{256} = \frac{135}{256}. \end{aligned}$

Por lo tanto $m + n = 135 + 256 = 391.$

Work in the diagonal coordinates $u = x + y$ and $v = x - y.$ Each of the four moves changes $u$ by $\pm 1$ and $v$ by $\pm 1,$ and the four moves realize all four sign combinations equally often — so $u$ and $v$ perform independent six-step $\pm 1$ walks. The token ends on $|y| = |x|$ exactly when $y = \pm x,$ that is, when $u = 0$ or $v = 0.$

Each of $u = 0$ and $v = 0$ requires three $+1$ s and three $-1$ s, with probability $\binom{6}{3}/2^6 = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}.$ By independence and inclusion-exclusion, the probability is $\begin{aligned} &\frac{5}{16} + \frac{5}{16} - \left(\frac{5}{16}\right)^2 \\ &= \frac{160 - 25}{256} = \frac{135}{256}. \end{aligned}$

Thus $m + n = 135 + 256 = 391.$

12.

Sea $A = \{1, 2, 3, 4\},$ y sean $f$ y $g$ funciones elegidas al azar (no necesariamente distintas) de $A$ a $A.$ La probabilidad de que el rango de $f$ y el rango de $g$ sean disjuntos es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m.$

Let $A = \{1, 2, 3, 4\},$ and let $f$ and $g$ be randomly chosen (not necessarily distinct) functions from $A$ to $A.$ The probability that the range of $f$ and the range of $g$ are disjoint is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m.$

Respuesta

Conceptos:función probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Condicionemos según el rango de $f.$ Si tiene $k$ elementos, entonces el rango de $g$ es disjunto de él exactamente cuando $g$ manda $A$ a los $4 - k$ elementos restantes, lo que ocurre para $(4-k)^4$ de las $4^4 = 256$ funciones $g.$

Cuenta las funciones $f$ por tamaño del rango: $4$ funciones constantes; $\binom{4}{2}(2^4 - 2) = 84$ con rango de tamaño $2;$ $\binom{4}{3} \cdot 36 = 144$ con rango de tamaño $3$ (hay $36$ sobreyecciones de cuatro elementos sobre tres); y $4! = 24$ biyecciones. El número de pares favorables es $\begin{aligned} &4 \cdot 3^4 + 84 \cdot 2^4 \\ &\quad {}+ 144 \cdot 1^4 + 24 \cdot 0^4 \\ &= 324 + 1344 + 144 = 1812. \end{aligned}$

La probabilidad es $\frac{1812}{4^8} = \frac{1812}{65536} = \frac{453}{16384},$ y como $16384$ es una potencia de $2$ mientras que $453 = 3 \cdot 151$ es impar, esto ya está en su forma irreducible. Por lo tanto $m = 453.$

Condition on the range of $f.$ If it has $k$ elements, then the range of $g$ is disjoint from it exactly when $g$ maps $A$ into the remaining $4 - k$ elements, which happens for $(4-k)^4$ of the $4^4 = 256$ functions $g.$

Count functions $f$ by range size: $4$ constant functions; $\binom{4}{2}(2^4 - 2) = 84$ with range size $2;$ $\binom{4}{3} \cdot 36 = 144$ with range size $3$ (there are $36$ surjections from four elements onto three); and $4! = 24$ bijections. The number of favorable pairs is $\begin{aligned} &4 \cdot 3^4 + 84 \cdot 2^4 \\ &\quad {}+ 144 \cdot 1^4 + 24 \cdot 0^4 \\ &= 324 + 1344 + 144 = 1812. \end{aligned}$

The probability is $\frac{1812}{4^8} = \frac{1812}{65536} = \frac{453}{16384},$ and since $16384$ is a power of $2$ while $453 = 3 \cdot 151$ is odd, this is in lowest terms. Thus $m = 453.$

13.

