Question

Ellina tiene doce bloques, dos de cada uno: rojo ( $\textbf{R}$ ), azul ( $\textbf{B}$ ), amarillo ( $\textbf{Y}$ ), verde ( $\textbf{G}$ ), naranja ( $\textbf{O}$ ) y morado ( $\textbf{P}$ ). Llama a una disposición de bloques par si hay un número par de bloques entre cada par de bloques del mismo color. Por ejemplo, la disposición $\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}$ es par. Ellina dispone sus bloques en una fila en orden aleatorio. La probabilidad de que su disposición sea par es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Ellina has twelve blocks, two each of red ( $\textbf{R}$ ), blue ( $\textbf{B}$ ), yellow ( $\textbf{Y}$ ), green ( $\textbf{G}$ ), orange ( $\textbf{O}$ ), and purple ( $\textbf{P}$ ). Call an arrangement of blocks even if there is an even number of blocks between each pair of blocks of the same color. For example, the arrangement $\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}$ is even. Ellina arranges her blocks in a row in random order. The probability that her arrangement is even is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Si un color ocupa las posiciones $i \lt j,$ el número de bloques entre ellas es $j - i - 1,$ que es par exactamente cuando $i$ y $j$ tienen paridad opuesta. Así que una disposición es par precisamente cuando cada color ocupa una posición impar y una posición par, es decir, los seis lugares impares contienen cada color exactamente una vez, y lo mismo hacen los seis lugares pares.

Contando las disposiciones de los doce bloques (los bloques del mismo color son idénticos), hay $\frac{12!}{2^6}$ en total, y $6! \cdot 6!$ pares (una permutación de los seis colores en los lugares impares y otra en los lugares pares). La probabilidad es $\frac{6! \cdot 6! \cdot 2^6}{12!} = \frac{16}{231}.$

Como $\gcd(16, 231) = 1,$ la respuesta es $m + n = 16 + 231 = 247.$

If a color occupies positions $i \lt j,$ the number of blocks between them is $j - i - 1,$ which is even exactly when $i$ and $j$ have opposite parity. So an arrangement is even precisely when every color occupies one odd position and one even position — that is, the six odd slots contain each color exactly once, and so do the six even slots.

Counting arrangements of the twelve blocks (blocks of the same color identical), there are $\frac{12!}{2^6}$ in total, and $6! \cdot 6!$ even ones (a permutation of the six colors in the odd slots and another in the even slots). The probability is $\frac{6! \cdot 6! \cdot 2^6}{12!} = \frac{16}{231}.$

Since $\gcd(16, 231) = 1,$ the answer is $m + n = 16 + 231 = 247.$

2022 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años