Question

Hay $n$ valores de $x$ en el intervalo $0 \lt x \lt 2\pi$ donde $f(x) = \sin(7\pi \cdot \sin(5x)) = 0.$ Para $t$ de estos $n$ valores de $x,$ la gráfica de $y = f(x)$ es tangente al eje $x$ . Halla $n + t.$

There are $n$ values of $x$ in the interval $0 \lt x \lt 2\pi$ where $f(x) = \sin(7\pi \cdot \sin(5x)) = 0.$ For $t$ of these $n$ values of $x,$ the graph of $y = f(x)$ is tangent to the $x$ -axis. Find $n + t.$

Respuesta

Solución:

$f(x) = 0$ exactamente cuando $7\pi \sin(5x)$ es un múltiplo de $\pi,$ es decir, $\sin(5x) = \frac{k}{7}$ para un entero $k$ con $|k| \le 7.$ Cuando $x$ recorre $(0, 2\pi),$ la cantidad $5x$ recorre $(0, 10\pi),$ cinco periodos completos. Para $k = 0,$ las soluciones son $5x = \pi, 2\pi, \ldots, 9\pi:$ $9$ valores. Para cada uno de los $12$ valores $k = \pm 1, \ldots, \pm 6,$ cada periodo aporta $2$ soluciones: $10$ valores cada uno. Para $k = \pm 7,$ necesitamos $\sin(5x) = \pm 1,$ lo que ocurre $5$ veces cada uno. Así que $n = 9 + 120 + 10 = 139.$

La gráfica es tangente al eje $x$ en un cero exactamente cuando $f'(x)$ $= 35\pi \cos(7\pi \sin(5x)) \cos(5x)$ $= 0$ allí. En cualquier cero, $\cos(7\pi \sin(5x)) = \cos(k\pi)$ $= \pm 1 \ne 0,$ así que la tangencia requiere $\cos(5x) = 0,$ lo que significa $\sin(5x) = \pm 1:$ exactamente los $10$ ceros con $k = \pm 7$ (allí $\sin(5x)$ tiene un extremo, así que $f$ toca sin cruzar). Por lo tanto $t = 10$ y $n + t = 149.$

$f(x) = 0$ exactly when $7\pi \sin(5x)$ is a multiple of $\pi,$ that is, $\sin(5x) = \frac{k}{7}$ for an integer $k$ with $|k| \le 7.$ As $x$ runs over $(0, 2\pi),$ the quantity $5x$ runs over $(0, 10\pi),$ five full periods. For $k = 0,$ the solutions are $5x = \pi, 2\pi, \ldots, 9\pi:$ $9$ values. For each of the $12$ values $k = \pm 1, \ldots, \pm 6,$ each period contributes $2$ solutions: $10$ values each. For $k = \pm 7,$ we need $\sin(5x) = \pm 1,$ which happens $5$ times each. So $n = 9 + 120 + 10 = 139.$

The graph is tangent to the $x$ -axis at a zero exactly when $f'(x)$ $= 35\pi \cos(7\pi \sin(5x)) \cos(5x)$ $= 0$ there. At any zero, $\cos(7\pi \sin(5x)) = \cos(k\pi)$ $= \pm 1 \ne 0,$ so tangency requires $\cos(5x) = 0,$ which means $\sin(5x) = \pm 1:$ exactly the $10$ zeros with $k = \pm 7$ (there $\sin(5x)$ has an extremum, so $f$ touches without crossing). Thus $t = 10$ and $n + t = 149.$

2025 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años