Soluciones del 2012 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halla el número de enteros positivos de tres dígitos, no necesariamente distintos, $abc,$ con $a \ne 0$ y $c \ne 0$ , tales que tanto $abc$ como $cba$ sean múltiplos de $4.$

Find the number of positive integers with three not necessarily distinct digits, $abc,$ with $a \ne 0$ and $c \ne 0$ such that both $abc$ and $cba$ are multiples of $4.$

Respuesta

Conceptos:divisibilidad dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Un entero es múltiplo de $4$ exactamente cuando sus dos últimos dígitos forman un múltiplo de $4,$ así que necesitamos $4 \mid 10b + c$ y $4 \mid 10b + a.$ En particular, $a$ y $c$ son pares, y al restar las dos condiciones se obtiene $4 \mid a - c.$ Los dígitos pares no nulos se dividen según su residuo módulo $4$ en $\{2, 6\}$ y $\{4, 8\},$ así que $a$ y $c$ deben provenir del mismo conjunto: $4$ pares ordenados $(a, c)$ de cada uno.

Si $c \equiv 2 \pmod 4,$ entonces $10b + c \equiv 2b + 2 \pmod 4$ exige que $b$ sea impar ( $5$ opciones), y la condición sobre $10b + a$ se cumple automáticamente ya que $a \equiv c \pmod 4.$ Si $c \equiv 0 \pmod 4,$ entonces $b$ debe ser par ( $5$ opciones).

El total es $4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 40.$

An integer is a multiple of $4$ exactly when its last two digits form a multiple of $4,$ so we need $4 \mid 10b + c$ and $4 \mid 10b + a.$ In particular $a$ and $c$ are even, and subtracting the two conditions shows $4 \mid a - c.$ The even nonzero digits split by remainder mod $4$ into $\{2, 6\}$ and $\{4, 8\},$ so $a$ and $c$ must both come from the same one of these sets: $4$ ordered pairs $(a, c)$ from each.

If $c \equiv 2 \pmod 4,$ then $10b + c \equiv 2b + 2 \pmod 4$ requires $b$ odd ( $5$ choices), and the condition on $10b + a$ holds automatically since $a \equiv c \pmod 4.$ If $c \equiv 0 \pmod 4,$ then $b$ must be even ( $5$ choices).

The count is $4 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 40.$

2.

Los términos de una progresión aritmética suman $715.$ El primer término de la progresión se incrementa en $1,$ el segundo término se incrementa en $3,$ el tercer término se incrementa en $5,$ y, en general, el $k$ -ésimo término se incrementa en el $k$ -ésimo entero positivo impar. Los términos de la nueva progresión suman $836.$ Halla la suma del primer término, el último y el término central de la progresión original.

The terms of an arithmetic sequence add to $715.$ The first term of the sequence is increased by $1,$ the second term is increased by $3,$ the third term is increased by $5,$ and in general, the $k$ th term is increased by the $k$ th odd positive integer. The terms of the new sequence add to $836.$ Find the sum of the first, last, and middle terms of the original sequence.

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética suma de los primeros n números impares media

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Si la progresión tiene $n$ términos, las cantidades añadidas son los primeros $n$ números impares, cuya suma es $n^2.$ Por lo tanto $n^2 = 836 - 715 = 121,$ así que $n = 11.$

El promedio de los $11$ términos es $\frac{715}{11} = 65,$ que coincide con el término central (el sexto) de la progresión aritmética. El primero y el último también promedian $65,$ así que suman $130.$

La suma pedida es $65 + 130 = 195.$

If the sequence has $n$ terms, the amounts added are the first $n$ odd numbers, whose sum is $n^2.$ Thus $n^2 = 836 - 715 = 121,$ so $n = 11.$

The average of the $11$ terms is $\frac{715}{11} = 65,$ which equals the middle (sixth) term of the arithmetic sequence. The first and last terms also average to $65,$ so they add to $130.$

The requested sum is $65 + 130 = 195.$

3.

Nueve personas se sientan a cenar y hay tres opciones de comida. Tres personas piden el plato de res, tres piden el plato de pollo y tres piden el plato de pescado. El camarero sirve los nueve platos en orden aleatorio. Halla el número de maneras en que el camarero podría servir los tipos de plato a las nueve personas de modo que exactamente una persona reciba el tipo de plato que pidió.

Nine people sit down for dinner where there are three choices of meals. Three people order the beef meal, three order the chicken meal, and three order the fish meal. The waiter serves the nine meals in random order. Find the number of ways in which the waiter could serve the meal types to the nine people so that exactly one person receives the type of meal ordered by that person.

Respuesta

Conceptos:desarreglos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Elige a la única persona servida correctamente ( $9$ maneras); por simetría, supongamos que pidió res. Los platos restantes, $2$ de res, $3$ de pollo y $3$ de pescado, deben ir a las otras $8$ personas ( $2$ que pidieron res, $3$ pollo y $3$ pescado) sin que nadie coincida. Sigue a dónde van los $2$ platos de res sobrantes: a quienes pidieron pollo o pescado.

Si ambos van al mismo grupo, digamos a dos de los tres que pidieron pollo ( $3 + 3 = 6$ maneras contando ambos grupos), entonces el tercer comensal de pollo debe recibir pescado, los tres de pescado deben tomar los tres platos de pollo, y los dos de res toman el pescado restante: todo queda forzado. Si uno va a un comensal de pollo y otro a uno de pescado ( $3 \cdot 3 = 9$ maneras), los otros dos de pollo deben tomar pescado y los otros dos de pescado deben tomar pollo, dejando un plato de pollo y uno de pescado para repartir entre los dos comensales de res ( $2$ maneras).

