Soluciones del 2022 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Los polinomios cuadráticos $P(x)$ y $Q(x)$ tienen coeficientes principales $2$ y $-2,$ respectivamente. Las gráficas de ambos polinomios pasan por los dos puntos $(16, 54)$ y $(20, 53).$ Halla $P(0) + Q(0).$

Quadratic polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ have leading coefficients of $2$ and $-2,$ respectively. The graphs of both polynomials pass through the two points $(16, 54)$ and $(20, 53).$ Find $P(0) + Q(0).$

Respuesta

Conceptos:polinomio ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Considera $R(x) = P(x) + Q(x):$ los términos cuadráticos se cancelan, así que $R$ es lineal

Consider $R(x) = P(x) + Q(x):$ the quadratic terms cancel, so $R$ is linear

Pista grande:

$R$ pasa por $(16, 108)$ y $(20, 106);$ extiende esa recta de vuelta hasta $x = 0$

$R$ passes through $(16, 108)$ and $(20, 106);$ extend that line back to $x = 0$

Solución:

Sea $R(x) = P(x) + Q(x).$ Los coeficientes principales $2$ y $-2$ se cancelan, así que $R$ es una función lineal. Como ambas gráficas pasan por $(16, 54)$ y $(20, 53),$ obtenemos $R(16) = 108$ y $R(20) = 106.$

La pendiente de $R$ es $\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2},$ así que $\begin{aligned} P(0) + Q(0) &= R(0) \\ &= R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 108 + 8 = 116. \end{aligned}$

Let $R(x) = P(x) + Q(x).$ The leading coefficients $2$ and $-2$ cancel, so $R$ is a linear function. Since both graphs pass through $(16, 54)$ and $(20, 53),$ we get $R(16) = 108$ and $R(20) = 106.$

The slope of $R$ is $\frac{106 - 108}{20 - 16} = -\frac{1}{2},$ so $\begin{aligned} P(0) + Q(0) &= R(0) \\ &= R(16) + 16 \cdot \frac{1}{2} \\ &= 108 + 8 = 116. \end{aligned}$

2.

Halla el entero positivo de tres dígitos $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ cuya representación en base nueve es $\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son dígitos (no necesariamente distintos).

Find the three-digit positive integer $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ whose representation in base nine is $\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are (not necessarily distinct) digits.

Respuesta

Conceptos:base numérica dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Escribe la condición como $100a + 10b + c = 81b + 9c + a$ y simplifica

Write the condition as $100a + 10b + c = 81b + 9c + a$ and simplify

Pista grande:

A partir de $99a = 71b + 8c,$ reduce módulo $8$ para determinar $b$ en términos de $a,$ y luego prueba valores pequeños de $a.$

From $99a = 71b + 8c,$ reduce modulo $8$ to pin down $b$ in terms of $a,$ then test small values of $a.$

Solución:

La condición dice $100a + 10b + c = 81b + 9c + a,$ que se simplifica a $99a = 71b + 8c.$ Como los dígitos también aparecen en un numeral en base nueve, cada uno es a lo sumo $8.$ Reduciendo módulo $8$ se obtiene $3a \equiv -b \pmod 8,$ así que $b \equiv 5a \pmod 8.$

Para $a = 1,$ $b = 5$ hace que $71b$ supere $99;$ para $a = 2,$ $b = 2$ da $8c = 198 - 142 = 56,$ así que $c = 7.$ Para cada $a \ge 3,$ el $b$ requerido obliga a que $99a - 71b$ quede fuera del rango $[0, 64],$ así que no hay otra solución.

El número es $227,$ y en efecto $227 = 2 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 2$ $= 272_9.$

The condition says $100a + 10b + c = 81b + 9c + a,$ which simplifies to $99a = 71b + 8c.$ Since the digits also appear in a base-nine numeral, each is at most $8.$ Reducing modulo $8$ gives $3a \equiv -b \pmod 8,$ so $b \equiv 5a \pmod 8.$

For $a = 1,$ $b = 5$ makes $71b$ exceed $99;$ for $a = 2,$ $b = 2$ gives $8c = 198 - 142 = 56,$ so $c = 7.$ For each $a \ge 3,$ the required $b$ forces $99a - 71b$ outside the range $[0, 64],$ so there is no other solution.

