Respuesta: 554

Pista pequeña:

El triángulo más grande está inclinado, con un vértice en una esquina del rectángulo y los otros dos en los lados opuestos

Pista grande:

Si el lado $s$ forma un ángulo $\theta$ con el lado de longitud $11,$ se tiene $s\cos\theta = 11$ y $s\sin(\theta + 60^\circ) = 10;$ despeja $\tan\theta$

Solución:

Mediante una reflexión o una rotación de la configuración, podemos tomar un lado del triángulo equilátero formando un ángulo $0\le\theta\le30^\circ$ con el lado de longitud $11$ del rectángulo. En esta orientación, un triángulo de lado $s$ tiene extensiones horizontal y vertical $s\cos\theta$ y $s\sin(\theta+60^\circ),$ respectivamente. Por lo tanto, $$s\le\min\left(\frac{11}{\cos\theta}, \frac{10}{\sin(\theta+60^\circ)}\right).$$ La primera cota crece con $\theta$ y la segunda decrece, así que el mínimo de ambas es máximo cuando son iguales. Esta cota se alcanza colocando un vértice en una esquina y los otros dos en los lados opuestos, lo que da $$\begin{aligned} s\cos\theta &= 11, \\ s\sin(\theta + 60^\circ) &= 10. \end{aligned}$$

Dividiendo, $11\sin(\theta + 60^\circ) = 10\cos\theta,$ y al desarrollar el lado izquierdo se obtiene $\frac{11}{2}\sin\theta + \frac{11\sqrt{3}}{2}\cos\theta = 10\cos\theta,$ así que $\tan\theta = \frac{20 - 11\sqrt{3}}{11}$ (cerca de $4.9^\circ,$ una inclinación válida). Entonces $$\begin{aligned} s^2 &= \frac{121}{\cos^2\theta} \\ &= 121\left(1 + \tan^2\theta\right) \\ &= 121 + \left(20 - 11\sqrt{3}\right)^2 \\ &= 884 - 440\sqrt{3}. \end{aligned}$$

El área es $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(884 - 440\sqrt{3}\right)$ $= 221\sqrt{3} - 330 \approx 52.8,$ lo que en efecto supera al triángulo no inclinado de lado $10.$ Por lo tanto $p + q + r$ $= 221 + 3 + 330 = 554.$