El interior del rectángulo de cada lazo debe quedar exactamente lleno por otros lazos, y los tamaños de los lazos fuerzan $\sum (a_i + b_i) = 60.$ Estudie los rectángulos de los lazos más externos.

Área y número de lazos fuerzan que los rectángulos más externos sean el cuadrado completo o losas paralelas de longitud completa y ancho par $w,$ cada una con exactamente $\frac{w}{2}$ lazos

Como los cinco lazos cubren $\sum \left(2(a_i + b_i) - 4\right) = 100$ celdas, $\sum (a_i + b_i) = 60.$ Cada lazo tiene un número par de celdas, así que ningún rectángulo impar por impar puede llenarse exactamente con lazos; y llenar un rectángulo cuyo lado par más corto es $e$ requiere al menos $\frac{e}{2}$ lazos, ya que quitar un lazo más externo acorta ese lado exactamente en $2$ mientras que dividir un rectángulo en otros más pequeños solo suma tales requisitos. Ahora considere los lazos más externos de una partición (aquellos cuyos rectángulos no están dentro del rectángulo de ningún otro lazo): sus rectángulos teselan el cuadrado $10 \times 10$. Si el rectángulo más externo $R_i$ tiene lado par más corto $e_i,$ usa $n_i \ge \frac{e_i}{2}$ lazos y cubre a lo sumo $10\,e_i$ celdas. Sumando sobre la teselación, $100 \le \sum 10\,e_i \le 20 \sum n_i = 100,$ así que la igualdad se cumple en todo: cada $R_i$ abarca los $10$ completos en una dirección, tiene ancho par $e_i,$ y está lleno con exactamente $\frac{e_i}{2}$ lazos. Dos losas de longitud completa en direcciones diferentes se solaparían, así que los rectángulos más externos son el cuadrado entero o losas paralelas, y el mismo argumento de igualdad se repite dentro del rectángulo interior de cada lazo.

Sea $s(w)$ el número de maneras de llenar una losa de altura completa y ancho par $w$ con $\frac{w}{2}$ lazos, sujeto a que la frontera $10 \times w$ de la losa sea un lazo más externo. Una losa de ancho $2$ es un solo lazo: $s(2) = 1.$ Una losa de ancho $4$ es un lazo $10 \times 4$ alrededor de un lazo $8 \times 2$: $s(4) = 1.$ Una losa de ancho $6$ es un lazo $10 \times 6$ alrededor de una región $8 \times 4$ que contiene dos lazos, ya sea anidados ($8 \times 4$ alrededor de $6 \times 2$) o dos losas $8 \times 2$, así que $s(6) = 2.$ Una losa de ancho $8$ rodea una región $8 \times 6$ que contiene tres lazos: un lazo $8 \times 6$ alrededor de una región $6 \times 4$ con dos lazos ($2$ maneras como antes), o tiras de altura completa de anchos $2 + 2 + 2$ ($1$ manera), o anchos $2 + 4$ en dos órdenes ($2$ maneras), así que $s(8) = 5.$ La misma recursión cuenta el cuadrado completo: un lazo $10 \times 10$ alrededor de una región $8 \times 8$ con cuatro lazos, donde las regiones $4 \times 4,$ $6 \times 6,$ y $8 \times 8$ admiten $3,$ luego $3 + 3 + 3 = 9,$ luego $9 + 9 + 9 = 27$ llenados (un solo lazo anidado, tiras verticales, o tiras horizontales en cada etapa).

Finalmente, cuente las estructuras más externas. El único rectángulo $10 \times 10$ da $27$ particiones. Para losas paralelas, los anchos forman una composición de $10$ en partes pares con al menos dos partes, y las orientaciones (vertical u horizontal) duplican el conteo: $(2,2,2,2,2)$ da $1;$ $(4,2,2,2)$ en $4$ órdenes da $4;$ $(4,4,2)$ en $3$ órdenes da $3;$ $(6,2,2)$ en $3$ órdenes da $3 \cdot 2 = 6;$ $(6,4)$ en $2$ órdenes da $2 \cdot 2 = 4;$ y $(8,2)$ en $2$ órdenes da $2 \cdot 5 = 10,$ para $28$ por orientación. El total es $27 + 2 \cdot 28 = 83.$