En el cuadrado $ABCD,$ los puntos $E, F, G,$ y $H$ están en los lados $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{DA},$ respectivamente, de modo que $\overline{EG} \perp \overline{FH}$ y $EG = FH = 34.$ Los segmentos $\overline{EG}$ y $\overline{FH}$ se cortan en un punto $P,$ y las áreas de los cuadriláteros $AEPH,$ $BFPE,$ $CGPF,$ y $DHPG$ están en la razón $269 : 275 : 405 : 411.$ Halla el área del cuadrado $ABCD.$

On square $ABCD,$ points $E, F, G,$ and $H$ lie on sides $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{DA},$ respectively, so that $\overline{EG} \perp \overline{FH}$ and $EG = FH = 34.$ Segments $\overline{EG}$ and $\overline{FH}$ intersect at a point $P,$ and the areas of the quadrilaterals $AEPH,$ $BFPE,$ $CGPF,$ and $DHPG$ are in the ratio $269 : 275 : 405 : 411.$ Find the area of square $ABCD.$

Respuesta

Conceptos:geometría analítica cuadrado (geometría)trapecio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Coloca $B = (0,0),$ $C = (s, 0),$ $D = (s, s),$ $A = (0, s),$ con $E = (0, e),$ $F = (f, 0),$ $G = (s, g),$ $H = (h, s).$ Las regiones $AEPH$ y $DHPG$ juntas forman el trapecio $AEGD,$ de área $\frac{s\,((s - e) + (s - g))}{2};$ como $\frac{269 + 411}{1360} = \frac{1}{2},$ esto es la mitad de $s^2,$ lo que obliga a $e + g = s,$ es decir, $EG$ pasa por el centro. De igual modo, $AEPH$ y $BFPE$ forman el trapecio $ABFH$ de área $\frac{s(f + h)}{2} = \frac{269 + 275}{1360}\,s^2 = \frac{2}{5}s^2,$ así que $f + h = \frac{4s}{5}.$ La perpendicularidad de las direcciones $(s, g - e)$ y $(h - f, s)$ da $h - f = e - g.$ Escribiendo $\delta = g - e,$ obtenemos $E = \left(0, \frac{s - \delta}{2}\right),$ $G = \left(s, \frac{s + \delta}{2}\right),$ $F = \left(\frac{2s}{5} + \frac{\delta}{2}, 0\right),$ $H = \left(\frac{2s}{5} - \frac{\delta}{2}, s\right),$ y $EG = 34$ da $s^2 + \delta^2 = 1156.$

Intersecar las rectas $EG$ y $FH$ (y simplificar con $s^2 + \delta^2 = 1156$ ) da $\begin{aligned} P &= \\ &\left(\frac{s}{2} - \frac{s^3}{11560},\; \frac{s}{2} - \frac{s^2\delta}{11560}\right), \end{aligned}$ y la fórmula del zapatero (shoelace) sobre $A, E, P, H$ da entonces $[AEPH] = \frac{s^2}{5} - \frac{s^3\delta}{231200}.$ Igualar esto a $\frac{269}{1360}s^2$ deja $\frac{3s^2}{1360} = \frac{s^3\delta}{231200},$ así que $s\delta = 510.$

Ahora $s^2 + \delta^2 = 1156$ y $s^2\delta^2 = 260100,$ así que $s^2$ y $\delta^2$ son las raíces de $t^2 - 1156t + 260100 = 0,$ que son $\frac{1156 \pm 544}{2} = 850$ y $306.$ Como $|\delta| = |g - e| \lt s,$ el área es $s^2 = 850.$

