Question

Sean $x,$ $y,$ y $z$ números reales positivos que satisfacen $\begin{aligned} 2\log_{x}(2y) &= 2\log_{2x}(4z) \\ &= \log_{2x^4}(8yz) \ne 0. \end{aligned}$ El valor de $xy^5z$ puede expresarse en la forma $\frac{1}{2^{\frac{p}{q}}},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ be positive real numbers that satisfy $\begin{aligned} 2\log_{x}(2y) &= 2\log_{2x}(4z) \\ &= \log_{2x^4}(8yz) \ne 0. \end{aligned}$ The value of $xy^5z$ can be expressed in the form $\frac{1}{2^{\frac{p}{q}}},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 49

Conceptos:logaritmo exponente sustitución

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pon $x = 2^a,$ $y = 2^b,$ $z = 2^c$ para que cada logaritmo se convierta en un cociente de expresiones lineales en los exponentes

Set $x = 2^a,$ $y = 2^b,$ $z = 2^c$ so each logarithm becomes a ratio of linear expressions in the exponents

Pista grande:

Si dos cocientes son iguales, también son iguales al cociente entre la suma de sus numeradores y la suma de sus denominadores: $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_1 + u_2}{v_1 + v_2}.$ Compara eso con el tercer cociente para determinar $a.$

Equal ratios also equal their mediant: $\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} = \frac{u_1 + u_2}{v_1 + v_2}.$ Compare that with the third ratio to pin down $a.$

Solución:

Escribe $x = 2^a,$ $y = 2^b,$ $z = 2^c.$ Entonces $\log_x(2y) = \frac{b + 1}{a},$ $\log_{2x}(4z) = \frac{c + 2}{a + 1},$ y $\log_{2x^4}(8yz) = \frac{b + c + 3}{4a + 1},$ así que la condición es $\begin{aligned} \frac{2(b + 1)}{a} &= \frac{2(c + 2)}{a + 1} \\ &= \frac{b + c + 3}{4a + 1} \ne 0. \end{aligned}$

De las dos primeras, $\frac{b + 1}{a} = \frac{c + 2}{a + 1},$ y los cocientes iguales también son iguales al cociente $\frac{b + c + 3}{2a + 1}$ entre la suma de sus numeradores y la suma de sus denominadores. Comparando con la tercera expresión se obtiene $\frac{2(b + c + 3)}{2a + 1} = \frac{b + c + 3}{4a + 1}.$ El valor común es distinto de cero, así que $b + c + 3 \ne 0,$ y por lo tanto $2(4a + 1) = 2a + 1,$ lo que da $a = -\frac{1}{6}.$ Entonces $\frac{b + 1}{-\frac{1}{6}} = \frac{c + 2}{\frac{5}{6}}$ implica $c + 2 = -5(b + 1),$ es decir, $5b + c = -7.$

Por lo tanto $xy^5z = 2^{a + 5b + c} = 2^{-\frac{1}{6} - 7} = \frac{1}{2^{\frac{43}{6}}},$ así que $p + q = 43 + 6 = 49.$

Write $x = 2^a,$ $y = 2^b,$ $z = 2^c.$ Then $\log_x(2y) = \frac{b + 1}{a},$ $\log_{2x}(4z) = \frac{c + 2}{a + 1},$ and $\log_{2x^4}(8yz) = \frac{b + c + 3}{4a + 1},$ so the condition is $\begin{aligned} \frac{2(b + 1)}{a} &= \frac{2(c + 2)}{a + 1} \\ &= \frac{b + c + 3}{4a + 1} \ne 0. \end{aligned}$

From the first two, $\frac{b + 1}{a} = \frac{c + 2}{a + 1},$ and equal ratios also equal their mediant $\frac{b + c + 3}{2a + 1}.$ Comparing with the third expression gives $\frac{2(b + c + 3)}{2a + 1} = \frac{b + c + 3}{4a + 1}.$ The common value is nonzero, so $b + c + 3 \ne 0,$ and thus $2(4a + 1) = 2a + 1,$ giving $a = -\frac{1}{6}.$ Then $\frac{b + 1}{-\frac{1}{6}} = \frac{c + 2}{\frac{5}{6}}$ yields $c + 2 = -5(b + 1),$ that is, $5b + c = -7.$

Therefore $xy^5z = 2^{a + 5b + c} = 2^{-\frac{1}{6} - 7} = \frac{1}{2^{\frac{43}{6}}},$ so $p + q = 43 + 6 = 49.$

2012 AIME I Problema 9

Respuesta: 49

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años