Solución:

Coloca el rectángulo con esquinas $(0, 0),$ $(11, 0),$ $(11, 10),$ $(0, 10).$ Un triángulo equilátero maximal se puede agrandar a menos que quede sujeto por el rectángulo, y la posición extrema tiene un vértice en una esquina, digamos el origen, con los otros dos vértices $s(\cos\theta, \sin\theta)$ y $s\bigl(\cos(\theta + 60^\circ), \sin(\theta + 60^\circ)\bigr)$ tocando los lados opuestos $x = 11$ y $y = 10:$ $$\begin{aligned} s\cos\theta &= 11, \\ s\sin(\theta + 60^\circ) &= 10. \end{aligned}$$

Dividiendo, $11\sin(\theta + 60^\circ) = 10\cos\theta,$ y al desarrollar el lado izquierdo se obtiene $\frac{11}{2}\sin\theta + \frac{11\sqrt{3}}{2}\cos\theta = 10\cos\theta,$ así que $\tan\theta = \frac{20 - 11\sqrt{3}}{11}$ (cerca de $4.9^\circ,$ una inclinación válida). Entonces $$\begin{aligned} s^2 &= \frac{121}{\cos^2\theta} \\ &= 121\left(1 + \tan^2\theta\right) \\ &= 121 + \left(20 - 11\sqrt{3}\right)^2 \\ &= 884 - 440\sqrt{3}. \end{aligned}$$

El área es $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(884 - 440\sqrt{3}\right)$ $= 221\sqrt{3} - 330 \approx 52.8,$ lo que en efecto supera al triángulo no inclinado de lado $10.$ Por lo tanto $p + q + r$ $= 221 + 3 + 330 = 554.$