2026 AIME I — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Patrick empezó a caminar a velocidad constante por un camino recto desde su escuela hasta el parque. Una hora después de que Patrick partió, Tanya empezó a correr a velocidad constante $2$ millas por hora más rápido de lo que Patrick caminaba, siguiendo el mismo camino recto desde la escuela hasta el parque. Una hora después de que Tanya partió, José empezó a andar en bicicleta a velocidad constante $7$ millas por hora más rápido de lo que Tanya corría, siguiendo el mismo camino recto desde la escuela hasta el parque. Las tres personas llegaron al parque al mismo tiempo. La distancia de la escuela al parque es $\frac{m}{n}$ millas, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Patrick started walking at a constant speed along a straight road from his school to the park. One hour after Patrick left, Tanya started running at a constant speed of $2$ miles per hour faster than Patrick walked, following the same straight road from the school to the park. One hour after Tanya left, José started bicycling at a constant speed of $7$ miles per hour faster than Tanya ran, following the same straight road from the school to the park. All three people arrived at the park at the same time. The distance from the school to the park is $\frac{m}{n}$ miles, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 277

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Sea $v$ la velocidad de Patrick y $T$ su tiempo de viaje en horas; los tres recorren la misma distancia

Let Patrick’s speed be $v$ and his travel time $T$ hours; all three cover the same distance

Pista grande:

En $vT = (v+2)(T-1)$ y $vT = (v+9)(T-2),$ los términos $vT$ se cancelan, dejando dos ecuaciones lineales en $v$ y $T$

In $vT = (v+2)(T-1)$ and $vT = (v+9)(T-2),$ the $vT$ terms cancel, leaving two linear equations in $v$ and $T$

Solución:

Sea $v$ la velocidad de Patrick en millas por hora y $T$ su tiempo de viaje en horas. Entonces Tanya viaja durante $T - 1$ horas a velocidad $v + 2,$ y José viaja durante $T - 2$ horas a velocidad $v + 9$ (que es $7$ más que la velocidad de Tanya). Como los tres recorren la misma distancia, $\begin{aligned} vT &= (v+2)(T-1) \\ &= (v+9)(T-2). \end{aligned}$

Al desarrollar la primera igualdad se obtiene $0 = 2T - v - 2,$ así que $v = 2T - 2.$ Al desarrollar la segunda se obtiene $0 = 9T - 2v - 18,$ así que $2v = 9T - 18.$ Sustituyendo, $4T - 4 = 9T - 18,$ de donde $T = \frac{14}{5}$ y $v = \frac{18}{5}.$

La distancia es $vT = \frac{18}{5} \cdot \frac{14}{5} = \frac{252}{25},$ que ya está en su mínima expresión, así que $m + n = 252 + 25 = 277.$

Let $v$ be Patrick’s speed in miles per hour and $T$ his travel time in hours. Then Tanya travels for $T - 1$ hours at speed $v + 2,$ and José travels for $T - 2$ hours at speed $v + 9$ (which is $7$ more than Tanya’s speed). Since all three cover the same distance, $\begin{aligned} vT &= (v+2)(T-1) \\ &= (v+9)(T-2). \end{aligned}$

Expanding the first equality gives $0 = 2T - v - 2,$ so $v = 2T - 2.$ Expanding the second gives $0 = 9T - 2v - 18,$ so $2v = 9T - 18.$ Substituting, $4T - 4 = 9T - 18,$ hence $T = \frac{14}{5}$ and $v = \frac{18}{5}.$

The distance is $vT = \frac{18}{5} \cdot \frac{14}{5} = \frac{252}{25},$ which is in lowest terms, so $m + n = 252 + 25 = 277.$

2.

Halle el número de palíndromos enteros positivos escritos en base $10,$ sin dígitos cero, y cuyos dígitos suman $13.$ Por ejemplo, $42124$ tiene estas propiedades. Recuerde que un palíndromo es un número cuya representación se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda.

Find the number of positive integer palindromes written in base $10,$ with no zero digits, and whose digits add up to $13.$ For example, $42124$ has these properties. Recall that a palindrome is a number whose representation reads the same from left to right as from right to left.

Respuesta

Respuesta: 62

Conceptos:palíndromo dígitos particiones y composiciones paridad

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Una suma de dígitos de $13$ es impar, así que el palíndromo tiene un número impar de dígitos y un dígito central impar

A digit sum of $13$ is odd, so the palindrome has an odd number of digits and an odd middle digit

Pista grande:

Si el dígito central es $m,$ los dígitos a su izquierda forman una cadena de dígitos no nulos con suma $\frac{13-m}{2};$ cuente las composiciones

If the middle digit is $m,$ the digits to its left form a string of nonzero digits with sum $\frac{13-m}{2};$ count compositions

Solución:

Un palíndromo con un número par de dígitos tiene cada dígito apareciendo en un par reflejado, así que su suma de dígitos es par. Como $13$ es impar, el palíndromo tiene un número impar de dígitos, y si $m$ es el dígito central, el resto de la suma de dígitos $13 - m$ se reparte por igual entre las dos mitades, así que $m$ es impar. Un palíndromo de un dígito requeriría $m = 13,$ lo cual es imposible.

El palíndromo queda determinado por su dígito central $m$ y el bloque de dígitos a la izquierda del centro: una cadena no vacía de dígitos no nulos con suma $s = \frac{13 - m}{2}.$ Para $m = 1, 3, 5, 7, 9$ obtenemos $s = 6, 5, 4, 3, 2.$ Como $s \le 6,$ cada dígito de tal cadena es automáticamente a lo sumo $9,$ así que el número de cadenas es el número de composiciones de $s,$ que es $2^{s-1}$ (cada uno de los $s - 1$ huecos entre unidades es un corte o no).

El total es $\begin{aligned} &2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} \\ &= 32 + 16 + 8 + 4 + 2 \\ &= 62. \end{aligned}$

A palindrome with an even number of digits has each digit appearing in a mirrored pair, so its digit sum is even. Since $13$ is odd, the palindrome has an odd number of digits, and if $m$ is the middle digit, the rest of the digit sum $13 - m$ is split evenly between the two halves, so $m$ is odd. A one-digit palindrome would need $m = 13,$ which is impossible.

The palindrome is determined by its middle digit $m$ and the block of digits to the left of center: a nonempty string of nonzero digits with sum $s = \frac{13 - m}{2}.$ For $m = 1, 3, 5, 7, 9$ we get $s = 6, 5, 4, 3, 2.$ Since $s \le 6,$ every digit of such a string is automatically at most $9,$ so the number of strings is the number of compositions of $s,$ which is $2^{s-1}$ (each of the $s - 1$ gaps between units is either a break or not).

The total is $\begin{aligned} &2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} \\ &= 32 + 16 + 8 + 4 + 2 \\ &= 62. \end{aligned}$

3.

Un hemisferio de radio $200$ se apoya sobre un disco circular horizontal de radio $200,$ y el hemisferio y el disco tienen el mismo centro. Sea $\mathcal{T}$ la región de puntos $P$ en el disco tales que una esfera de radio $42$ puede colocarse sobre el disco en $P$ y quedar completamente dentro del hemisferio. El área de $\mathcal{T}$ dividida por el área del disco es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $p + q.$

A hemisphere with radius $200$ sits on top of a horizontal circular disk with radius $200,$ and the hemisphere and disk have the same center. Let $\mathcal{T}$ be the region of points $P$ in the disk such that a sphere of radius $42$ can be placed on top of the disk at $P$ and lie completely inside the hemisphere. The area of $\mathcal{T}$ divided by the area of the disk is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 79

Conceptos:esfera Geometría 3D área del círculo diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

El centro de la esfera pequeña queda $42$ directamente encima de $P,$ y la esfera cabe dentro del hemisferio exactamente cuando su centro está a lo sumo a $200 - 42$ del centro común

The small sphere’s center sits $42$ directly above $P,$ and the sphere fits inside the hemisphere exactly when its center is within $200 - 42$ of the common center

Pista grande:

Con $d$ la distancia del centro del disco a $P,$ la condición es $d^2 + 42^2 \le 158^2,$ y $158^2 - 42^2$ se factoriza como una diferencia de cuadrados

With $d$ the distance from the center of the disk to $P,$ the condition is $d^2 + 42^2 \le 158^2,$ and $158^2 - 42^2$ factors as a difference of squares

Solución:

Una esfera de radio $42$ que descansa sobre el disco en $P$ tiene su centro $42$ directamente encima de $P.$ Queda dentro del hemisferio de radio $200$ exactamente cuando su centro está a lo sumo a $200 - 42 = 158$ del centro común $O.$ Si $d$ es la distancia de $O$ a $P,$ el centro de la esfera está a distancia $\sqrt{d^2 + 42^2}$ de $O,$ así que la condición es $d^2 + 42^2 \le 158^2.$

Por diferencia de cuadrados, $d^2 \le 158^2 - 42^2$ $= 116 \cdot 200$ $= 23200.$ Así $\mathcal{T}$ es un disco de radio $\sqrt{23200},$ y la razón de áreas es $\frac{23200}{200^2} = \frac{23200}{40000} = \frac{29}{50}.$ Por lo tanto, $p + q = 29 + 50 = 79.$

A sphere of radius $42$ resting on the disk at $P$ has its center $42$ directly above $P.$ It lies inside the hemisphere of radius $200$ exactly when its center is within $200 - 42 = 158$ of the common center $O.$ If $d$ is the distance from $O$ to $P,$ the center of the sphere is at distance $\sqrt{d^2 + 42^2}$ from $O,$ so the condition is $d^2 + 42^2 \le 158^2.$

By difference of squares, $d^2 \le 158^2 - 42^2$ $= 116 \cdot 200$ $= 23200.$ Thus $\mathcal{T}$ is a disk of radius $\sqrt{23200},$ and the ratio of areas is $\frac{23200}{200^2} = \frac{23200}{40000} = \frac{29}{50}.$ Therefore $p + q = 29 + 50 = 79.$

4.