El total es $9\,(6 + 9 \cdot 2) = 216.$

Choose the one person served correctly ( $9$ ways); by symmetry say they ordered beef. The remaining meals — $2$ beef, $3$ chicken, and $3$ fish — must go to the other $8$ people ( $2$ beef, $3$ chicken, and $3$ fish orderers) with nobody matched. Track where the $2$ leftover beef meals go: to chicken or fish orderers.

If both go to the same group, say to two of the three chicken orderers ( $3 + 3 = 6$ ways counting both groups), then the third chicken orderer must receive fish, the three fish orderers must take the three chicken meals, and the two beef orderers take the remaining fish: everything is forced. If one goes to a chicken orderer and one to a fish orderer ( $3 \cdot 3 = 9$ ways), the other two chicken orderers must take fish and the other two fish orderers must take chicken, leaving one chicken and one fish meal to split between the two beef orderers ( $2$ ways).

The total is $9\,(6 + 9 \cdot 2) = 216.$

4.

Butch y Sundance necesitan salir de Dodge. Para avanzar lo más rápido posible, cada uno alterna caminar y montar su único caballo, Sparky, de la siguiente manera. Butch empieza caminando mientras Sundance monta. Cuando Sundance llega al primero de los postes de amarre, convenientemente ubicados a intervalos de una milla a lo largo de su ruta, ata a Sparky al poste y empieza a caminar. Cuando Butch alcanza a Sparky, monta hasta que rebasa a Sundance, luego deja a Sparky en el siguiente poste de amarre y reanuda la caminata, y continúan de esta manera. Sparky, Butch y Sundance caminan a $6,$ $4,$ y $2.5$ millas por hora, respectivamente. La primera vez que Butch y Sundance se encuentran en un poste kilométrico, están a $n$ millas de Dodge, y han estado viajando durante $t$ minutos. Halla $n + t.$

Butch and Sundance need to get out of Dodge. To travel as quickly as possible, each alternates walking and riding their only horse, Sparky, as follows. Butch begins by walking while Sundance rides. When Sundance reaches the first of the hitching posts that are conveniently located at one-mile intervals along their route, he ties Sparky to the post and begins walking. When Butch reaches Sparky, he rides until he passes Sundance, then leaves Sparky at the next hitching post and resumes walking, and they continue in this manner. Sparky, Butch, and Sundance walk at $6,$ $4,$ and $2.5$ miles per hour, respectively. The first time Butch and Sundance meet at a milepost, they are $n$ miles from Dodge, and they have been traveling for $t$ minutes. Find $n + t.$

Respuesta

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2460

Solución:

Caminar una milla le toma a Sparky $10$ minutos, a Butch $15,$ y a Sundance $24.$ El caballo avanza por la misma ruta que los hombres y en cada milla lo monta exactamente uno de ellos, así que si Butch camina $x$ de las $n$ millas y monta las otras $n - x,$ entonces Sundance monta esas $x$ millas y camina las restantes $n - x.$

Cuando se encuentran en un poste kilométrico, han estado viajando durante el mismo tiempo, así que $\begin{aligned} &15x + 10(n - x) \\ &= 10x + 24(n - x), \end{aligned}$ lo cual se simplifica a $19x = 14n.$ Como los relevos ocurren en los postes, $x$ y $n$ son enteros, y la menor solución positiva es $x = 14,$ $n = 19.$

Entonces $t = 15 \cdot 14 + 10 \cdot 5 = 260$ minutos, así que $n + t = 19 + 260 = 279.$

Walking a mile takes Sparky $10$ minutes, Butch $15,$ and Sundance $24.$ The horse advances along the same route as the men and is ridden over each mile by exactly one of them, so if Butch walks $x$ of the $n$ miles and rides the other $n - x,$ then Sundance rides those $x$ miles and walks the remaining $n - x.$

When they meet at a milepost they have been traveling for the same amount of time, so $\begin{aligned} &15x + 10(n - x) \\ &= 10x + 24(n - x), \end{aligned}$ which simplifies to $19x = 14n.$ Since the handoffs happen at mileposts, $x$ and $n$ are integers, and the smallest positive solution is $x = 14,$ $n = 19.$

Then $t = 15 \cdot 14 + 10 \cdot 5 = 260$ minutes, so $n + t = 19 + 260 = 279.$

5.

Sea $B$ el conjunto de todos los enteros binarios que pueden escribirse usando exactamente $5$ ceros y $8$ unos, donde se permiten ceros a la izquierda. Si se realizan todas las restas posibles en las que un elemento de $B$ se resta de otro, halla el número de veces que se obtiene el resultado $1$ .

Let $B$ be the set of all binary integers that can be written using exactly $5$ zeros and $8$ ones where leading zeros are allowed. If all possible subtractions are performed in which one element of $B$ is subtracted from another, find the number of times the answer $1$ is obtained.

Respuesta

Conceptos:base numérica combinaciones

Nivel de dificultad: 2460

Solución:

Debemos contar los pares de elementos de $B$ que difieren en $1,$ digamos $m$ y $m + 1.$ Sumar $1$ a un número binario convierte su bloque final $011\cdots1$ (un cero seguido de $k$ unos) en $100\cdots0,$ cambiando el número de unos en $1 - k.$ Ambos números tienen exactamente ocho unos precisamente cuando $k = 1:$ $m$ termina en $01,$ $m + 1$ termina en $10,$ y los dos números coinciden en todo lo demás.