The number is $227,$ and indeed $227 = 2 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 2$ $= 272_9.$

3.

En el trapecio isósceles $ABCD,$ las bases paralelas $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ tienen longitudes $500$ y $650,$ respectivamente, y $AD = BC = 333.$ Las bisectrices de $\angle A$ y $\angle D$ se cortan en $P,$ y las bisectrices de $\angle B$ y $\angle C$ se cortan en $Q.$ Halla $PQ.$

In isosceles trapezoid $ABCD,$ parallel bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ have lengths $500$ and $650,$ respectively, and $AD = BC = 333.$ The angle bisectors of $\angle A$ and $\angle D$ meet at $P,$ and the angle bisectors of $\angle B$ and $\angle C$ meet at $Q.$ Find $PQ.$

Respuesta

Conceptos:bisectriz trapecio triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Sea $A'$ el punto donde la bisectriz de $\angle A$ corta a $\overline{CD}$ ; los ángulos alternos internos hacen que el triángulo $ADA'$ sea isósceles con $DA' = 333$

Let the bisector of $\angle A$ meet $\overline{CD}$ at $A':$ alternate interior angles make triangle $ADA'$ isosceles with $DA' = 333$

Pista grande:

En el triángulo isósceles $ADA',$ la bisectriz desde $D$ también es la mediana, así que $P$ es el punto medio de $AA'.$ Haz lo mismo para $Q$ y usa coordenadas.

In isosceles triangle $ADA',$ the bisector from $D$ is also the median, so $P$ is the midpoint of $AA'.$ Do the same for $Q$ and use coordinates.

Solución:

Sea $A'$ el punto donde la bisectriz de $\angle A$ corta a $\overline{CD}.$ Como $\overline{AB} \parallel \overline{CD},$ tenemos $\angle DA'A = \angle A'AB = \angle A'AD,$ así que el triángulo $ADA'$ es isósceles con $DA' = DA = 333.$ La bisectriz de $\angle D$ es entonces la mediana desde $D$ en este triángulo, así que $P,$ que está sobre ambas bisectrices, es el punto medio de $\overline{AA'}.$ Simétricamente, $Q$ es el punto medio de $\overline{BB'},$ donde $B'$ está sobre $\overline{CD}$ con $CB' = 333.$

Coloca $D = (0, 0)$ y $C = (650, 0),$ de modo que $A = (75, h)$ y $B = (575, h)$ para la altura apropiada $h.$ Entonces $A' = (333, 0)$ y $B' = (650 - 333, 0) = (317, 0),$ así que $\begin{aligned} P &= \left(\frac{75 + 333}{2}, \frac{h}{2}\right) \\ &= \left(204, \frac{h}{2}\right), \end{aligned}$ $\begin{aligned} Q &= \left(\frac{575 + 317}{2}, \frac{h}{2}\right) \\ &= \left(446, \frac{h}{2}\right). \end{aligned}$

Por lo tanto $PQ = 446 - 204 = 242.$

Let the bisector of $\angle A$ meet $\overline{CD}$ at $A'.$ Since $\overline{AB} \parallel \overline{CD},$ we have $\angle DA'A = \angle A'AB = \angle A'AD,$ so triangle $ADA'$ is isosceles with $DA' = DA = 333.$ The bisector of $\angle D$ is then the median from $D$ in this triangle, so $P,$ which lies on both bisectors, is the midpoint of $\overline{AA'}.$ Symmetrically, $Q$ is the midpoint of $\overline{BB'},$ where $B'$ is on $\overline{CD}$ with $CB' = 333.$

Place $D = (0, 0)$ and $C = (650, 0),$ so $A = (75, h)$ and $B = (575, h)$ for the appropriate height $h.$ Then $A' = (333, 0)$ and $B' = (650 - 333, 0) = (317, 0),$ so $\begin{aligned} P &= \left(\frac{75 + 333}{2}, \frac{h}{2}\right) \\ &= \left(204, \frac{h}{2}\right), \end{aligned}$ $\begin{aligned} Q &= \left(\frac{575 + 317}{2}, \frac{h}{2}\right) \\ &= \left(446, \frac{h}{2}\right). \end{aligned}$

Therefore $PQ = 446 - 204 = 242.$

4.