Halle el número de enteros menores o iguales que $100$ que son iguales a $a + b + ab$ para alguna elección de enteros positivos distintos $a$ y $b.$

Find the number of integers less than or equal to $100$ that are equal to $a + b + ab$ for some choice of distinct positive integers $a$ and $b.$

Respuesta

Respuesta: 70

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon conteo complementario primo

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Sume $1$ a ambos lados: $a + b + ab + 1 = (a+1)(b+1)$

Add $1$ to both sides: $a + b + ab + 1 = (a+1)(b+1)$

Pista grande:

Así $n$ funciona exactamente cuando $n + 1$ es un producto de dos factores distintos, cada uno al menos $2;$ quite los primos y los cuadrados de primos de $2$ a $101$

So $n$ works exactly when $n + 1$ is a product of two distinct factors, each at least $2;$ remove the primes and the squares of primes from $2$ through $101$

Solución:

Como $a + b + ab = (a+1)(b+1) - 1,$ un entero $n$ es representable exactamente cuando $n + 1 = xy$ para enteros distintos $x = a + 1$ y $y = b + 1$ que son cada uno al menos $2.$ Así contamos los enteros $n + 1$ en $\{2, 3, \ldots, 101\}$ que admiten tal factorización.

Un primo no tiene factorización en dos factores que sean ambos al menos $2,$ y el cuadrado de un primo $p^2$ se factoriza así solo como $p \cdot p,$ lo cual no está permitido. Todo otro compuesto $M$ funciona: si $p$ es su menor factor primo, entonces $M = p \cdot \frac{M}{p}$ con $\frac{M}{p} \gt p$ ya que $M \gt p^2.$ En $\{2, \ldots, 101\}$ hay $26$ primos (los $25$ primos menores que $100,$ junto con $101$ ) y $4$ cuadrados de primos ( $4,$ $9,$ $25,$ $49$ ).

El total es $100 - 26 - 4 = 70.$

Since $a + b + ab = (a+1)(b+1) - 1,$ an integer $n$ is representable exactly when $n + 1 = xy$ for distinct integers $x = a + 1$ and $y = b + 1$ that are each at least $2.$ So we count integers $n + 1$ in $\{2, 3, \ldots, 101\}$ that admit such a factorization.

A prime has no factorization into two factors that are both at least $2,$ and the square of a prime $p^2$ factors that way only as $p \cdot p,$ which is not allowed. Every other composite $M$ works: if $p$ is its smallest prime factor, then $M = p \cdot \frac{M}{p}$ with $\frac{M}{p} \gt p$ since $M \gt p^2.$ In $\{2, \ldots, 101\}$ there are $26$ primes (the $25$ primes below $100,$ together with $101$ ) and $4$ prime squares ( $4,$ $9,$ $25,$ $49$ ).

The count is $100 - 26 - 4 = 70.$

5.

Un plano contiene los puntos $A$ y $B$ con $AB = 1.$ El punto $A$ se rota en el plano en sentido antihorario un ángulo agudo $\theta$ alrededor del punto $B$ hasta el punto $A'.$ Luego $B$ se rota en el plano en sentido horario un ángulo $\theta$ alrededor del punto $A'$ hasta el punto $B'.$ Suponga que $AB' = \frac{4}{3}.$ El valor de $\cos\theta$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

A plane contains points $A$ and $B$ with $AB = 1.$ Point $A$ is rotated in the plane counterclockwise through an acute angle $\theta$ around point $B$ to point $A'.$ Then $B$ is rotated in the plane clockwise through angle $\theta$ around point $A'$ to point $B'.$ Suppose $AB' = \frac{4}{3}.$ The value of $\cos\theta$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 65

Conceptos:número complejo transformación trigonometría

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Ponga $B = 0$ y $A = 1$ en el plano complejo; rotar $z$ alrededor de $P$ un ángulo $\varphi$ en sentido antihorario da $P + e^{i\varphi}(z - P)$

Put $B = 0$ and $A = 1$ in the complex plane; rotating $z$ about $P$ through $\varphi$ counterclockwise gives $P + e^{i\varphi}(z - P)$

Pista grande:

Calcule $B' = e^{i\theta} - 1,$ así que $AB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 = 5 - 4\cos\theta$

Compute $B' = e^{i\theta} - 1,$ so $AB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 = 5 - 4\cos\theta$

Solución:

Trabaje en el plano complejo con $B = 0$ y $A = 1.$ Rotar $z$ alrededor de $P$ un ángulo $\varphi$ en sentido antihorario da $P + e^{i\varphi}(z - P).$ Así $A' = e^{i\theta},$ y rotar $B$ en sentido horario un ángulo $\theta$ alrededor de $A'$ da $\begin{aligned} &B' = A' + e^{-i\theta}(0 - A') \\ &= e^{i\theta} - e^{-i\theta}e^{i\theta} \\ &= e^{i\theta} - 1. \end{aligned}$

Entonces $\begin{aligned} &AB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 \\ &= (\cos\theta - 2)^2 + \sin^2\theta \\ &= 5 - 4\cos\theta. \end{aligned}$ Al igualar esto a $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$ se obtiene $4\cos\theta = 5 - \frac{16}{9} = \frac{29}{9},$ así que $\cos\theta = \frac{29}{36}$ (efectivamente positivo, consistente con que $\theta$ sea agudo). Así, $m + n = 29 + 36 = 65.$

Work in the complex plane with $B = 0$ and $A = 1.$ Rotating $z$ about $P$ through angle $\varphi$ counterclockwise gives $P + e^{i\varphi}(z - P).$ So $A' = e^{i\theta},$ and rotating $B$ clockwise through $\theta$ about $A'$ gives $\begin{aligned} &B' = A' + e^{-i\theta}(0 - A') \\ &= e^{i\theta} - e^{-i\theta}e^{i\theta} \\ &= e^{i\theta} - 1. \end{aligned}$

Then $\begin{aligned} &AB'^2 = \left|e^{i\theta} - 2\right|^2 \\ &= (\cos\theta - 2)^2 + \sin^2\theta \\ &= 5 - 4\cos\theta. \end{aligned}$ Setting this equal to $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$ gives $4\cos\theta = 5 - \frac{16}{9} = \frac{29}{9},$ so $\cos\theta = \frac{29}{36}$ (indeed positive, consistent with $\theta$ acute). Thus $m + n = 29 + 36 = 65.$

6.

El producto de todos los números reales positivos $x$ que satisfacen la ecuación $\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x$ es un entero $P.$ Halle el número de divisores enteros positivos de $P.$

The product of all positive real numbers $x$ satisfying the equation $\sqrt[20]{x^{\log_{2026} x}} = 26x$ is an integer $P.$ Find the number of positive integer divisors of $P.$

Respuesta

Respuesta: 441

Conceptos:logaritmo cuadrática Fórmulas de Vieta conteo de factores

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Sea $t = \log_{2026} x$ y tome $\log_{2026}$ de ambos lados para obtener una cuadrática en $t$

Set $t = \log_{2026} x$ and take $\log_{2026}$ of both sides to get a quadratic in $t$

Pista grande:

Las dos raíces satisfacen $t_1 + t_2 = 20,$ así que el producto de las soluciones $x$ es $2026$ elevado a esa potencia; factorice $2026$

The two roots satisfy $t_1 + t_2 = 20,$ so the product of the solutions $x$ is $2026$ raised to that power; factor $2026$

Solución:

Sea $t = \log_{2026} x.$ Al tomar $\log_{2026}$ de ambos lados de $x^{\frac{\log_{2026} x}{20}} = 26x$ se obtiene $\frac{t^2}{20} = \log_{2026} 26 + t,$ es decir, $t^2 - 20t - 20\log_{2026} 26 = 0.$ El discriminante $400 + 80\log_{2026} 26$ es positivo, así que hay dos raíces reales $t_1, t_2,$ cada una de las cuales da una solución positiva válida $x = 2026^{t}.$

Por las fórmulas de Vieta $t_1 + t_2 = 20,$ así que el producto de las soluciones es $2026^{t_1} \cdot 2026^{t_2} = 2026^{20}.$ Como $2026 = 2 \cdot 1013$ y $1013$ es primo, $P = 2^{20} \cdot 1013^{20}$ tiene $21 \cdot 21 = 441$ divisores positivos.

