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1997 AIME Problema 9

Intenta el Problema 9 del 1997 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1997 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

Dado un número real no negativo x,x, sea ⟨x⟩\langle x\rangle la parte fraccionaria de x;x; es decir, ⟨x⟩=x−⌊x⌋,\langle x\rangle = x - \lfloor x\rfloor, donde ⌊x⌋\lfloor x\rfloor denota el mayor entero menor o igual que x.x. Supón que aa es positivo, ⟨a−1⟩=⟨a2⟩,\langle a^{-1}\rangle = \langle a^2\rangle, y 2<a2<3.2 \lt a^2 \lt 3. Halla el valor de a12−144a−1.a^{12} - 144a^{-1}.
Given a nonnegative real number x,x, let ⟨x⟩\langle x\rangle denote the fractional part of x;x; that is, ⟨x⟩=x−⌊x⌋,\langle x\rangle = x - \lfloor x\rfloor, where ⌊x⌋\lfloor x\rfloor denotes the greatest integer less than or equal to x.x. Suppose that aa is positive, ⟨a−1⟩=⟨a2⟩,\langle a^{-1}\rangle = \langle a^2\rangle, and 2<a2<3.2 \lt a^2 \lt 3. Find the value of a12−144a−1.a^{12} - 144a^{-1}.
Respuesta: 233
Conceptos:funciones piso y techofactorizaciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Como 2<a2<32 \lt a^2 \lt 3 y 0<a−1<1,0 \lt a^{-1} \lt 1, la condición dice que a−1=a2−2a^{-1} = a^2 - 2
Since 2<a2<32 \lt a^2 \lt 3 and 0<a−1<1,0 \lt a^{-1} \lt 1, the condition says a−1=a2−2a^{-1} = a^2 - 2
Pista grande:
La cúbica a3−2a−1=0a^3 - 2a - 1 = 0 se factoriza con raíz a=1+52;a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; usa a2=a+1a^2 = a + 1 repetidamente para reducir a12a^{12}
The cubic a3−2a−1=0a^3 - 2a - 1 = 0 factors with root a=1+52;a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}; use a2=a+1a^2 = a + 1 repeatedly to reduce a12a^{12}
Solución:
De 2<a2<32 \lt a^2 \lt 3 obtenemos 2<a<3,\sqrt{2} \lt a \lt \sqrt{3}, así que 0<a−1<10 \lt a^{-1} \lt 1 y ⟨a−1⟩=a−1,\langle a^{-1}\rangle = a^{-1}, mientras que ⟨a2⟩=a2−2.\langle a^2\rangle = a^2 - 2. La condición se convierte en a−1=a2−2,a^{-1} = a^2 - 2, es decir a3−2a−1=0,a^3 - 2a - 1 = 0, que se factoriza como (a+1)(a2−a−1)=0.(a + 1)(a^2 - a - 1) = 0. Como a>0,a \gt 0, obtenemos a=1+52,a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, la razón áurea, y en efecto a2=a+1≈2.618a^2 = a + 1 \approx 2.618 está en (2,3).(2, 3).
Usando a2=a+1a^2 = a + 1 repetidamente: a4=(a+1)2=3a+2,a^4 = (a+1)^2 = 3a + 2, a8=(3a+2)2a^8 = (3a+2)^2 =9(a+1)+12a+4= 9(a+1) + 12a + 4 =21a+13,= 21a + 13, y a12=a8a4a^{12} = a^8 a^4 =(21a+13)(3a+2)= (21a + 13)(3a + 2) =63(a+1)+81a+26= 63(a+1) + 81a + 26 =144a+89.= 144a + 89. También a−1=a−1a^{-1} = a - 1 a partir de a2=a+1.a^2 = a + 1.
Por lo tanto a12−144a−1a^{12} - 144a^{-1} =144a+89−144(a−1)= 144a + 89 - 144(a - 1) =89+144=233.= 89 + 144 = 233.
From 2<a2<32 \lt a^2 \lt 3 we get 2<a<3,\sqrt{2} \lt a \lt \sqrt{3}, so 0<a−1<10 \lt a^{-1} \lt 1 and ⟨a−1⟩=a−1,\langle a^{-1}\rangle = a^{-1}, while ⟨a2⟩=a2−2.\langle a^2\rangle = a^2 - 2. The condition becomes a−1=a2−2,a^{-1} = a^2 - 2, i.e. a3−2a−1=0,a^3 - 2a - 1 = 0, which factors as (a+1)(a2−a−1)=0.(a + 1)(a^2 - a - 1) = 0. Since a>0,a \gt 0, we get a=1+52,a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, the golden ratio, and indeed a2=a+1≈2.618a^2 = a + 1 \approx 2.618 lies in (2,3).(2, 3).
Using a2=a+1a^2 = a + 1 repeatedly: a4=(a+1)2=3a+2,a^4 = (a+1)^2 = 3a + 2, a8=(3a+2)2a^8 = (3a+2)^2 =9(a+1)+12a+4= 9(a+1) + 12a + 4 =21a+13,= 21a + 13, and a12=a8a4a^{12} = a^8 a^4 =(21a+13)(3a+2)= (21a + 13)(3a + 2) =63(a+1)+81a+26= 63(a+1) + 81a + 26 =144a+89.= 144a + 89. Also a−1=a−1a^{-1} = a - 1 from a2=a+1.a^2 = a + 1.
Therefore a12−144a−1a^{12} - 144a^{-1} =144a+89−144(a−1)= 144a + 89 - 144(a - 1) =89+144=233.= 89 + 144 = 233.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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