Los primeros once dígitos comunes constan entonces de los siete unos y cuatro ceros restantes, y como se permiten ceros a la izquierda, cada disposición da un par válido: $\binom{11}{4} = 330.$ Cada par produce el resultado $1$ exactamente una vez, así que el total es $330.$

We must count pairs of elements of $B$ differing by $1,$ say $m$ and $m + 1.$ Adding $1$ to a binary number turns its trailing block $011\cdots1$ (a zero followed by $k$ ones) into $100\cdots0,$ changing the number of ones by $1 - k.$ Both numbers have exactly eight ones precisely when $k = 1:$ $m$ ends in $01,$ $m + 1$ ends in $10,$ and the two numbers agree everywhere else.

The shared first eleven digits then consist of the remaining seven ones and four zeros, and since leading zeros are allowed, every arrangement gives a valid pair: $\binom{11}{4} = 330.$ Each pair produces the answer $1$ exactly once, so the count is $330.$

6.

Los números complejos $z$ y $w$ satisfacen $z^{13} = w,$ $w^{11} = z,$ y la parte imaginaria de $z$ es $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ para enteros positivos primos entre sí $m$ y $n$ con $m \lt n.$ Halla $n.$

The complex numbers $z$ and $w$ satisfy $z^{13} = w,$ $w^{11} = z,$ and the imaginary part of $z$ is $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ for relatively prime positive integers $m$ and $n$ with $m \lt n.$ Find $n.$

Respuesta

Conceptos:raíces de la unidad número complejo

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Sustituyendo, $z = w^{11} = (z^{13})^{11} = z^{143},$ y $z \ne 0,$ así que $z^{142} = 1.$ Recíprocamente, cualquier raíz $142$ -ésima de la unidad $z$ funciona con $w = z^{13},$ ya que entonces $w^{11} = z^{143} = z.$

Por lo tanto $z = \cos\frac{2k\pi}{142} + i\sin\frac{2k\pi}{142}$ para algún entero $k,$ y la parte imaginaria de $z$ es $\sin\frac{k\pi}{71}.$ Como $71$ es primo, para cada $k$ con $1 \le k \le 70$ la fracción $\frac{k}{71}$ ya está en su forma más simple, coincidiendo con la forma requerida $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ con $m \lt n.$ Así, $n = 71.$

Substituting, $z = w^{11} = (z^{13})^{11} = z^{143},$ and $z \ne 0,$ so $z^{142} = 1.$ Conversely, any $142$ nd root of unity $z$ works with $w = z^{13},$ since then $w^{11} = z^{143} = z.$

Hence $z = \cos\frac{2k\pi}{142} + i\sin\frac{2k\pi}{142}$ for some integer $k,$ and the imaginary part of $z$ is $\sin\frac{k\pi}{71}.$ Since $71$ is prime, for every $k$ with $1 \le k \le 70$ the fraction $\frac{k}{71}$ is already in lowest terms, matching the required form $\sin\left(\frac{m\pi}{n}\right)$ with $m \lt n.$ Thus $n = 71.$

7.

En cada uno de los dieciséis círculos de la red de abajo hay un estudiante. Un total de $3360$ monedas se reparten entre los dieciséis estudiantes. Todos a la vez, todos los estudiantes regalan todas sus monedas repartiendo un número igual de monedas a cada uno de sus vecinos en la red. Después del intercambio, todos los estudiantes tienen el mismo número de monedas con el que empezaron. Halla el número de monedas que tenía originalmente el estudiante situado en el círculo central.

At each of the sixteen circles in the network below stands a student. A total of $3360$ coins are distributed among the sixteen students. All at once, all students give away all their coins by passing an equal number of coins to each of their neighbors in the network. After the trade, all students have the same number of coins as they started with. Find the number of coins the student standing at the center circle had originally.

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones simetría

Nivel de dificultad: 2600

Solución:

Agrupa los dieciséis círculos en anillos: el centro, el anillo interno de cinco, el anillo intermedio de cinco y el anillo externo de cinco, que contienen en total $p,$ $q,$ $r,$ y $s$ monedas, respectivamente. El centro tiene $5$ vecinos (el anillo interno); cada estudiante interno tiene $3$ (el centro y dos estudiantes intermedios); cada estudiante intermedio tiene $4$ (dos internos y dos externos); cada estudiante externo tiene $4$ (dos intermedios y dos externos). Un estudiante con $k$ vecinos envía $\frac{1}{k}$ de sus monedas a cada vecino.

Sumando los intercambios en cada anillo (por ejemplo, el anillo externo recibe un cuarto de las monedas de cada estudiante intermedio dos veces, lo que totaliza $\frac{r}{2}$ ) se obtiene $\begin{aligned} p &= \frac{q}{3}, \\ q &= p + \frac{r}{2}, \\ r &= \frac{2q}{3} + \frac{s}{2}, \\ s &= \frac{r}{2} + \frac{s}{2}. \end{aligned}$

La primera ecuación da $q = 3p,$ la segunda da entonces $r = 2(q - p) = 4p,$ y la última da $s = r = 4p.$ El total es $p + 3p + 4p + 4p = 12p = 3360,$ así que el estudiante del centro tenía $p = 280$ monedas.

Group the sixteen circles into rings: the center, the inner ring of five, the middle ring of five, and the outer ring of five, holding $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ coins in total, respectively. The center has $5$ neighbors (the inner ring); each inner student has $3$ (the center and two middle students); each middle student has $4$ (two inner and two outer); each outer student has $4$ (two middle and two outer). A student with $k$ neighbors sends $\frac{1}{k}$ of their coins to each neighbor.