Let $t = \log_{2026} x.$ Taking $\log_{2026}$ of both sides of $x^{\frac{\log_{2026} x}{20}} = 26x$ gives $\frac{t^2}{20} = \log_{2026} 26 + t,$ that is $t^2 - 20t - 20\log_{2026} 26 = 0.$ The discriminant $400 + 80\log_{2026} 26$ is positive, so there are two real roots $t_1, t_2,$ each giving a valid positive solution $x = 2026^{t}.$

By Vieta’s formulas $t_1 + t_2 = 20,$ so the product of the solutions is $2026^{t_1} \cdot 2026^{t_2} = 2026^{20}.$ Since $2026 = 2 \cdot 1013$ and $1013$ is prime, $P = 2^{20} \cdot 1013^{20}$ has $21 \cdot 21 = 441$ positive divisors.

7.

Halle el número de funciones $\pi$ que son sobreyectivas del conjunto $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ sobre $A$ y tales que para todo $a \in A,$ $\pi(\pi(\pi(\pi(\pi(\pi(a)))))) = a.$

Find the number of functions $\pi$ mapping the set $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ onto $A$ such that for every $a \in A,$ $\pi(\pi(\pi(\pi(\pi(\pi(a)))))) = a.$

Respuesta

Respuesta: 396

Conceptos:permutaciones conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Una aplicación sobreyectiva de un conjunto finito en sí mismo es una permutación, y la condición dice que su sexta potencia es la identidad

An onto map from a finite set to itself is a permutation, and the condition says its sixth power is the identity

Pista grande:

Equivalentemente, toda longitud de ciclo divide a $6,$ así que reste de $720$ las permutaciones que contienen un $4$ -ciclo o un $5$ -ciclo

Equivalently every cycle length divides $6,$ so subtract from $720$ the permutations that contain a $4$ -cycle or a $5$ -cycle

Solución:

Una función de un conjunto finito sobre sí mismo es una biyección, así que $\pi$ es una permutación de seis elementos, y la condición dice que $\pi^6$ es la identidad. Una permutación satisface $\pi^6 = \mathrm{id}$ exactamente cuando todo ciclo de su descomposición en ciclos tiene longitud que divide a $6.$ Entre las longitudes posibles $1$ a $6,$ solo $4$ y $5$ no dividen a $6.$

Restamos las permutaciones que contienen un $4$ -ciclo o un $5$ -ciclo del total $6! = 720.$ El tipo de ciclo $4+1+1$ da $\frac{6!}{4 \cdot 2!} = 90,$ el tipo $4+2$ da $\frac{6!}{4 \cdot 2} = 90,$ y el tipo $5+1$ da $\frac{6!}{5} = 144,$ para $90 + 90 + 144 = 324$ permutaciones excluidas.

El total es $720 - 324 = 396.$

A function from a finite set onto itself is a bijection, so $\pi$ is a permutation of six elements, and the condition says $\pi^6$ is the identity. A permutation satisfies $\pi^6 = \mathrm{id}$ exactly when every cycle in its cycle decomposition has length dividing $6.$ Among the possible lengths $1$ through $6,$ only $4$ and $5$ fail to divide $6.$

We subtract the permutations containing a $4$ -cycle or a $5$ -cycle from $6! = 720.$ Cycle type $4+1+1$ gives $\frac{6!}{4 \cdot 2!} = 90,$ type $4+2$ gives $\frac{6!}{4 \cdot 2} = 90,$ and type $5+1$ gives $\frac{6!}{5} = 144,$ for $90 + 90 + 144 = 324$ excluded permutations.

The count is $720 - 324 = 396.$

8.

Sea $N$ el número de divisores enteros positivos de $17017^{17}$ que dejan resto $5$ al dividir por $12.$ Halle el resto cuando $N$ se divide por $1000.$

Let $N$ be the number of positive integer divisors of $17017^{17}$ that leave a remainder of $5$ upon division by $12.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 244

Conceptos:aritmética modular factorización en primos paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Factorice $17017 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17$ y reduzca módulo $12:$ los primos se vuelven $7,$ $11,$ $1,$ $5,$ con $7^2 \equiv 11^2 \equiv 5^2 \equiv 1$

Factor $17017 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17$ and reduce mod $12:$ the primes become $7,$ $11,$ $1,$ $5,$ with $7^2 \equiv 11^2 \equiv 5^2 \equiv 1$

Pista grande:

Solo importan las paridades de los exponentes de $7,$ $11,$ $17$ , y $7 \cdot 11 \equiv 5 \pmod{12},$ así que exactamente dos patrones de paridad dan resto $5$

Only the parities of the exponents of $7,$ $11,$ $17$ matter, and $7 \cdot 11 \equiv 5 \pmod{12},$ so exactly two parity patterns give remainder $5$

Solución:

Como $17017 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17,$ los divisores de $17017^{17}$ son $7^a 11^b 13^c 17^d$ con cada exponente entre $0$ y $17.$ Módulo $12$ tenemos $13 \equiv 1,$ y $7^2 \equiv 11^2 \equiv 17^2 \equiv 1$ (pues $17 \equiv 5$ ), así que el residuo de un divisor es $7^{\alpha} \, 11^{\beta} \, 5^{\delta} \pmod{12},$ donde $\alpha, \beta, \delta$ son las paridades de $a, b, d.$

Los cuatro valores posibles $1, 5, 7, 11$ se multiplican como el grupo $\{1, 5, 7, 11\}$ módulo $12,$ en el que $7 \cdot 11 \equiv 5.$ Verificando los ocho patrones de paridad, el residuo es $5$ exactamente cuando $(\alpha, \beta, \delta) = (0, 0, 1)$ o $(1, 1, 0).$ Cada condición de paridad se satisface por $9$ de las $18$ elecciones de ese exponente, mientras que $c$ es libre con $18$ elecciones.

Por lo tanto $N = 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 18 = 26244,$ y el resto módulo $1000$ es $244.$

Since $17017 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17,$ the divisors of $17017^{17}$ are $7^a 11^b 13^c 17^d$ with each exponent between $0$ and $17.$ Modulo $12$ we have $13 \equiv 1,$ and $7^2 \equiv 11^2 \equiv 17^2 \equiv 1$ (as $17 \equiv 5$ ), so the residue of a divisor is $7^{\alpha} \, 11^{\beta} \, 5^{\delta} \pmod{12},$ where $\alpha, \beta, \delta$ are the parities of $a, b, d.$

The four possible values $1, 5, 7, 11$ multiply like the group $\{1, 5, 7, 11\}$ mod $12,$ in which $7 \cdot 11 \equiv 5.$ Checking the eight parity patterns, the residue is $5$ exactly when $(\alpha, \beta, \delta) = (0, 0, 1)$ or $(1, 1, 0).$ Each parity condition is satisfied by $9$ of the $18$ choices of that exponent, while $c$ is free with $18$ choices.

Therefore $N = 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 18 = 26244,$ and the remainder mod $1000$ is $244.$

9.