Sean $w = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{2}$ y $z = \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2},$ donde $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$ Halla la cantidad de pares ordenados $(r, s)$ de enteros positivos que no superan $100$ y satisfacen la ecuación $\mathrm{i} \cdot w^r = z^s.$

Let $w = \frac{\sqrt{3} + \mathrm{i}}{2}$ and $z = \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{3}}{2},$ where $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$ Find the number of ordered pairs $(r, s)$ of positive integers not exceeding $100$ that satisfy the equation $\mathrm{i} \cdot w^r = z^s.$

Respuesta

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre aritmética modular

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Ambos números están en la circunferencia unitaria: $w$ tiene argumento $30^\circ$ y $z$ tiene argumento $120^\circ,$ mientras que $\mathrm{i}$ tiene argumento $90^\circ$

Both numbers lie on the unit circle: $w$ has argument $30^\circ$ and $z$ has argument $120^\circ,$ while $\mathrm{i}$ has argument $90^\circ$

Pista grande:

Igualar los argumentos da $90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},$ es decir $r + 3 \equiv 4s \pmod{12};$ cuenta cuántos $r \in [1, 100]$ caen en cada residuo

Matching arguments gives $90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},$ i.e. $r + 3 \equiv 4s \pmod{12};$ count how many $r \in [1, 100]$ hit each residue

Solución:

Tanto $w$ como $z$ tienen módulo $1:$ en forma polar $w = \operatorname{cis} 30^\circ$ y $z = \operatorname{cis} 120^\circ,$ mientras que $\mathrm{i} = \operatorname{cis} 90^\circ.$ Por lo tanto, la ecuación $\mathrm{i} \cdot w^r = z^s$ equivale a la condición de argumentos $90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},$ es decir, $r + 3 \equiv 4s \pmod{12}.$

Para cada $s,$ esto determina $r \pmod{12}:$ el residuo $4s - 3$ es $1,$ $5,$ o $9$ módulo $12$ según $s \equiv 1,$ $2,$ o $0 \pmod 3.$ Entre $1 \le r \le 100$ hay $9$ valores con $r \equiv 1 \pmod{12}$ y $8$ valores en cada caso con $r \equiv 5$ o $r \equiv 9 \pmod{12}.$ Entre $1 \le s \le 100$ hay $34$ valores con $s \equiv 1 \pmod 3$ y $33$ valores en cada una de las otras dos clases.

El total es $34 \cdot 9$ $+ 33 \cdot 8$ $+ 33 \cdot 8$ $= 306 + 264 + 264 = 834.$

Both $w$ and $z$ have modulus $1:$ in polar form $w = \operatorname{cis} 30^\circ$ and $z = \operatorname{cis} 120^\circ,$ while $\mathrm{i} = \operatorname{cis} 90^\circ.$ The equation $\mathrm{i} \cdot w^r = z^s$ is therefore a statement about arguments: $90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},$ i.e. $r + 3 \equiv 4s \pmod{12}.$

For each $s,$ this determines $r \pmod{12}:$ the residue $4s - 3$ is $1,$ $5,$ or $9$ modulo $12$ according as $s \equiv 1,$ $2,$ or $0 \pmod 3.$ Among $1 \le r \le 100$ there are $9$ values with $r \equiv 1 \pmod{12}$ and $8$ values each with $r \equiv 5$ or $r \equiv 9 \pmod{12}.$ Among $1 \le s \le 100$ there are $34$ values with $s \equiv 1 \pmod 3$ and $33$ values in each of the other two classes.

The count is $34 \cdot 9$ $+ 33 \cdot 8$ $+ 33 \cdot 8$ $= 306 + 264 + 264 = 834.$

5.

Un río recto de $264$ metros de ancho fluye de oeste a este a razón de $14$ metros por minuto. Melanie y Sherry están sentadas en la orilla sur del río, con Melanie a una distancia de $D$ metros río abajo de Sherry. Respecto al agua, Melanie nada a $80$ metros por minuto, y Sherry nada a $60$ metros por minuto. Al mismo tiempo, Melanie y Sherry comienzan a nadar en línea recta hacia un punto de la orilla norte del río que equidista de sus posiciones iniciales. Las dos mujeres llegan a este punto simultáneamente. Halla $D.$