Summing the trades over each ring (for example, the outer ring receives a quarter of each middle student's coins twice over, which totals $\frac{r}{2}$ ) gives $\begin{aligned} p &= \frac{q}{3}, \\ q &= p + \frac{r}{2}, \\ r &= \frac{2q}{3} + \frac{s}{2}, \\ s &= \frac{r}{2} + \frac{s}{2}. \end{aligned}$

The first equation gives $q = 3p,$ the second then gives $r = 2(q - p) = 4p,$ and the last gives $s = r = 4p.$ The total is $p + 3p + 4p + 4p = 12p = 3360,$ so the center student had $p = 280$ coins.

8.

El cubo $ABCDEFGH,$ etiquetado como se muestra abajo, tiene arista de longitud $1$ y es cortado por un plano que pasa por el vértice $D$ y los puntos medios $M$ y $N$ de $\overline{AB}$ y $\overline{CG},$ respectivamente. El plano divide el cubo en dos sólidos. El volumen del mayor de los dos sólidos puede escribirse en la forma $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Cube $ABCDEFGH,$ labeled as shown below, has edge length $1$ and is cut by a plane passing through vertex $D$ and the midpoints $M$ and $N$ of $\overline{AB}$ and $\overline{CG},$ respectively. The plane divides the cube into two solids. The volume of the larger of the two solids can be written in the form $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:geometría del cubo volumen pirámide semejanza

Nivel de dificultad: 2740

Solución:

Extiende el plano de corte. En la cara inferior, la recta $DM$ corta la recta $CB$ prolongada más allá de $B$ en un punto $K;$ como $MB \parallel DC$ y $MB = \frac{1}{2}DC,$ el segmento $MB$ es una paralela media del triángulo $KDC,$ así que $B$ es el punto medio de $\overline{CK}$ y $CK = 2.$ El plano también corta la arista $BF$ en un punto $P,$ y la parte del cubo separada más allá del plano es la pirámide $KDCN$ con la pequeña pirámide $KMBP$ recortada.

La pirámide $KDCN$ tiene base $DCN,$ un triángulo rectángulo con catetos $DC = 1$ y $CN = \frac{1}{2},$ y su ápice $K$ está a distancia $CK = 2$ del plano de esa base, así que su volumen es $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{6}.$ La pirámide $KMBP$ es semejante a $KDCN$ con razón $\frac{KB}{KC} = \frac{1}{2},$ así que su volumen es $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{48}.$

La pieza más pequeña tiene entonces volumen $\frac{1}{6} - \frac{1}{48} = \frac{7}{48},$ y la pieza más grande tiene volumen $1 - \frac{7}{48} = \frac{41}{48},$ lo que da $p + q = 41 + 48 = 89.$

Extend the cutting plane. In the bottom face, line $DM$ meets line $CB$ extended beyond $B$ at a point $K;$ since $MB \parallel DC$ and $MB = \frac{1}{2}DC,$ segment $MB$ is a midline of triangle $KDC,$ so $B$ is the midpoint of $\overline{CK}$ and $CK = 2.$ The plane also cuts edge $BF$ at a point $P,$ and the piece of the cube cut off past the plane is the pyramid $KDCN$ with the small pyramid $KMBP$ sliced away.

Pyramid $KDCN$ has base $DCN,$ a right triangle with legs $DC = 1$ and $CN = \frac{1}{2},$ and its apex $K$ is at distance $CK = 2$ from the plane of that base, so its volume is $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{6}.$ Pyramid $KMBP$ is similar to $KDCN$ with ratio $\frac{KB}{KC} = \frac{1}{2},$ so its volume is $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{48}.$

The smaller piece therefore has volume $\frac{1}{6} - \frac{1}{48} = \frac{7}{48},$ and the larger piece has volume $1 - \frac{7}{48} = \frac{41}{48},$ giving $p + q = 41 + 48 = 89.$

9.

Sean $x,$ $y,$ y $z$ números reales positivos que satisfacen $\begin{aligned} 2\log_{x}(2y) &= 2\log_{2x}(4z) \\ &= \log_{2x^4}(8yz) \ne 0. \end{aligned}$ El valor de $xy^5z$ puede expresarse en la forma $\frac{1}{2^{p/q}},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ be positive real numbers that satisfy $\begin{aligned} 2\log_{x}(2y) &= 2\log_{2x}(4z) \\ &= \log_{2x^4}(8yz) \ne 0. \end{aligned}$ The value of $xy^5z$ can be expressed in the form $\frac{1}{2^{p/q}},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo exponente sustitución

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Escribe $x = 2^a,$ $y = 2^b,$ $z = 2^c.$ Entonces $\log_x(2y) = \frac{b + 1}{a},$ $\log_{2x}(4z) = \frac{c + 2}{a + 1},$ y $\log_{2x^4}(8yz) = \frac{b + c + 3}{4a + 1},$ así que la condición es $\begin{aligned} \frac{2(b + 1)}{a} &= \frac{2(c + 2)}{a + 1} \\ &= \frac{b + c + 3}{4a + 1} \ne 0. \end{aligned}$

De las dos primeras, $\frac{b + 1}{a} = \frac{c + 2}{a + 1},$ y cocientes iguales también son iguales a su mediante $\frac{b + c + 3}{2a + 1}.$ Comparando con la tercera expresión se obtiene $\frac{2(b + c + 3)}{2a + 1} = \frac{b + c + 3}{4a + 1}.$ El valor común es distinto de cero, así que $b + c + 3 \ne 0,$ y por lo tanto $2(4a + 1) = 2a + 1,$ lo que da $a = -\frac{1}{6}.$ Entonces $\frac{b + 1}{-1/6} = \frac{c + 2}{5/6}$ produce $c + 2 = -5(b + 1),$ es decir, $5b + c = -7.$