Joanne tiene un dado justo de seis caras en blanco y seis calcomanías, cada una mostrando un entero diferente de $1$ a $6.$ Joanne lanza el dado y luego coloca la calcomanía etiquetada $1$ sobre la cara superior del dado. Luego lanza el dado de nuevo, coloca la calcomanía etiquetada $2$ sobre la cara superior, y continúa este proceso para colocar el resto de las calcomanías en orden. Si el dado alguna vez queda con una calcomanía ya sobre su cara superior, la nueva calcomanía se coloca cubriendo la antigua. Sea $p$ la probabilidad condicional de que al final del proceso exactamente una cara haya quedado en blanco, dado que todas las calcomanías de número par son visibles en las caras del dado. Entonces $p$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Joanne has a blank fair six-sided die and six stickers each displaying a different integer from $1$ to $6.$ Joanne rolls the die and then places the sticker labeled $1$ on the top face of the die. She then rolls the die again, places the sticker labeled $2$ on the top face, and continues this process to place the rest of the stickers in order. If the die ever lands with a sticker already on its top face, the new sticker is placed to cover the old sticker. Let $p$ be the conditional probability that at the end of the process exactly one face has been left blank, given that all the even-numbered stickers are visible on faces of the die. Then $p$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 29

Conceptos:probabilidad condicional eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Rastree $f_1, \ldots, f_6,$ las caras que quedan arriba en los seis lanzamientos, independientes y uniformes; la calcomanía $i$ queda visible si la cara $f_i$ no vuelve a salir

Track the six rolled top faces $f_1, \ldots, f_6,$ independent and uniform; sticker $i$ stays visible exactly when face $f_i$ never comes up afterward

Pista grande:

Exactamente una cara en blanco significa exactamente una repetición $f_i = f_j;$ cuente qué pares $i \lt j$ mantienen visibles las calcomanías $2,$ $4,$ $6$

Exactly one blank face means exactly one repeat $f_i = f_j;$ count which pairs $i \lt j$ keep stickers $2,$ $4,$ $6$ visible

Solución:

Sean $f_1, \ldots, f_6$ las caras que quedan arriba en los seis lanzamientos, independientes y uniformes entre las seis caras. La calcomanía $i$ va en la cara $f_i$ y termina visible exactamente cuando $f_j \ne f_i$ para todo $j \gt i$ (la calcomanía $6$ siempre es visible). Así el evento condicionante es $f_3, f_4, f_5, f_6 \ne f_2$ y $f_5, f_6 \ne f_4.$ Contando las elecciones en el orden $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6$ se obtiene $6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 = 14400$ secuencias de $6^6.$

Una cara está en blanco exactamente cuando nunca aparece entre $f_1, \ldots, f_6,$ así que exactamente una cara en blanco significa que la secuencia toma exactamente $5$ valores distintos, es decir, hay exactamente una coincidencia $f_i = f_j$ con $i \lt j$ y todos los demás valores distintos. La coincidencia no debe violar el condicionamiento: los pares $(2, j)$ y $(4, 5),$ $(4, 6)$ están prohibidos, dejando los $9$ pares $(1,2),$ $(1,3),$ $(1,4),$ $(1,5),$ $(1,6),$ $(3,4),$ $(3,5),$ $(3,6),$ $(5,6).$ Para cada par permitido, los cinco valores distintos pueden asignarse de $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ maneras, y toda restricción se cumple automáticamente porque el único valor repetido ocupa un par permitido. Eso da $9 \cdot 720 = 6480$ secuencias.

Por lo tanto $p = \frac{6480}{14400} = \frac{9}{20},$ y $m + n = 9 + 20 = 29.$

Let $f_1, \ldots, f_6$ be the top faces rolled, independent and uniform over the six faces. Sticker $i$ goes on face $f_i$ and ends up visible exactly when $f_j \ne f_i$ for all $j \gt i$ (sticker $6$ is always visible). So the conditioning event is $f_3, f_4, f_5, f_6 \ne f_2$ and $f_5, f_6 \ne f_4.$ Counting choices in the order $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6$ gives $6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 = 14400$ sequences out of $6^6.$

A face is blank exactly when it never appears among $f_1, \ldots, f_6,$ so exactly one blank face means the sequence takes exactly $5$ distinct values, i.e. there is exactly one coincidence $f_i = f_j$ with $i \lt j$ and all other values distinct. The coincidence must not violate the conditioning: pairs $(2, j)$ and $(4, 5),$ $(4, 6)$ are forbidden, leaving the $9$ pairs $(1,2),$ $(1,3),$ $(1,4),$ $(1,5),$ $(1,6),$ $(3,4),$ $(3,5),$ $(3,6),$ $(5,6).$ For each allowed pair, the five distinct values can be assigned in $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ ways, and every constraint holds automatically because the only repeated value occupies an allowed pair. That gives $9 \cdot 720 = 6480$ sequences.

Therefore $p = \frac{6480}{14400} = \frac{9}{20},$ and $m + n = 9 + 20 = 29.$

10.

Sea $\triangle ABC$ con lados $AB = 13,$ $BC = 14,$ y $CA = 15.$ El triángulo $\triangle A'B'C'$ se obtiene rotando $\triangle ABC$ alrededor de su circuncentro de modo que $\overline{A'C'}$ sea perpendicular a $\overline{BC},$ con $A'$ y $B$ no del mismo lado de la recta $B'C'.$ Halle el entero más cercano al área del hexágono $AA'CC'BB'.$

Let $\triangle ABC$ have side lengths $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15.$ Triangle $\triangle A'B'C'$ is obtained by rotating $\triangle ABC$ about its circumcenter so that $\overline{A'C'}$ is perpendicular to $\overline{BC},$ with $A'$ and $B$ not on the same side of line $B'C'.$ Find the integer closest to the area of hexagon $AA'CC'BB'.$

Respuesta

Respuesta: 156

Conceptos:geometría analítica transformación fórmula del cordón circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Use $B = (0,0),$ $C = (14,0),$ $A = (5,12);$ el circuncentro es $\left(7, \frac{33}{8}\right),$ y la rotación mantiene los seis vértices en la circunferencia circunscrita

Use $B = (0,0),$ $C = (14,0),$ $A = (5,12);$ the circumcenter is $\left(7, \frac{33}{8}\right),$ and the rotation keeps all six vertices on the circumcircle

Pista grande:

Rote la dirección $(3,-4)$ de $\overline{AC}$ hasta la vertical; la condición de los lados elige $\cos\varphi = \frac{4}{5},$ $\sin\varphi = -\frac{3}{5}.$ Use la fórmula del zapatero

Rotate direction $(3,-4)$ of $\overline{AC}$ to vertical; the side condition selects $\cos\varphi = \frac{4}{5},$ $\sin\varphi = -\frac{3}{5}.$ Use the shoelace formula

Solución:

Coloquemos $B = (0,0),$ $C = (14,0),$ $A = (5,12).$ El circuncentro está sobre $x = 7,$ y al igualar las distancias a $B$ y $A$ se obtiene $O = \left(7, \frac{33}{8}\right).$ La dirección de $\overline{AC}$ es $C - A = (9, -12),$ paralela a $(3, -4).$ Una rotación de ángulo $\varphi$ hace vertical a $\overline{A'C'}$ exactamente cuando lleva $(3,-4)$ a $(0, \pm 5),$ así que $(\cos\varphi, \sin\varphi) = \left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$ o $\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right).$ Usamos el producto cruzado escalar para comprobar los lados de la recta dirigida $B'C'.$ Para la primera rotación, $\begin{aligned} (C'-B') \times (A'-B') &= 168, \\ (C'-B') \times (B-B') &= -\frac{189}{4}, \end{aligned}$ mientras que para la segunda estas cantidades son $168$ y $\frac{651}{4},$ respectivamente. Por tanto, $A'$ y $B$ están en lados opuestos solo para $\cos\varphi = \frac{4}{5},$ $\sin\varphi = -\frac{3}{5}.$

Con esta rotación, $P' = O + R(P - O)$ da $A' = \left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right),$ $B' = \left(-\tfrac{43}{40}, \tfrac{201}{40}\right),$ $C' = \left(\tfrac{81}{8}, -\tfrac{27}{8}\right).$ Por ejemplo, $A - O = \left(-2, \tfrac{63}{8}\right)$ gira a $\left(\tfrac{25}{8}, \tfrac{15}{2}\right),$ dando $A' = \left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right).$

El hexágono $A A' C C' B B'$ es simple con estos vértices en orden, así que la fórmula del zapatero aplicada a $(5,12),$ $\left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right),$ $(14,0),$ $\left(\tfrac{81}{8}, -\tfrac{27}{8}\right),$ $(0,0),$ $\left(-\tfrac{43}{40}, \tfrac{201}{40}\right)$ da el área $\frac{1557}{10} = 155.7.$ El entero más cercano es $156.$

Place $B = (0,0),$ $C = (14,0),$ $A = (5,12).$ The circumcenter lies on $x = 7,$ and equating distances to $B$ and $A$ gives $O = \left(7, \frac{33}{8}\right).$ The direction of $\overline{AC}$ is $C - A = (9, -12),$ parallel to $(3, -4).$ A rotation through $\varphi$ makes $\overline{A'C'}$ vertical exactly when it sends $(3,-4)$ to $(0, \pm 5),$ so $(\cos\varphi, \sin\varphi) = \left(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$ or $\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right).$ Use the scalar cross product to test sides of the directed line $B'C'.$ For the first rotation, $\begin{aligned} (C'-B') \times (A'-B') &= 168, \\ (C'-B') \times (B-B') &= -\frac{189}{4}, \end{aligned}$ while for the second rotation these quantities are $168$ and $\frac{651}{4},$ respectively. Thus $A'$ and $B$ are on opposite sides only for $\cos\varphi = \frac{4}{5},$ $\sin\varphi = -\frac{3}{5}.$

With this rotation, $P' = O + R(P - O)$ gives $A' = \left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right),$ $B' = \left(-\tfrac{43}{40}, \tfrac{201}{40}\right),$ $C' = \left(\tfrac{81}{8}, -\tfrac{27}{8}\right).$ For example, $A - O = \left(-2, \tfrac{63}{8}\right)$ rotates to $\left(\tfrac{25}{8}, \tfrac{15}{2}\right),$ giving $A' = \left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right).$

The hexagon $A A' C C' B B'$ is simple with these vertices in order, so the shoelace formula on $(5,12),$ $\left(\tfrac{81}{8}, \tfrac{93}{8}\right),$ $(14,0),$ $\left(\tfrac{81}{8}, -\tfrac{27}{8}\right),$ $(0,0),$ $\left(-\tfrac{43}{40}, \tfrac{201}{40}\right)$ gives area $\frac{1557}{10} = 155.7.$ The closest integer is $156.$

11.

