Question

Se da el rectángulo $ABCD$ con $AB = 63$ y $BC = 448.$ Los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ respectivamente, tales que $AE = CF = 84.$ La circunferencia inscrita del triángulo $BEF$ es tangente a $\overline{EF}$ en el punto $P,$ y la circunferencia inscrita del triángulo $DEF$ es tangente a $\overline{EF}$ en el punto $Q.$ ¿Cuánto vale $PQ$ ?

Rectangle $ABCD$ is given with $AB = 63$ and $BC = 448.$ Points $E$ and $F$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$ respectively, such that $AE = CF = 84.$ The inscribed circle of triangle $BEF$ is tangent to $\overline{EF}$ at point $P,$ and the inscribed circle of triangle $DEF$ is tangent to $\overline{EF}$ at point $Q.$ Find $PQ.$

Respuesta

Respuesta: 259

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Calcula $BE,$ $BF,$ y $EF$ con el teorema de Pitágoras; los triángulos $BEF$ y $DFE$ resultan congruentes.

Compute $BE,$ $BF,$ and $EF$ with the Pythagorean theorem; triangles $BEF$ and $DFE$ turn out congruent

Pista grande:

El punto de tangencia divide $EF$ según las longitudes de las tangentes: $EP = s - BF$ y $FQ = s - DE,$ donde $s$ es el semiperímetro común. Entonces $PQ = EF - EP - FQ.$

The tangency point splits $EF$ by tangent lengths: $EP = s - BF$ and $FQ = s - DE,$ where $s$ is the common semiperimeter. Then $PQ = EF - EP - FQ.$

Solución:

Coloca $A = (0, 0),$ $B = (63, 0),$ $C = (63, 448),$ $D = (0, 448),$ de modo que $E = (0, 84)$ y $F = (63, 364).$ Entonces $BE = DF = \sqrt{63^2 + 84^2}$ $= 21\sqrt{3^2 + 4^2} = 105,$ $BF = DE = 448 - 84 = 364,$ y $EF = \sqrt{63^2 + 280^2}$ $= 7\sqrt{9^2 + 40^2} = 287.$ En particular los triángulos $BEF$ y $DFE$ son congruentes, con semiperímetro común $s = \frac{105 + 364 + 287}{2} = 378.$

En cualquier triángulo, la distancia de un vértice a los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita sobre sus dos lados es el semiperímetro menos el lado opuesto. En el triángulo $BEF,$ $EP = s - BF$ $= 378 - 364 = 14;$ en el triángulo $DEF,$ $FQ = s - DE$ $= 378 - 364 = 14.$

Por lo tanto $PQ = EF - EP - FQ$ $= 287 - 14 - 14 = 259.$

Place $A = (0, 0),$ $B = (63, 0),$ $C = (63, 448),$ $D = (0, 448),$ so $E = (0, 84)$ and $F = (63, 364).$ Then $BE = DF = \sqrt{63^2 + 84^2}$ $= 21\sqrt{3^2 + 4^2} = 105,$ $BF = DE = 448 - 84 = 364,$ and $EF = \sqrt{63^2 + 280^2}$ $= 7\sqrt{9^2 + 40^2} = 287.$ In particular triangles $BEF$ and $DFE$ are congruent, with common semiperimeter $s = \frac{105 + 364 + 287}{2} = 378.$

In any triangle, the distance from a vertex to the incircle’s tangency points on its two sides is the semiperimeter minus the opposite side. In triangle $BEF,$ $EP = s - BF$ $= 378 - 364 = 14;$ in triangle $DEF,$ $FQ = s - DE$ $= 378 - 364 = 14.$

Therefore $PQ = EF - EP - FQ$ $= 287 - 14 - 14 = 259.$

2007 AIME II Problema 9

Respuesta: 259

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años