Por lo tanto $xy^5z = 2^{a + 5b + c} = 2^{-1/6 - 7} = \frac{1}{2^{43/6}},$ así que $p + q = 43 + 6 = 49.$

Write $x = 2^a,$ $y = 2^b,$ $z = 2^c.$ Then $\log_x(2y) = \frac{b + 1}{a},$ $\log_{2x}(4z) = \frac{c + 2}{a + 1},$ and $\log_{2x^4}(8yz) = \frac{b + c + 3}{4a + 1},$ so the condition is $\begin{aligned} \frac{2(b + 1)}{a} &= \frac{2(c + 2)}{a + 1} \\ &= \frac{b + c + 3}{4a + 1} \ne 0. \end{aligned}$

From the first two, $\frac{b + 1}{a} = \frac{c + 2}{a + 1},$ and equal ratios also equal their mediant $\frac{b + c + 3}{2a + 1}.$ Comparing with the third expression gives $\frac{2(b + c + 3)}{2a + 1} = \frac{b + c + 3}{4a + 1}.$ The common value is nonzero, so $b + c + 3 \ne 0,$ and thus $2(4a + 1) = 2a + 1,$ giving $a = -\frac{1}{6}.$ Then $\frac{b + 1}{-1/6} = \frac{c + 2}{5/6}$ yields $c + 2 = -5(b + 1),$ that is, $5b + c = -7.$

Therefore $xy^5z = 2^{a + 5b + c} = 2^{-1/6 - 7} = \frac{1}{2^{43/6}},$ so $p + q = 43 + 6 = 49.$

10.

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de todos los cuadrados perfectos cuyos tres dígitos más a la derecha en base $10$ son $256.$ Sea $\mathcal{T}$ el conjunto de todos los números de la forma $\frac{x - 256}{1000},$ donde $x$ está en $\mathcal{S}.$ En otras palabras, $\mathcal{T}$ es el conjunto de números que resultan al truncar los últimos tres dígitos de cada número de $\mathcal{S}.$ Halla el residuo cuando el décimo elemento más pequeño de $\mathcal{T}$ se divide entre $1000.$

Let $\mathcal{S}$ be the set of all perfect squares whose rightmost three digits in base $10$ are $256.$ Let $\mathcal{T}$ be the set of all numbers of the form $\frac{x - 256}{1000},$ where $x$ is in $\mathcal{S}.$ In other words, $\mathcal{T}$ is the set of numbers that result when the last three digits of each number in $\mathcal{S}$ are truncated. Find the remainder when the tenth smallest element of $\mathcal{T}$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Un cuadrado $n^2$ termina en $256$ exactamente cuando $1000 \mid n^2 - 256$ $= (n - 16)(n + 16).$ Módulo $8:$ $n^2 \equiv 0 \pmod 8$ obliga a $4 \mid n.$ Módulo $125:$ los factores $n \pm 16$ difieren en $32,$ así que $5$ divide a lo sumo a uno de ellos, y por tanto $125$ debe dividir a un único factor: $n \equiv \pm 16 \pmod{125}.$ Como $16$ es múltiplo de $4,$ las dos condiciones se combinan en $n \equiv \pm 16 \pmod{500}.$

Así, $\mathcal{S}$ consta de los números $(500m \pm 16)^2,$ cuyas raíces cuadradas en orden creciente son $16,$ $484,$ $516,$ $984,$ $1016, \ldots.$ El décimo elemento más pequeño de $\mathcal{S}$ es $(500 \cdot 5 - 16)^2 = 2484^2.$

El elemento correspondiente de $\mathcal{T}$ es $\frac{2484^2 - 256}{1000} = \frac{2468 \cdot 2500}{1000} = 6170,$ cuyo residuo al dividir entre $1000$ es $170.$

A square $n^2$ ends in $256$ exactly when $1000 \mid n^2 - 256$ $= (n - 16)(n + 16).$ Modulo $8:$ $n^2 \equiv 0 \pmod 8$ forces $4 \mid n.$ Modulo $125:$ the factors $n \pm 16$ differ by $32,$ so $5$ divides at most one of them, and hence $125$ must divide a single factor: $n \equiv \pm 16 \pmod{125}.$ Because $16$ is a multiple of $4,$ the two conditions combine to $n \equiv \pm 16 \pmod{500}.$

So $\mathcal{S}$ consists of the numbers $(500m \pm 16)^2,$ whose square roots in increasing order are $16,$ $484,$ $516,$ $984,$ $1016, \ldots.$ The tenth smallest element of $\mathcal{S}$ is $(500 \cdot 5 - 16)^2 = 2484^2.$

The corresponding element of $\mathcal{T}$ is $\frac{2484^2 - 256}{1000} = \frac{2468 \cdot 2500}{1000} = 6170,$ whose remainder upon division by $1000$ is $170.$

11.