Place $B = (0,0),$ $C = (s, 0),$ $D = (s, s),$ $A = (0, s),$ with $E = (0, e),$ $F = (f, 0),$ $G = (s, g),$ $H = (h, s).$ The regions $AEPH$ and $DHPG$ together form the trapezoid $AEGD,$ of area $\frac{s\,((s - e) + (s - g))}{2};$ since $\frac{269 + 411}{1360} = \frac{1}{2},$ this is half of $s^2,$ forcing $e + g = s,$ i.e. $EG$ passes through the center. Likewise $AEPH$ and $BFPE$ form the trapezoid $ABFH$ of area $\frac{s(f + h)}{2} = \frac{269 + 275}{1360}\,s^2 = \frac{2}{5}s^2,$ so $f + h = \frac{4s}{5}.$ Perpendicularity of the directions $(s, g - e)$ and $(h - f, s)$ gives $h - f = e - g.$ Writing $\delta = g - e,$ we get $E = \left(0, \frac{s - \delta}{2}\right),$ $G = \left(s, \frac{s + \delta}{2}\right),$ $F = \left(\frac{2s}{5} + \frac{\delta}{2}, 0\right),$ $H = \left(\frac{2s}{5} - \frac{\delta}{2}, s\right),$ and $EG = 34$ gives $s^2 + \delta^2 = 1156.$

Intersecting lines $EG$ and $FH$ (and simplifying with $s^2 + \delta^2 = 1156$ ) yields $\begin{aligned} P &= \\ &\left(\frac{s}{2} - \frac{s^3}{11560},\; \frac{s}{2} - \frac{s^2\delta}{11560}\right), \end{aligned}$ and the shoelace formula on $A, E, P, H$ then gives $[AEPH] = \frac{s^2}{5} - \frac{s^3\delta}{231200}.$ Setting this equal to $\frac{269}{1360}s^2$ leaves $\frac{3s^2}{1360} = \frac{s^3\delta}{231200},$ so $s\delta = 510.$

Now $s^2 + \delta^2 = 1156$ and $s^2\delta^2 = 260100,$ so $s^2$ and $\delta^2$ are the roots of $t^2 - 1156t + 260100 = 0,$ which are $\frac{1156 \pm 544}{2} = 850$ and $306.$ Since $|\delta| = |g - e| \lt s,$ the area is $s^2 = 850.$

14.

Sea $m$ la mayor solución real de la ecuación $\begin{aligned} &\frac{3}{x-3} + \frac{5}{x-5} \\ &\quad {}+ \frac{17}{x-17} + \frac{19}{x-19} \\ &= x^2 - 11x - 4. \end{aligned}$ Existen enteros positivos $a,$ $b,$ y $c$ tales que $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}.$ Halla $a + b + c.$

Let $m$ be the largest real solution to the equation $\begin{aligned} &\frac{3}{x-3} + \frac{5}{x-5} \\ &\quad {}+ \frac{17}{x-17} + \frac{19}{x-19} \\ &= x^2 - 11x - 4. \end{aligned}$ There are positive integers $a,$ $b,$ and $c$ such that $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}.$ Find $a + b + c.$

Respuesta

Conceptos:ecuación racional sustitución simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Suma $4$ a ambos lados, dando una unidad a cada fracción: como $\frac{k}{x-k} + 1 = \frac{x}{x-k},$ la ecuación se convierte en $\begin{aligned} &\scriptsize x\left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-17} + \frac{1}{x-19}\right) \\ &= x^2 - 11x = x(x - 11). \end{aligned}$ Aparte de $x = 0,$ podemos dividir entre $x$ y sustituir $t = x - 11,$ lo que empareja las fracciones simétricamente: $\frac{2t}{t^2 - 64} + \frac{2t}{t^2 - 36} = t.$

Aparte de $t = 0,$ dividir entre $t$ da $\frac{2}{t^2 - 64} + \frac{2}{t^2 - 36} = 1.$ Con $u = t^2,$ eliminar denominadores da $2(u - 36) + 2(u - 64)$ $= (u - 36)(u - 64),$ es decir $u^2 - 104u + 2504 = 0,$ así que $u = 52 \pm \sqrt{200}.$