Los enteros de $1$ a $64$ se colocan en algún orden en una cuadrícula de $8 \times 8$ celdas con un número en cada celda. Sea $a_{i,j}$ el número colocado en la celda de la fila $i$ y la columna $j,$ y sea $M$ la suma de las diferencias absolutas entre celdas adyacentes. Es decir, $\begin{aligned} M = \sum_{i=1}^{8} \sum_{j=1}^{7} \big(&|a_{i,j+1} - a_{i,j}| \\ &{}+ |a_{j+1,i} - a_{j,i}|\big). \end{aligned}$ Halle el resto cuando el máximo valor posible de $M$ se divide por $1000.$

The integers from $1$ to $64$ are placed in some order into an $8 \times 8$ grid of cells with one number in each cell. Let $a_{i,j}$ be the number placed in the cell in row $i$ and column $j,$ and let $M$ be the sum of the absolute differences between adjacent cells. That is, $\begin{aligned} M = \sum_{i=1}^{8} \sum_{j=1}^{7} \big(&|a_{i,j+1} - a_{i,j}| \\ &{}+ |a_{j+1,i} - a_{j,i}|\big). \end{aligned}$ Find the remainder when the maximum possible value of $M$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 896

Conceptos:optimización valor absoluto argumento extremal

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Atribuya cada arista a sus extremos: $M = \sum_v c_v a_v,$ donde $c_v$ cuenta los vecinos menores que $a_v$ menos los vecinos mayores, así que $|c_v| \le \deg(v)$

Attribute each edge to its endpoints: $M = \sum_v c_v a_v,$ where $c_v$ counts neighbors smaller than $a_v$ minus neighbors larger, so $|c_v| \le \deg(v)$

Pista grande:

Como $\sum_v c_v = 0,$ también $M \le \sum_v \deg(v)\,|a_v - 32.5|.$ Empareje las mayores desviaciones con las celdas de grado $4$ y verifique que un patrón de ajedrez alcanza la cota

Since $\sum_v c_v = 0,$ also $M \le \sum_v \deg(v)\,|a_v - 32.5|.$ Match the large deviations with the degree- $4$ cells, and check that a checkerboard placement attains the bound.

Solución:

Considere la cuadrícula como un grafo cuyas $112$ aristas unen celdas adyacentes. Cada arista aporta el valor de su extremo mayor positivamente y el del menor negativamente, así que $M = \sum_v c_v a_v,$ donde $a_v$ es la entrada en la celda $v$ y $c_v$ es el número de vecinos de $v$ con entradas menores menos el número con entradas mayores. Entonces $|c_v| \le \deg(v),$ que es $4$ para las $36$ celdas interiores, $3$ para las $24$ celdas de borde, y $2$ para las $4$ esquinas, y $\sum_v c_v = 0$ ya que cada arista aporta $+1$ y $-1.$

Como $\sum_v c_v = 0,$ $\begin{aligned} M &= \sum_v c_v \left(a_v - \tfrac{65}{2}\right) \\ &\le \sum_v \deg(v)\left|a_v - \tfrac{65}{2}\right|. \end{aligned}$ Por la desigualdad del reordenamiento, esto se maximiza emparejando los $36$ valores más lejanos de $\frac{65}{2}$ (a saber, $1$ – $18$ y $47$ – $64,$ cuyas desviaciones suman $828$ ) con las celdas interiores, los siguientes $24$ valores ( $19$ – $30$ y $35$ – $46,$ que suman $192$ ) con las celdas de borde, y $31$ – $34$ (que suman $4$ ) con las esquinas. Por lo tanto, $M \le 4 \cdot 828 + 3 \cdot 192 + 2 \cdot 4$ $= 3896.$

La igualdad requiere que cada celda que contiene un valor a lo sumo $32$ sea menor que todos sus vecinos y que todo valor al menos $33$ sea mayor, lo que un tablero de ajedrez logra: ponga $1$ – $32$ en las celdas negras ( $1$ – $18$ en las negras interiores, $19$ – $30$ en las negras de borde, $31$ – $32$ en las esquinas negras) y $33$ – $64$ en las celdas blancas ( $33$ – $34$ en las esquinas, $35$ – $46$ en los bordes, $47$ – $64$ en el interior). En cada par de celdas vecinas, la celda blanca contiene el valor mayor, así que $M = 3896,$ y la respuesta es $3896 \bmod 1000 = 896.$

View the grid as a graph whose $112$ edges join adjacent cells. Each edge contributes its larger endpoint value positively and its smaller one negatively, so $M = \sum_v c_v a_v,$ where $a_v$ is the entry in cell $v$ and $c_v$ is the number of neighbors of $v$ with smaller entries minus the number with larger entries. Then $|c_v| \le \deg(v),$ which is $4$ for the $36$ interior cells, $3$ for the $24$ edge cells, and $2$ for the $4$ corners, and $\sum_v c_v = 0$ since each edge contributes $+1$ and $-1.$

Because $\sum_v c_v = 0,$ $\begin{aligned} M &= \sum_v c_v \left(a_v - \tfrac{65}{2}\right) \\ &\le \sum_v \deg(v)\left|a_v - \tfrac{65}{2}\right|. \end{aligned}$ By the rearrangement inequality this is maximized by pairing the $36$ values farthest from $\frac{65}{2}$ (namely $1$ – $18$ and $47$ – $64,$ whose deviations total $828$ ) with the interior cells, the next $24$ values ( $19$ – $30$ and $35$ – $46,$ totaling $192$ ) with the edge cells, and $31$ – $34$ (totaling $4$ ) with the corners. Hence $M \le 4 \cdot 828 + 3 \cdot 192 + 2 \cdot 4$ $= 3896.$

Equality requires every cell holding a value at most $32$ to be smaller than all its neighbors and every value at least $33$ to be larger, which a checkerboard achieves: put $1$ – $32$ on the black cells ( $1$ – $18$ on interior blacks, $19$ – $30$ on edge blacks, $31$ – $32$ on black corners) and $33$ – $64$ on the white cells ( $33$ – $34$ on corners, $35$ – $46$ on edges, $47$ – $64$ in the interior). Every neighbor pair then compares white over black, so $M = 3896,$ and the answer is $3896 \bmod 1000 = 896.$

12.

El triángulo $\triangle ABC$ está en el plano $\mathcal{P}$ con $AB = 6,$ $AC = 4,$ y $\angle BAC = 90^\circ.$ Sea $D$ la reflexión respecto a $\overline{BC}$ del baricentro de $\triangle ABC.$ Cuatro esferas, todas del mismo lado de $\mathcal{P},$ tienen radios $1,$ $2,$ $3,$ y $r$ y son tangentes a $\mathcal{P}$ en los puntos $A,$ $B,$ $C,$ y $D,$ respectivamente. Las cuatro esferas también son cada una tangente a un segundo plano $\mathcal{T}$ y están todas del mismo lado de $\mathcal{T}.$ El valor de $r$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Triangle $\triangle ABC$ lies in plane $\mathcal{P}$ with $AB = 6,$ $AC = 4,$ and $\angle BAC = 90^\circ.$ Let $D$ be the reflection across $\overline{BC}$ of the centroid of $\triangle ABC.$ Four spheres, all on the same side of $\mathcal{P},$ have radii $1,$ $2,$ $3,$ and $r$ and are tangent to $\mathcal{P}$ at points $A,$ $B,$ $C,$ and $D,$ respectively. The four spheres are also each tangent to a second plane $\mathcal{T}$ and are all on the same side of $\mathcal{T}.$ The value of $r$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 161