Una rana comienza en $P_0 = (0, 0)$ y realiza una sucesión de saltos según la siguiente regla: desde $P_n = (x_n, y_n),$ la rana salta a $P_{n+1},$ que puede ser cualquiera de los puntos $(x_n + 7, y_n + 2),$ $(x_n + 2, y_n + 7),$ $(x_n - 5, y_n - 10),$ o $(x_n - 10, y_n - 5).$ Hay $M$ puntos $(x, y)$ con $|x| + |y| \le 100$ que pueden alcanzarse mediante una sucesión de tales saltos. Halla el residuo cuando $M$ se divide entre $1000.$

A frog begins at $P_0 = (0, 0)$ and makes a sequence of jumps according to the following rule: from $P_n = (x_n, y_n),$ the frog jumps to $P_{n+1},$ which may be any of the points $(x_n + 7, y_n + 2),$ $(x_n + 2, y_n + 7),$ $(x_n - 5, y_n - 10),$ or $(x_n - 10, y_n - 5).$ There are $M$ points $(x, y)$ with $|x| + |y| \le 100$ that can be reached by a sequence of such jumps. Find the remainder when $M$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:punto reticular aritmética modular paridad invariante

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Cada salto cambia $x + y$ en $+9$ o $-15$ y cambia $x - y$ en $\pm 5.$ Partiendo de $(0, 0),$ todo punto alcanzable tiene por tanto $x + y = 3j$ y $x - y = 5k$ para enteros $j$ y $k;$ además $x = \frac{3j + 5k}{2}$ debe ser entero, así que $j$ y $k$ tienen la misma paridad. Como $|x| + |y| = \max(|x + y|,\, |x - y|),$ la condición $|x| + |y| \le 100$ se convierte en $|j| \le 33$ y $|k| \le 20.$

Recíprocamente, todo punto así es alcanzable: un solo salto se mueve entre rectas vecinas $x - y = 5k$ (cambiando $j$ en $3$ o $-5,$ lo que invierte su paridad), y las combinaciones de dos saltos trasladan en $(9, 9)$ o $(-15, -15),$ que se combinan, dos de las primeras más una de las segundas, en el desplazamiento $(3, 3),$ moviendo $j$ en $2$ a lo largo de una recta fija. Juntas, estas alcanzan todo par $(j, k)$ de igual paridad.

Conteo: los $j$ pares ( $33$ valores) se emparejan con los $k$ pares ( $21$ valores), y los $j$ impares ( $34$ valores) con los $k$ impares ( $20$ valores), así que $M = 33 \cdot 21 + 34 \cdot 20 = 1373.$ El residuo es $373.$

Each jump changes $x + y$ by $+9$ or $-15$ and changes $x - y$ by $\pm 5.$ Starting from $(0, 0),$ every reachable point therefore has $x + y = 3j$ and $x - y = 5k$ for integers $j$ and $k;$ moreover $x = \frac{3j + 5k}{2}$ must be an integer, so $j$ and $k$ have the same parity. Since $|x| + |y| = \max(|x + y|,\, |x - y|),$ the condition $|x| + |y| \le 100$ becomes $|j| \le 33$ and $|k| \le 20.$

Conversely, every such point is reachable: a single jump moves between neighboring lines $x - y = 5k$ (changing $j$ by $3$ or $-5,$ which flips its parity), and two-jump combinations translate by $(9, 9)$ or $(-15, -15),$ which combine — two of the former plus one of the latter — into the shift $(3, 3),$ moving $j$ by $2$ along a fixed line. Together these reach every pair $(j, k)$ of equal parity.

Counting: even $j$ ( $33$ values) pairs with even $k$ ( $21$ values), and odd $j$ ( $34$ values) with odd $k$ ( $20$ values), so $M = 33 \cdot 21 + 34 \cdot 20 = 1373.$ The remainder is $373.$

12.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $C.$ Sean $D$ y $E$ puntos sobre $\overline{AB}$ con $D$ entre $A$ y $E$ tales que $\overline{CD}$ y $\overline{CE}$ trisecan $\angle C.$ Si $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15},$ entonces $\tan B$ puede escribirse como $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, y $p$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n + p.$

Let $\triangle ABC$ be a right triangle with right angle at $C.$ Let $D$ and $E$ be points on $\overline{AB}$ with $D$ between $A$ and $E$ such that $\overline{CD}$ and $\overline{CE}$ trisect $\angle C.$ If $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15},$ then $\tan B$ can be written as $\frac{m\sqrt{p}}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, and $p$ is a positive integer not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

Respuesta

Conceptos:teorema de la bisectriz ley de los cosenos trigonometría

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

Las trisectrices hacen que $\angle ACD = \angle DCE = \angle ECB$ $= 30^\circ.$ En el triángulo $DCB,$ el rayo $CE$ biseca el ángulo $60^\circ$ $DCB,$ así que el teorema de la bisectriz da $\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}.$ Escala el triángulo de modo que $CD = 8$ y $CB = 15.$

Por la ley de cosenos en el triángulo $DCB,$ $\begin{aligned} BD^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 8 \cdot 15 \cos 60^\circ \\ &= 169, \end{aligned}$ así que $BD = 13.$ Aplicando de nuevo la ley de cosenos en el mismo triángulo, $8^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cos B,$ lo que da $\cos B = \frac{11}{13}.$

Entonces $\sin B = \sqrt{1 - \frac{121}{169}} = \frac{4\sqrt{3}}{13},$ así que $\tan B = \frac{4\sqrt{3}}{11}$ y $m + n + p = 4 + 11 + 3 = 18.$

The trisectors make $\angle ACD = \angle DCE = \angle ECB$ $= 30^\circ.$ In triangle $DCB,$ ray $CE$ bisects the $60^\circ$ angle $DCB,$ so the angle bisector theorem gives $\frac{CD}{CB} = \frac{DE}{EB} = \frac{8}{15}.$ Scale the triangle so that $CD = 8$ and $CB = 15.$

By the Law of Cosines in triangle $DCB,$ $\begin{aligned} BD^2 &= 8^2 + 15^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 8 \cdot 15 \cos 60^\circ \\ &= 169, \end{aligned}$ so $BD = 13.$ Applying the Law of Cosines again in the same triangle, $8^2 = 13^2 + 15^2 - 2 \cdot 13 \cdot 15 \cos B,$ which gives $\cos B = \frac{11}{13}.$

Then $\sin B = \sqrt{1 - \frac{121}{169}} = \frac{4\sqrt{3}}{13},$ so $\tan B = \frac{4\sqrt{3}}{11}$ and $m + n + p = 4 + 11 + 3 = 18.$

13.

