Cada elección de dos puntos $A$ y dos puntos $B$ produce exactamente un cruce interior, así que hay $\binom{7}{2}\binom{5}{2}$ puntos de cruce

Usa la fórmula de Euler $V - E + F = 2:$ cada cruce parte dos segmentos, así que los segmentos aportan $mn + 2\binom{m}{2}\binom{n}{2}$ aristas

Dos segmentos $\overline{A_iB_j}$ y $\overline{A_kB_l}$ se cruzan estrictamente entre las rectas exactamente cuando uno de los puntos $A$ va primero y el $B$ del otro va primero, lo cual ocurre para exactamente un emparejamiento de cualesquiera dos puntos $A$ con cualesquiera dos puntos $B$. Por la hipótesis de posición general estos cruces son distintos, así que hay $X = \binom{m}{2}\binom{n}{2}$ de ellos.

Recorta las dos rectas a segmentos largos y aplica la fórmula de Euler. Los vértices son los $m + n$ puntos marcados, los $X$ cruces, y los $4$ extremos recortados de las rectas, así que $V = m + n + X + 4.$ La recta $\ell_A$ queda dividida en $m + 1$ aristas y $\ell_B$ en $n + 1;$ cada cruce parte dos segmentos, así que los segmentos trazados aportan $mn + 2X$ aristas, dando $E = mn + m + n + 2X + 2.$ Entonces $$F = E - V + 2 = mn + X,$$ de las cuales una cara es no acotada, así que hay $mn + X - 1$ regiones acotadas. Para $m = 3,$ $n = 2$ esto da $6 + 3 - 1 = 8,$ coincidiendo con la figura.

Para $m = 7$ y $n = 5:$ $35 + \binom{7}{2}\binom{5}{2} - 1$ $= 35 + 21 \cdot 10 - 1$ $= 244.$