Conceptos:esfera Geometría 3D geometría analítica transformación

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Cada centro está a una altura igual a su radio por encima de su punto de tangencia; escriba el segundo plano como $n \cdot x = c$ con $n$ un vector unitario y exprese ambas tangencias

Each center lies at height equal to its radius above its tangency point; write the second plane as $n \cdot x = c$ with $n$ a unit vector and express both tangencies

Pista grande:

Las condiciones dicen que el radio es una función afín del punto de tangencia en $\mathcal{P};$ toma los valores $1, 2, 3$ en $A, B, C,$ así que evalúe esa función en $D$

The conditions say the radius is an affine function of the tangency point in $\mathcal{P};$ it takes values $1, 2, 3$ at $A, B, C,$ so evaluate that function at $D$

Solución:

Una esfera de radio $\rho$ tangente a $\mathcal{P}$ en $P$ tiene centro $P + \rho k,$ donde $k$ es el vector normal unitario hacia arriba de $\mathcal{P}.$ Escriba $\mathcal{T}$ como $\{x : n \cdot x = c\}$ con normal unitaria $n = (n_1, n_2, h)$ en coordenadas donde $\mathcal{P}$ es el plano $xy$ . La tangencia con todas las esferas del mismo lado significa $n \cdot (P + \rho k) - c = \rho$ para cada esfera, es decir $n_1 x_P + n_2 y_P - c = (1 - h)\rho.$ Aquí $h \ne 1,$ pues de lo contrario el lado izquierdo sería constante mientras que los radios difieren. Así $\rho = g(P)$ para la función afín $g(x,y) = \frac{n_1 x + n_2 y - c}{1 - h}.$

Tome $A = (0,0),$ $B = (6,0),$ $C = (0,4).$ La función afín con $g(A) = 1,$ $g(B) = 2,$ $g(C) = 3$ es $g(x,y) = 1 + \frac{x}{6} + \frac{y}{2}.$ El baricentro es $G = \left(2, \frac{4}{3}\right),$ y la recta $BC$ es $2x + 3y = 12.$ Como $2 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{4}{3} - 12 = -4,$ la reflexión da $\begin{aligned} D &= G + \frac{8}{13}\,(2, 3) \\ &= \left(\frac{42}{13},\ \frac{124}{39}\right). \end{aligned}$

Por lo tanto $r = g(D)$ $= 1 + \frac{1}{6} \cdot \frac{42}{13}$ $+ \frac{1}{2} \cdot \frac{124}{39}$ $= 1 + \frac{21}{39} + \frac{62}{39}$ $= \frac{122}{39}.$ (Tal plano existe: la condición sobre la normal $(1-h)^2\left|\nabla g\right|^2 = 1 - h^2$ con $\left|\nabla g\right|^2 = \frac{5}{18}$ da $h = -\frac{13}{23}.$ ) Como $\gcd(122, 39) = 1,$ la respuesta es $122 + 39 = 161.$

A sphere of radius $\rho$ tangent to $\mathcal{P}$ at $P$ has center $P + \rho k,$ where $k$ is the upward unit normal of $\mathcal{P}.$ Write $\mathcal{T}$ as $\{x : n \cdot x = c\}$ with unit normal $n = (n_1, n_2, h)$ in coordinates where $\mathcal{P}$ is the $xy$ -plane. Tangency with all spheres on the same side means $n \cdot (P + \rho k) - c = \rho$ for each sphere, that is $n_1 x_P + n_2 y_P - c = (1 - h)\rho.$ Here $h \ne 1,$ since otherwise the left side would be constant while the radii differ. So $\rho = g(P)$ for the affine function $g(x,y) = \frac{n_1 x + n_2 y - c}{1 - h}.$

Take $A = (0,0),$ $B = (6,0),$ $C = (0,4).$ The affine function with $g(A) = 1,$ $g(B) = 2,$ $g(C) = 3$ is $g(x,y) = 1 + \frac{x}{6} + \frac{y}{2}.$ The centroid is $G = \left(2, \frac{4}{3}\right),$ and line $BC$ is $2x + 3y = 12.$ Since $2 \cdot 2 + 3 \cdot \frac{4}{3} - 12 = -4,$ reflecting gives $\begin{aligned} D &= G + \frac{8}{13}\,(2, 3) \\ &= \left(\frac{42}{13},\ \frac{124}{39}\right). \end{aligned}$

Therefore $r = g(D)$ $= 1 + \frac{1}{6} \cdot \frac{42}{13}$ $+ \frac{1}{2} \cdot \frac{124}{39}$ $= 1 + \frac{21}{39} + \frac{62}{39}$ $= \frac{122}{39}.$ (Such a plane exists: the normal condition $(1-h)^2\left|\nabla g\right|^2 = 1 - h^2$ with $\left|\nabla g\right|^2 = \frac{5}{18}$ gives $h = -\frac{13}{23}.$ ) Since $\gcd(122, 39) = 1,$ the answer is $122 + 39 = 161.$

13.

Para cada entero no negativo $r$ menor que $502,$ defina $S_r = \sum_{m \ge 0} \binom{10{,}000}{502m + r},$ donde $\binom{10{,}000}{n}$ se define como $0$ cuando $n \gt 10{,}000.$ Es decir, $S_r$ es la suma de todos los coeficientes binomiales de la forma $\binom{10{,}000}{k}$ para los cuales $0 \le k \le 10{,}000$ y $k - r$ es múltiplo de $502.$

Halle el número de enteros en la lista $S_0,$ $S_1,$ $S_2,$ $\ldots,$ $S_{501}$ que son múltiplos del número primo $503.$

For each nonnegative integer $r$ less than $502$ define $S_r = \sum_{m \ge 0} \binom{10{,}000}{502m + r},$ where $\binom{10{,}000}{n}$ is defined to be $0$ when $n \gt 10{,}000.$ That is, $S_r$ is the sum of all the binomial coefficients of the form $\binom{10{,}000}{k}$ for which $0 \le k \le 10{,}000$ and $k - r$ is a multiple of $502.$

Find the number of integers in the list $S_0,$ $S_1,$ $S_2,$ $\ldots,$ $S_{501}$ that are multiples of the prime number $503.$

Respuesta

Respuesta: 39

Conceptos:teorema del binomio aritmética modular polinomio

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Trabaje con $(1+x)^{10000}$ en $\mathbb{F}_{503}[x]$ módulo $x^{502} - 1,$ donde el coeficiente de $x^r$ se convierte exactamente en $S_r$

Work with $(1+x)^{10000}$ in $\mathbb{F}_{503}[x]$ modulo $x^{502} - 1,$ where the coefficient of $x^r$ becomes exactly $S_r$

Pista grande:

Use $(1+x)^{503} \equiv 1 + x^{503} \equiv 1 + x$ para colapsar $(1+x)^{10000}$ a una potencia de grado menor que $502$

Use $(1+x)^{503} \equiv 1 + x^{503} \equiv 1 + x$ to collapse $(1+x)^{10000}$ to a power of degree less than $502$

Solución:

Trabaje en el anillo $\frac{\mathbb{F}_{503}[x]}{x^{502} - 1}.$ Al reducir $(1 + x)^{10000} = \sum_k \binom{10000}{k} x^k$ se reemplaza cada exponente $k$ por $k \bmod 502,$ así que $\begin{aligned} &(1+x)^{10000} \equiv \sum_{r=0}^{501} S_r \, x^r \\ &\pmod{503,\ x^{502} - 1}. \end{aligned}$

Como $503$ es primo, $(1+x)^{503} \equiv$ $1 + x^{503} \pmod{503},$ y $x^{503} = x \cdot x^{502} \equiv x,$ así que $(1+x)^{503} \equiv 1 + x$ en este anillo. Escribiendo $10000 = 19 \cdot 503 + 443,$ $\begin{aligned} &(1+x)^{10000} \\ &= \left((1+x)^{503}\right)^{19} \\ &\quad {}\cdot (1+x)^{443} \\ &\equiv (1+x)^{19} \\ &\quad {}\cdot (1+x)^{443} \\ &= (1+x)^{462}. \end{aligned}$ Como $462 \lt 502,$ ningún exponente se pliega, así que $S_r \equiv \binom{462}{r} \pmod{503}$ para $0 \le r \le 501,$ donde $\binom{462}{r} = 0$ para $r \gt 462.$

Para $0 \le r \le 462$ el coeficiente binomial $\binom{462}{r}$ no es divisible por $503:$ tanto $462$ como $r$ son dígitos únicos en base $503,$ así que el teorema de Lucas da un valor no nulo (de hecho $\binom{462}{r} = \frac{462!}{r!\,(462-r)!}$ no involucra ningún factor de $503$ ). Por lo tanto $S_r \equiv 0 \pmod{503}$ exactamente para $r = 463, 464, \ldots, 501,$ que son $501 - 463 + 1 = 39$ valores.