Tres círculos concéntricos tienen radios $3,$ $4,$ y $5.$ Un triángulo equilátero con un vértice en cada círculo tiene lado de longitud $s.$ El área máxima posible del triángulo puede escribirse como $a + \frac{b}{c}\sqrt{d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos, $b$ y $c$ son primos entre sí, y $d$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c + d.$

Three concentric circles have radii $3,$ $4,$ and $5.$ An equilateral triangle with one vertex on each circle has side length $s.$ The largest possible area of the triangle can be written as $a + \frac{b}{c}\sqrt{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers, $b$ and $c$ are relatively prime, and $d$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Conceptos:triángulo equilátero transformación ley de los cosenos

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Sea $O$ el centro común y etiqueta el triángulo $ABC$ con $OA = 3,$ $OB = 4,$ $OC = 5.$ Rota el plano $60^\circ$ alrededor de $A$ para que $B$ se transforme en $C,$ y sea $P$ la imagen de $O.$ Entonces el triángulo $AOP$ es equilátero, así que $OP = OA = 3,$ y $PC,$ la imagen de $OB,$ tiene longitud $4.$

El triángulo $OPC$ tiene lados $3,$ $4,$ $5,$ así que $\angle OPC = 90^\circ.$ En la configuración que da el triángulo más grande, $O$ está dentro de $ABC$ y $\angle APC$ $= \angle APO + \angle OPC$ $= 60^\circ + 90^\circ$ $= 150^\circ,$ así que por la ley de cosenos $\begin{aligned} s^2 &= AC^2 = 3^2 + 4^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 3 \cdot 4\cos 150^\circ \\ &= 25 + 12\sqrt{3}. \end{aligned}$ (Si $O$ está fuera del triángulo, el triángulo cabe en un semidisco de radio $5,$ así que su altura es a lo sumo $5$ y $s^2 \le \frac{100}{3},$ que es menor.)

El área es $\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(25 + 12\sqrt{3}\right)$ $= 9 + \frac{25}{4}\sqrt{3},$ así que $a + b + c + d$ $= 9 + 25 + 4 + 3$ $= 41.$

Let $O$ be the common center and label the triangle $ABC$ with $OA = 3,$ $OB = 4,$ $OC = 5.$ Rotate the plane by $60^\circ$ about $A$ so that $B$ maps to $C,$ and let $P$ be the image of $O.$ Then triangle $AOP$ is equilateral, so $OP = OA = 3,$ and $PC,$ the image of $OB,$ has length $4.$

Triangle $OPC$ has sides $3,$ $4,$ $5,$ so $\angle OPC = 90^\circ.$ In the configuration giving the largest triangle, $O$ lies inside $ABC$ and $\angle APC$ $= \angle APO + \angle OPC$ $= 60^\circ + 90^\circ$ $= 150^\circ,$ so by the Law of Cosines $\begin{aligned} s^2 &= AC^2 = 3^2 + 4^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 3 \cdot 4\cos 150^\circ \\ &= 25 + 12\sqrt{3}. \end{aligned}$ (If $O$ lies outside the triangle, the triangle fits in a half-disk of radius $5,$ so its altitude is at most $5$ and $s^2 \le \frac{100}{3},$ which is smaller.)

The area is $\frac{\sqrt{3}}{4}\,s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(25 + 12\sqrt{3}\right)$ $= 9 + \frac{25}{4}\sqrt{3},$ so $a + b + c + d$ $= 9 + 25 + 4 + 3$ $= 41.$

14.

Los números complejos $a,$ $b,$ y $c$ son los ceros de un polinomio $P(z) = z^3 + qz + r,$ y $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250.$ Los puntos correspondientes a $a,$ $b,$ y $c$ en el plano complejo son los vértices de un triángulo rectángulo con hipotenusa $h.$ Halla $h^2.$

Complex numbers $a,$ $b,$ and $c$ are the zeros of a polynomial $P(z) = z^3 + qz + r,$ and $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250.$ The points corresponding to $a,$ $b,$ and $c$ in the complex plane are the vertices of a right triangle with hypotenuse $h.$ Find $h^2.$

Respuesta

Conceptos:número complejo Fórmulas de Vieta triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Como $P(z)$ no tiene término $z^2$ , $a + b + c = 0.$ Supongamos que el ángulo recto está en $b;$ entonces la hipotenusa une $a$ y $c,$ así que $h = |a - c|,$ y $b = -(a + c).$ El punto medio $d = \frac{a + c}{2}$ de la hipotenusa es el circuncentro del triángulo rectángulo, así que $|b - d| = \frac{h}{2}.$ Como $b - d = -\frac{3}{2}(a + c),$ esto da $|a - c| = 3\,|a + c|.$

Por la ley del paralelogramo, $|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2},$ y $|b|^2 = |a + c|^2,$ así que $\begin{aligned} 250 &= \frac{9\,|a + c|^2 + |a + c|^2}{2} \\ &\quad {}+ |a + c|^2 \\ &= 6\,|a + c|^2. \end{aligned}$