La mayor solución es $m = 11 + \sqrt{52 + \sqrt{200}} \approx 19.1,$ que supera a los demás candidatos $0,$ $11,$ y $11 \pm \sqrt{52 \pm \sqrt{200}}.$ Por lo tanto $a + b + c$ $= 11 + 52 + 200 = 263.$

Add $4$ to both sides, giving one unit to each fraction: since $\frac{k}{x-k} + 1 = \frac{x}{x-k},$ the equation becomes $\begin{aligned} &\scriptsize x\left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-17} + \frac{1}{x-19}\right) \\ &= x^2 - 11x = x(x - 11). \end{aligned}$ Besides $x = 0,$ we can divide by $x$ and substitute $t = x - 11,$ which pairs the fractions symmetrically: $\frac{2t}{t^2 - 64} + \frac{2t}{t^2 - 36} = t.$

Besides $t = 0,$ dividing by $t$ gives $\frac{2}{t^2 - 64} + \frac{2}{t^2 - 36} = 1.$ With $u = t^2,$ clearing denominators gives $2(u - 36) + 2(u - 64)$ $= (u - 36)(u - 64),$ i.e. $u^2 - 104u + 2504 = 0,$ so $u = 52 \pm \sqrt{200}.$

The largest solution is $m = 11 + \sqrt{52 + \sqrt{200}} \approx 19.1,$ which exceeds the other candidates $0,$ $11,$ and $11 \pm \sqrt{52 \pm \sqrt{200}}.$ Therefore $a + b + c$ $= 11 + 52 + 200 = 263.$

15.

En $\triangle ABC,$ $AB = 3,$ $BC = 4,$ y $CA = 5.$ El círculo $\omega$ corta a $\overline{AB}$ en $E$ y $B,$ a $\overline{BC}$ en $B$ y $D,$ y a $\overline{AC}$ en $F$ y $G.$ Dado que $EF = DF$ y $\frac{DG}{EG} = \frac{3}{4},$ la longitud $DE = \frac{a\sqrt{b}}{c},$ donde $a$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí, y $b$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

In $\triangle ABC,$ $AB = 3,$ $BC = 4,$ and $CA = 5.$ Circle $\omega$ intersects $\overline{AB}$ at $E$ and $B,$ $\overline{BC}$ at $B$ and $D,$ and $\overline{AC}$ at $F$ and $G.$ Given that $EF = DF$ and $\frac{DG}{EG} = \frac{3}{4},$ length $DE = \frac{a\sqrt{b}}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers, and $b$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Conceptos:círculo ángulo inscrito cuadrilátero cíclico geometría analítica

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Como $3^2 + 4^2 = 5^2,$ el ángulo $B$ es recto, y como $\angle EBD = 90^\circ$ está inscrito en $\omega,$ la cuerda $ED$ es un diámetro. Por tanto $\angle EFD = \angle EGD = 90^\circ.$ De $EF = DF,$ el triángulo $EFD$ es un triángulo rectángulo isósceles, así que $EF = DF = \frac{DE}{\sqrt{2}}$ y $\angle FED = 45^\circ;$ de $DG : EG = 3 : 4$ y $DG^2 + EG^2 = DE^2$ obtenemos $DG = \frac{3}{5}DE$ y $EG = \frac{4}{5}DE.$ En $\omega$ el orden es $E, F, G, D$ (tanto $F$ como $G$ están en el arco opuesto a $B,$ y $\angle FED = 45^\circ$ supera a $\angle GED = \arcsin\frac{3}{5},$ así que $F$ está más lejos de $D$ ).