Work in the ring $\frac{\mathbb{F}_{503}[x]}{x^{502} - 1}.$ Reducing $(1 + x)^{10000} = \sum_k \binom{10000}{k} x^k$ replaces each exponent $k$ by $k \bmod 502,$ so $\begin{aligned} &(1+x)^{10000} \equiv \sum_{r=0}^{501} S_r \, x^r \\ &\pmod{503,\ x^{502} - 1}. \end{aligned}$

Since $503$ is prime, $(1+x)^{503} \equiv$ $1 + x^{503} \pmod{503},$ and $x^{503} = x \cdot x^{502} \equiv x,$ so $(1+x)^{503} \equiv 1 + x$ in this ring. Writing $10000 = 19 \cdot 503 + 443,$ $\begin{aligned} &(1+x)^{10000} \\ &= \left((1+x)^{503}\right)^{19} \\ &\quad {}\cdot (1+x)^{443} \\ &\equiv (1+x)^{19} \\ &\quad {}\cdot (1+x)^{443} \\ &= (1+x)^{462}. \end{aligned}$ As $462 \lt 502,$ no exponents fold, so $S_r \equiv \binom{462}{r} \pmod{503}$ for $0 \le r \le 501,$ where $\binom{462}{r} = 0$ for $r \gt 462.$

For $0 \le r \le 462$ the binomial coefficient $\binom{462}{r}$ is not divisible by $503:$ both $462$ and $r$ are single digits in base $503,$ so Lucas’ theorem gives a nonzero value (indeed $\binom{462}{r} = \frac{462!}{r!\,(462-r)!}$ involves no factor of $503$ ). Hence $S_r \equiv 0 \pmod{503}$ exactly for $r = 463, 464, \ldots, 501,$ which is $501 - 463 + 1 = 39$ values.

14.

En un pentágono equiángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados es igual a $308,$ y la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales es igual a $800.$ El cuadrado del perímetro del pentágono puede expresarse como $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m + n.$

In an equiangular pentagon, the sum of the squares of the side lengths equals $308,$ and the sum of the squares of the diagonal lengths equals $800.$ The square of the perimeter of the pentagon can be expressed as $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 681

Conceptos:polígono equiángulo vector trigonometría manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Escriba los lados como vectores $s_k u_k$ con $u_k = (\cos 72k^\circ, \sin 72k^\circ)$ y suma nula; cada diagonal es la suma de dos vectores de lado consecutivos

Write the sides as vectors $s_k u_k$ with $u_k = (\cos 72k^\circ, \sin 72k^\circ)$ and vanishing sum; each diagonal is the sum of two consecutive side vectors

Pista grande:

Los datos de las diagonales dan $2\cos 72^\circ \sum s_k s_{k+1} = 184,$ y desarrollar $\left|\sum s_k u_k\right|^2 = 0$ entonces determina $\sum s_k s_{k+2}$

The diagonal data gives $2\cos 72^\circ \sum s_k s_{k+1} = 184,$ and expanding $\left|\sum s_k u_k\right|^2 = 0$ then determines $\sum s_k s_{k+2}$

Solución:

En un pentágono equiángulo cada dirección de lado gira el ángulo exterior $72^\circ,$ así que los lados son los vectores $s_k u_k$ para $k = 1, \ldots, 5,$ donde $u_k = (\cos 72k^\circ, \sin 72k^\circ)$ y $\sum_k s_k u_k = 0.$ Escriba $Q = \sum s_k^2 = 308,$ $P_1 = \sum_{k} s_k s_{k+1},$ y $P_2 = \sum_k s_k s_{k+2}$ (índices cíclicos). Cada diagonal es una suma de dos vectores de lado consecutivos, así que su cuadrado es $s_{k+1}^2 + s_{k+2}^2 + 2 s_{k+1} s_{k+2} \cos 72^\circ,$ y al sumar las cinco se obtiene $800 = 2Q + 2\cos 72^\circ \, P_1,$ de modo que $\begin{aligned} &2\cos 72^\circ \, P_1 = 800 - 616 \\ &= 184. \end{aligned}$

Desarrollando $\left|\sum_k s_k u_k\right|^2 = 0,$ el ángulo entre $u_k$ y $u_{k+1}$ es $72^\circ$ y entre $u_k$ y $u_{k+2}$ es $144^\circ:$ $\begin{aligned} &0 = Q + 2\cos 72^\circ \, P_1 \\ &\quad {}+ 2\cos 144^\circ \, P_2 \\ &= 308 + 184 - 2\cos 36^\circ \, P_2, \end{aligned}$ así que $2\cos 36^\circ \, P_2 = 492.$ Usando $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ y $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4},$ obtenemos $2P_1 = \frac{184}{\cos 72^\circ} = 184\left(\sqrt{5} + 1\right)$ y $2P_2 = \frac{492}{\cos 36^\circ} = 492\left(\sqrt{5} - 1\right).$

El cuadrado del perímetro es $\begin{aligned} &\left(\sum s_k\right)^2 = Q + 2P_1 + 2P_2 \\ &= 308 + 184\sqrt{5} + 184 \\ &\quad {}+ 492\sqrt{5} - 492 \\ &= 676\sqrt{5}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $m + n = 676 + 5 = 681.$

In an equiangular pentagon each side direction turns by the exterior angle $72^\circ,$ so the sides are the vectors $s_k u_k$ for $k = 1, \ldots, 5,$ where $u_k = (\cos 72k^\circ, \sin 72k^\circ)$ and $\sum_k s_k u_k = 0.$ Write $Q = \sum s_k^2 = 308,$ $P_1 = \sum_{k} s_k s_{k+1},$ and $P_2 = \sum_k s_k s_{k+2}$ (indices cyclic). Each diagonal is a sum of two consecutive side vectors, so its square is $s_{k+1}^2 + s_{k+2}^2 + 2 s_{k+1} s_{k+2} \cos 72^\circ,$ and summing all five gives $800 = 2Q + 2\cos 72^\circ \, P_1,$ so $\begin{aligned} &2\cos 72^\circ \, P_1 = 800 - 616 \\ &= 184. \end{aligned}$

Expanding $\left|\sum_k s_k u_k\right|^2 = 0,$ the angle between $u_k$ and $u_{k+1}$ is $72^\circ$ and between $u_k$ and $u_{k+2}$ is $144^\circ:$ $\begin{aligned} &0 = Q + 2\cos 72^\circ \, P_1 \\ &\quad {}+ 2\cos 144^\circ \, P_2 \\ &= 308 + 184 - 2\cos 36^\circ \, P_2, \end{aligned}$ so $2\cos 36^\circ \, P_2 = 492.$ Using $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ and $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4},$ we get $2P_1 = \frac{184}{\cos 72^\circ} = 184\left(\sqrt{5} + 1\right)$ and $2P_2 = \frac{492}{\cos 36^\circ} = 492\left(\sqrt{5} - 1\right).$

The square of the perimeter is $\begin{aligned} &\left(\sum s_k\right)^2 = Q + 2P_1 + 2P_2 \\ &= 308 + 184\sqrt{5} + 184 \\ &\quad {}+ 492\sqrt{5} - 492 \\ &= 676\sqrt{5}. \end{aligned}$ Therefore $m + n = 676 + 5 = 681.$

15.

Sean $a,$ $b,$ y $n$ enteros positivos con $a$ y $b$ ambos mayores o iguales que $2$ y menores o iguales que $2n.$ Defina un lazo de celdas $a \times b$ en una cuadrícula de $2n \times 2n$ celdas como las $2a + 2b - 4$ celdas que rodean un rectángulo de celdas $(a-2) \times (b-2)$ (posiblemente vacío) en la cuadrícula. Por ejemplo, el siguiente diagrama muestra una manera de partir una cuadrícula de $6 \times 6$ celdas en $4$ lazos de celdas.

Halle el número de maneras de partir una cuadrícula de $10 \times 10$ celdas en $5$ lazos de celdas de modo que cada celda de la cuadrícula pertenezca a exactamente un lazo de celdas.

Let $a,$ $b,$ and $n$ be positive integers with both $a$ and $b$ greater than or equal to $2$ and less than or equal to $2n.$ Define an $a \times b$ cell loop in a $2n \times 2n$ grid of cells to be the $2a + 2b - 4$ cells that surround an $(a-2) \times (b-2)$ (possibly empty) rectangle of cells in the grid. For example, the following diagram shows a way to partition a $6 \times 6$ grid of cells into $4$ cell loops.

Find the number of ways to partition a $10 \times 10$ grid of cells into $5$ cell loops so that every cell of the grid belongs to exactly one cell loop.