Por lo tanto $h^2 = |a - c|^2 = 9\,|a + c|^2$ $= \frac{9 \cdot 250}{6}$ $= 375.$

Since $P(z)$ has no $z^2$ term, $a + b + c = 0.$ Say the right angle is at $b;$ then the hypotenuse joins $a$ and $c,$ so $h = |a - c|,$ and $b = -(a + c).$ The midpoint $d = \frac{a + c}{2}$ of the hypotenuse is the circumcenter of the right triangle, so $|b - d| = \frac{h}{2}.$ Since $b - d = -\frac{3}{2}(a + c),$ this gives $|a - c| = 3\,|a + c|.$

By the parallelogram law, $|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2},$ and $|b|^2 = |a + c|^2,$ so $\begin{aligned} 250 &= \frac{9\,|a + c|^2 + |a + c|^2}{2} \\ &\quad {}+ |a + c|^2 \\ &= 6\,|a + c|^2. \end{aligned}$

Therefore $h^2 = |a - c|^2 = 9\,|a + c|^2$ $= \frac{9 \cdot 250}{6}$ $= 375.$

15.

Hay $n$ matemáticos sentados alrededor de una mesa circular con $n$ asientos numerados $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ en sentido horario. Tras un descanso, vuelven a sentarse alrededor de la mesa. Los matemáticos observan que existe un entero positivo $a$ tal que:

primero, para cada $k,$ el matemático que estaba sentado en el asiento $k$ antes del descanso queda sentado en el asiento $ka$ después del descanso (donde el asiento $i + n$ es el asiento $i$ );

segundo, para cada par de matemáticos, el número de matemáticos sentados entre ellos después del descanso, contando tanto en sentido horario como antihorario, es distinto de cualquiera de los números de matemáticos sentados entre ellos antes del descanso.

Halla el número de valores posibles de $n$ con $1 \lt n \lt 1000.$

There are $n$ mathematicians seated around a circular table with $n$ seats numbered $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $n$ in clockwise order. After a break they again sit around the table. The mathematicians note that there is a positive integer $a$ such that

(1) for each $k,$ the mathematician who was seated in seat $k$ before the break is seated in seat $ka$ after the break (where seat $i + n$ is seat $i$ );

(2) for every pair of mathematicians, the number of mathematicians sitting between them after the break, counting in both the clockwise and the counterclockwise directions, is different from either of the number of mathematicians sitting between them before the break.

Find the number of possible values of $n$ with $1 \lt n \lt 1000.$

Respuesta

Conceptos:aritmética modular máximo común divisor

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

La condición (1) exige que los asientos $a, 2a, \ldots, na$ sean distintos dos a dos módulo $n,$ lo cual ocurre si y solo si $\gcd(a, n) = 1.$ Para la condición (2), los dos matemáticos de los asientos $i$ y $j$ tienen conteos de separación antes del descanso determinados por $\pm(i - j) \bmod n$ y después del descanso por $\pm a(i - j) \bmod n,$ así que el requisito es $a(i - j) \not\equiv \pm(i - j) \pmod{n}$ para todo $i \ne j.$ De forma equivalente, $(a - 1)(i - j) \not\equiv 0$ y $(a + 1)(i - j) \not\equiv 0 \pmod{n}$ para todo residuo no nulo $i - j,$ lo cual se cumple exactamente cuando $a - 1$ y $a + 1$ también son coprimos con $n.$

Así, $n$ es posible si y solo si algún $a$ satisface $\gcd\big((a - 1)\,a\,(a + 1),\, n\big) = 1.$ Tres enteros consecutivos cualesquiera incluyen un múltiplo de $2$ y un múltiplo de $3,$ así que ningún $a$ funciona cuando $\gcd(n, 6) \gt 1.$ Recíprocamente, si $\gcd(n, 6) = 1,$ entonces $a = 3$ funciona, ya que $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ solo tiene los factores primos $2$ y $3.$

Los $n$ válidos con $1 \lt n \lt 1000$ son los congruentes con $\pm 1 \pmod 6,$ es decir, $6k \pm 1$ para $1 \le k \le 166,$ y hay $2 \cdot 166 = 332$ de ellos.

Condition (1) requires the seats $a, 2a, \ldots, na$ to be pairwise distinct modulo $n,$ which happens if and only if $\gcd(a, n) = 1.$ For condition (2), the two mathematicians from seats $i$ and $j$ have gap counts before the break determined by $\pm(i - j) \bmod n$ and after the break by $\pm a(i - j) \bmod n,$ so the requirement is $a(i - j) \not\equiv \pm(i - j) \pmod{n}$ for all $i \ne j.$ Equivalently, $(a - 1)(i - j) \not\equiv 0$ and $(a + 1)(i - j) \not\equiv 0 \pmod{n}$ for every nonzero residue $i - j,$ which holds exactly when $a - 1$ and $a + 1$ are also relatively prime to $n.$

So $n$ is possible if and only if some $a$ satisfies $\gcd\big((a - 1)\,a\,(a + 1),\, n\big) = 1.$ Any three consecutive integers include a multiple of $2$ and a multiple of $3,$ so no $a$ works when $\gcd(n, 6) \gt 1.$ Conversely, if $\gcd(n, 6) = 1,$ then $a = 3$ works, since $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ has only the prime factors $2$ and $3.$

The valid $n$ with $1 \lt n \lt 1000$ are those congruent to $\pm 1 \pmod 6,$ namely $6k \pm 1$ for $1 \le k \le 166,$ and there are $2 \cdot 166 = 332$ of them.