La recta $AC$ es la recta $FG,$ así que las distancias de $E$ y $D$ a ella se deducen de los ángulos del cuadrilátero cíclico $EFGD.$ En $F:$ $\angle EFG = 180^\circ - \angle GDE$ y $\sin\angle GDE = \frac{EG}{DE} = \frac{4}{5},$ así que la distancia desde $E$ es $EF \sin\angle EFG = \frac{DE}{\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{5}$ $= \frac{2\sqrt{2}}{5}DE.$ En $G:$ $\angle FGD = 180^\circ - \angle FED = 135^\circ,$ así que la distancia desde $D$ es $DG \sin\angle FGD = \frac{3}{5}DE \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $= \frac{3\sqrt{2}}{10}DE.$

Ahora coloca $B = (0,0),$ $C = (4,0),$ $A = (0,3),$ de modo que $E = (0, e),$ $D = (d, 0),$ la recta $AC:$ $3x + 4y = 12,$ y $DE^2 = d^2 + e^2.$ Poniendo $k = \frac{\sqrt{2}}{2}DE,$ las dos fórmulas de distancia quedan $\frac{12 - 4e}{5} = \frac{2\sqrt{2}}{5}DE$ y $\frac{12 - 3d}{5} = \frac{3\sqrt{2}}{10}DE,$ lo que da $e = 3 - k$ y $d = 4 - k.$ Entonces $DE^2 = 2k^2$ se convierte en $2k^2 = (3-k)^2 + (4-k)^2$ $= 2k^2 - 14k + 25,$ así que $k = \frac{25}{14}$ y $DE = \sqrt{2}\,k = \frac{25\sqrt{2}}{14}.$ Por lo tanto $a + b + c = 25 + 2 + 14 = 41.$

Since $3^2 + 4^2 = 5^2,$ angle $B$ is right, and as $\angle EBD = 90^\circ$ is inscribed in $\omega,$ the chord $ED$ is a diameter. Hence $\angle EFD = \angle EGD = 90^\circ.$ From $EF = DF,$ triangle $EFD$ is an isosceles right triangle, so $EF = DF = \frac{DE}{\sqrt{2}}$ and $\angle FED = 45^\circ;$ from $DG : EG = 3 : 4$ and $DG^2 + EG^2 = DE^2$ we get $DG = \frac{3}{5}DE$ and $EG = \frac{4}{5}DE.$ On $\omega$ the order is $E, F, G, D$ (both $F$ and $G$ lie on the arc opposite $B,$ and $\angle FED = 45^\circ$ exceeds $\angle GED = \arcsin\frac{3}{5},$ so $F$ is farther from $D$ ).

Line $AC$ is the line $FG,$ so the distances from $E$ and $D$ to it follow from the angles of cyclic quadrilateral $EFGD.$ At $F:$ $\angle EFG = 180^\circ - \angle GDE$ and $\sin\angle GDE = \frac{EG}{DE} = \frac{4}{5},$ so the distance from $E$ is $EF \sin\angle EFG = \frac{DE}{\sqrt{2}} \cdot \frac{4}{5}$ $= \frac{2\sqrt{2}}{5}DE.$ At $G:$ $\angle FGD = 180^\circ - \angle FED = 135^\circ,$ so the distance from $D$ is $DG \sin\angle FGD = \frac{3}{5}DE \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $= \frac{3\sqrt{2}}{10}DE.$

Now place $B = (0,0),$ $C = (4,0),$ $A = (0,3),$ so $E = (0, e),$ $D = (d, 0),$ line $AC:$ $3x + 4y = 12,$ and $DE^2 = d^2 + e^2.$ Setting $k = \frac{\sqrt{2}}{2}DE,$ the two distance formulas read $\frac{12 - 4e}{5} = \frac{2\sqrt{2}}{5}DE$ and $\frac{12 - 3d}{5} = \frac{3\sqrt{2}}{10}DE,$ which give $e = 3 - k$ and $d = 4 - k.$ Then $DE^2 = 2k^2$ becomes $2k^2 = (3-k)^2 + (4-k)^2$ $= 2k^2 - 14k + 25,$ so $k = \frac{25}{14}$ and $DE = \sqrt{2}\,k = \frac{25\sqrt{2}}{14}.$ Therefore $a + b + c = 25 + 2 + 14 = 41.$