Respuesta

Respuesta: 83

Conceptos:teselado argumento extremal conteo recursivo

Nivel de dificultad: 3700

Pista pequeña:

El interior del rectángulo de cada lazo debe quedar exactamente lleno por otros lazos, y los tamaños de los lazos fuerzan $\sum (a_i + b_i) = 60.$ Estudie los rectángulos de los lazos más externos.

Every loop’s rectangle must have its inner rectangle exactly filled by other loops, and the loop sizes force $\sum (a_i + b_i) = 60.$ Study the rectangles of the outermost loops.

Pista grande:

Área y número de lazos fuerzan que los rectángulos más externos sean el cuadrado completo o losas paralelas de longitud completa y ancho par $w,$ cada una con exactamente $\frac{w}{2}$ lazos

Area and loop counts force the outermost rectangles to be the full square or parallel full-length slabs of even width $w,$ each using exactly $\frac{w}{2}$ loops

Solución:

Como los cinco lazos cubren $\sum \left(2(a_i + b_i) - 4\right) = 100$ celdas, $\sum (a_i + b_i) = 60.$ Cada lazo tiene un número par de celdas, así que ningún rectángulo impar por impar puede llenarse exactamente con lazos; y llenar un rectángulo cuyo lado par más corto es $e$ requiere al menos $\frac{e}{2}$ lazos, ya que quitar un lazo más externo acorta ese lado exactamente en $2$ mientras que dividir un rectángulo en otros más pequeños solo suma tales requisitos. Ahora considere los lazos más externos de una partición (aquellos cuyos rectángulos no están dentro del rectángulo de ningún otro lazo): sus rectángulos teselan el cuadrado $10 \times 10$ . Si el rectángulo más externo $R_i$ tiene lado par más corto $e_i,$ usa $n_i \ge \frac{e_i}{2}$ lazos y cubre a lo sumo $10\,e_i$ celdas. Sumando sobre la teselación, $100 \le \sum 10\,e_i \le 20 \sum n_i = 100,$ así que la igualdad se cumple en todo: cada $R_i$ abarca los $10$ completos en una dirección, tiene ancho par $e_i,$ y está lleno con exactamente $\frac{e_i}{2}$ lazos. Dos losas de longitud completa en direcciones diferentes se solaparían, así que los rectángulos más externos son el cuadrado entero o losas paralelas, y el mismo argumento de igualdad se repite dentro del rectángulo interior de cada lazo.

Sea $s(w)$ el número de maneras de llenar una losa de altura completa y ancho par $w$ con $\frac{w}{2}$ lazos, sujeto a que la frontera $10 \times w$ de la losa sea un lazo más externo. Una losa de ancho $2$ es un solo lazo: $s(2) = 1.$ Una losa de ancho $4$ es un lazo $10 \times 4$ alrededor de un lazo $8 \times 2$ : $s(4) = 1.$ Una losa de ancho $6$ es un lazo $10 \times 6$ alrededor de una región $8 \times 4$ que contiene dos lazos, ya sea anidados ( $8 \times 4$ alrededor de $6 \times 2$ ) o dos losas $8 \times 2$ , así que $s(6) = 2.$ Una losa de ancho $8$ rodea una región $8 \times 6$ que contiene tres lazos: un lazo $8 \times 6$ alrededor de una región $6 \times 4$ con dos lazos ( $2$ maneras como antes), o tiras de altura completa de anchos $2 + 2 + 2$ ( $1$ manera), o anchos $2 + 4$ en dos órdenes ( $2$ maneras), así que $s(8) = 5.$ La misma recursión cuenta el cuadrado completo: un lazo $10 \times 10$ alrededor de una región $8 \times 8$ con cuatro lazos, donde las regiones $4 \times 4,$ $6 \times 6,$ y $8 \times 8$ admiten $3,$ luego $3 + 3 + 3 = 9,$ luego $9 + 9 + 9 = 27$ llenados (un solo lazo anidado, tiras verticales, o tiras horizontales en cada etapa).

Finalmente, cuente las estructuras más externas. El único rectángulo $10 \times 10$ da $27$ particiones. Para losas paralelas, los anchos forman una composición de $10$ en partes pares con al menos dos partes, y las orientaciones (vertical u horizontal) duplican el conteo: $(2,2,2,2,2)$ da $1;$ $(4,2,2,2)$ en $4$ órdenes da $4;$ $(4,4,2)$ en $3$ órdenes da $3;$ $(6,2,2)$ en $3$ órdenes da $3 \cdot 2 = 6;$ $(6,4)$ en $2$ órdenes da $2 \cdot 2 = 4;$ y $(8,2)$ en $2$ órdenes da $2 \cdot 5 = 10,$ para $28$ por orientación. El total es $27 + 2 \cdot 28 = 83.$

Since the five loops cover $\sum \left(2(a_i + b_i) - 4\right) = 100$ cells, $\sum (a_i + b_i) = 60.$ Every loop has an even number of cells, so no odd-by-odd rectangle can be exactly filled by loops; and filling a rectangle whose shortest even side is $e$ requires at least $\frac{e}{2}$ loops, since peeling off an outermost loop shrinks that side by exactly $2$ while splitting a rectangle into smaller ones only adds up such requirements. Now consider the outermost loops of a partition (those whose rectangles lie inside no other loop’s rectangle): their rectangles tile the $10 \times 10$ square. If outermost rectangle $R_i$ has shortest even side $e_i,$ it uses $n_i \ge \frac{e_i}{2}$ loops and covers at most $10\,e_i$ cells. Summing over the tiling, $100 \le \sum 10\,e_i \le 20 \sum n_i = 100,$ so equality holds throughout: each $R_i$ spans the full $10$ in one direction, has even width $e_i,$ and is filled with exactly $\frac{e_i}{2}$ loops. Two full-length slabs in different directions would overlap, so the outermost rectangles are the whole square or parallel slabs, and the same equality argument repeats inside every loop’s inner rectangle.

Let $s(w)$ be the number of ways to fill a full-height slab of even width $w$ with $\frac{w}{2}$ loops, subject to the slab’s own $10 \times w$ boundary being one outermost loop. (A split into smaller outermost slabs is counted later instead.) A width- $2$ slab is a single loop: $s(2) = 1.$ A width- $4$ slab is a $10 \times 4$ loop around an $8 \times 2$ loop: $s(4) = 1.$ A width- $6$ slab is a $10 \times 6$ loop around an $8 \times 4$ region holding two loops — either nested ( $8 \times 4$ around $6 \times 2$ ) or two $8 \times 2$ slabs — so $s(6) = 2.$ A width- $8$ slab surrounds an $8 \times 6$ region holding three loops: an $8 \times 6$ loop around a $6 \times 4$ region with two loops ( $2$ ways as before), or full-height strips of widths $2 + 2 + 2$ ( $1$ way), or widths $2 + 4$ in two orders ( $2$ ways), so $s(8) = 5.$ The same recursion counts the full square: a $10 \times 10$ loop around an $8 \times 8$ region with four loops, where the $4 \times 4,$ $6 \times 6,$ and $8 \times 8$ regions admit $3,$ then $3 + 3 + 3 = 9,$ then $9 + 9 + 9 = 27$ fillings (single nested loop, vertical strips, or horizontal strips at each stage).

Finally, tally the outermost structures. The single $10 \times 10$ rectangle gives $27$ partitions. For parallel slabs, the widths form a composition of $10$ into even parts with at least two parts, and orientations (vertical or horizontal) double the count: $(2,2,2,2,2)$ gives $1;$ $(4,2,2,2)$ in $4$ orders gives $4;$ $(4,4,2)$ in $3$ orders gives $3;$ $(6,2,2)$ in $3$ orders gives $3 \cdot 2 = 6;$ $(6,4)$ in $2$ orders gives $2 \cdot 2 = 4;$ and $(8,2)$ in $2$ orders gives $2 \cdot 5 = 10,$ for $28$ per orientation. The total is $27 + 2 \cdot 28 = 83.$

Problemas del 2026 AIME I

Respuesta: 277

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 62

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

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Solución:

Respuesta: 79

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

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Respuesta: 70

Nivel de dificultad: 2300

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Respuesta: 65

Nivel de dificultad: 2400

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Solución:

Respuesta: 441

Nivel de dificultad: 2300

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Respuesta: 396

Nivel de dificultad: 2510

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Respuesta: 244

Nivel de dificultad: 2600

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Respuesta: 29

Nivel de dificultad: 2840

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Respuesta: 156

Nivel de dificultad: 2920

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Respuesta: 896

Nivel de dificultad: 3160

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Respuesta: 161

Nivel de dificultad: 3060

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Respuesta: 39

Nivel de dificultad: 3370

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Respuesta: 681

Nivel de dificultad: 3270

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Respuesta: 83

Nivel de dificultad: 3700

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