Question

Joanne tiene un dado justo de seis caras en blanco y seis calcomanías, cada una mostrando un entero diferente de $1$ a $6.$ Joanne lanza el dado y luego coloca la calcomanía etiquetada $1$ sobre la cara superior del dado. Luego lanza el dado de nuevo, coloca la calcomanía etiquetada $2$ sobre la cara superior, y continúa este proceso para colocar el resto de las calcomanías en orden. Si el dado alguna vez queda con una calcomanía ya sobre su cara superior, la nueva calcomanía se coloca cubriendo la antigua. Sea $p$ la probabilidad condicional de que al final del proceso exactamente una cara haya quedado en blanco, dado que todas las calcomanías de número par son visibles en las caras del dado. Entonces $p$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Joanne has a blank fair six-sided die and six stickers each displaying a different integer from $1$ to $6.$ Joanne rolls the die and then places the sticker labeled $1$ on the top face of the die. She then rolls the die again, places the sticker labeled $2$ on the top face, and continues this process to place the rest of the stickers in order. If the die ever lands with a sticker already on its top face, the new sticker is placed to cover the old sticker. Let $p$ be the conditional probability that at the end of the process exactly one face has been left blank, given that all the even-numbered stickers are visible on faces of the die. Then $p$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sean $f_1, \ldots, f_6$ las caras superiores lanzadas, independientes y uniformes sobre las seis caras. La calcomanía $i$ va en la cara $f_i$ y termina visible exactamente cuando $f_j \ne f_i$ para todo $j \gt i$ (la calcomanía $6$ siempre es visible). Así el evento condicionante es $f_3, f_4, f_5, f_6 \ne f_2$ y $f_5, f_6 \ne f_4.$ Contando las elecciones en el orden $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6$ se obtiene $6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 = 14400$ secuencias de $6^6.$

Una cara está en blanco exactamente cuando nunca aparece entre $f_1, \ldots, f_6,$ así que exactamente una cara en blanco significa que la secuencia toma exactamente $5$ valores distintos, es decir, hay exactamente una coincidencia $f_i = f_j$ con $i \lt j$ y todos los demás valores distintos. La coincidencia no debe violar el condicionamiento: los pares $(2, j)$ y $(4, 5),$ $(4, 6)$ están prohibidos, dejando los $9$ pares $(1,2),$ $(1,3),$ $(1,4),$ $(1,5),$ $(1,6),$ $(3,4),$ $(3,5),$ $(3,6),$ $(5,6).$ Para cada par permitido, los cinco valores distintos pueden asignarse de $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ maneras, y toda restricción se cumple automáticamente porque el único valor repetido ocupa un par permitido. Eso da $9 \cdot 720 = 6480$ secuencias.

Por lo tanto $p = \frac{6480}{14400} = \frac{9}{20},$ y $m + n = 9 + 20 = 29.$

Let $f_1, \ldots, f_6$ be the top faces rolled, independent and uniform over the six faces. Sticker $i$ goes on face $f_i$ and ends up visible exactly when $f_j \ne f_i$ for all $j \gt i$ (sticker $6$ is always visible). So the conditioning event is $f_3, f_4, f_5, f_6 \ne f_2$ and $f_5, f_6 \ne f_4.$ Counting choices in the order $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6$ gives $6 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 4 = 14400$ sequences out of $6^6.$

A face is blank exactly when it never appears among $f_1, \ldots, f_6,$ so exactly one blank face means the sequence takes exactly $5$ distinct values, i.e. there is exactly one coincidence $f_i = f_j$ with $i \lt j$ and all other values distinct. The coincidence must not violate the conditioning: pairs $(2, j)$ and $(4, 5),$ $(4, 6)$ are forbidden, leaving the $9$ pairs $(1,2),$ $(1,3),$ $(1,4),$ $(1,5),$ $(1,6),$ $(3,4),$ $(3,5),$ $(3,6),$ $(5,6).$ For each allowed pair, the five distinct values can be assigned in $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720$ ways, and every constraint holds automatically because the only repeated value occupies an allowed pair. That gives $9 \cdot 720 = 6480$ sequences.

Therefore $p = \frac{6480}{14400} = \frac{9}{20},$ and $m + n = 9 + 20 = 29.$

2026 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años