A straight river that is $264$ meters wide flows from west to east at a rate of $14$ meters per minute. Melanie and Sherry sit on the south bank of the river with Melanie a distance of $D$ meters downstream from Sherry. Relative to the water, Melanie swims at $80$ meters per minute, and Sherry swims at $60$ meters per minute. At the same time, Melanie and Sherry begin swimming in straight lines to a point on the north bank of the river that is equidistant from their starting positions. The two women arrive at this point simultaneously. Find $D.$

Respuesta

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo vector diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

El punto de encuentro está justo al norte del punto medio entre ellas. La velocidad de cada nadadora respecto al agua es su velocidad respecto al suelo menos la corriente $(14, 0).$

The meeting point is due north of the midpoint between them. Each swimmer’s velocity relative to the water is her ground velocity minus the current $(14, 0).$

Pista grande:

Con $u = \frac{D}{2t},$ restar las dos ecuaciones de rapidez da $(u + 14)^2 - (u - 14)^2$ $= 6400 - 3600$

With $u = \frac{D}{2t},$ subtracting the two speed equations gives $(u + 14)^2 - (u - 14)^2$ $= 6400 - 3600$

Solución:

Coloca a Sherry en el origen y a Melanie en $(D, 0)$ sobre la orilla sur. Un punto de la orilla norte equidistante de ambas es $\left(\frac{D}{2}, 264\right).$ Si ambas llegan en el tiempo $t,$ entonces la velocidad de cada nadadora respecto al agua es su velocidad respecto al suelo menos la corriente $(14, 0),$ así que $\begin{aligned} &\left(\frac{D}{2t} - 14\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 60^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\left(-\frac{D}{2t} - 14\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 80^2. \end{aligned}$

Restando, con $u = \frac{D}{2t}:$ $(u + 14)^2 - (u - 14)^2$ $= 56u$ $= 6400 - 3600$ $= 2800,$ así que $u = 50.$ Sustituyendo de nuevo, $(50 - 14)^2 + \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 3600$ da $\frac{264}{t} = 48,$ así que $t = \frac{11}{2}.$

Por lo tanto $D = 2ut = 100t = 550.$

Put Sherry at the origin and Melanie at $(D, 0)$ on the south bank. A point on the north bank equidistant from both is $\left(\frac{D}{2}, 264\right).$ If both arrive at time $t,$ then each swimmer’s velocity relative to the water is her ground velocity minus the current $(14, 0),$ so $\begin{aligned} &\left(\frac{D}{2t} - 14\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 60^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\left(-\frac{D}{2t} - 14\right)^2 \\ &\quad {}+ \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 80^2. \end{aligned}$

Subtracting, with $u = \frac{D}{2t}:$ $(u + 14)^2 - (u - 14)^2$ $= 56u$ $= 6400 - 3600$ $= 2800,$ so $u = 50.$ Substituting back, $(50 - 14)^2 + \left(\frac{264}{t}\right)^2 = 3600$ gives $\frac{264}{t} = 48,$ so $t = \frac{11}{2}.$

Therefore $D = 2ut = 100t = 550.$

6.

Halla la cantidad de pares ordenados de enteros $(a, b)$ tales que la sucesión $3, 4, 5, a, b, 30, 40, 50$ sea estrictamente creciente y ningún conjunto de cuatro términos (no necesariamente consecutivos) forme una progresión aritmética.

Find the number of ordered pairs of integers $(a, b)$ such that the sequence $3, 4, 5, a, b, 30, 40, 50$ is strictly increasing and no set of four (not necessarily consecutive) terms forms an arithmetic progression.

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética conteo complementario análisis por casos

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Cuenta los pares malos entre las $\binom{24}{2}$ elecciones con $5 \lt a \lt b \lt 30:$ toda progresión de cuatro términos debe usar $a$ o $b$

Count the bad pairs among the $\binom{24}{2}$ choices with $5 \lt a \lt b \lt 30:$ every four-term progression must use $a$ or $b$

Pista grande:

Aparte de $a = 6$ y $20 \in \{a, b\},$ exactamente tres pares $(a, b)$ completan una progresión con dos de los términos fijos. Cuidado con el doble conteo.

Beyond $a = 6$ and $20 \in \{a, b\},$ exactly three pairs $(a, b)$ complete a progression with two of the fixed terms. Watch for double counting.

Solución:

La sucesión es estrictamente creciente exactamente cuando $5 \lt a \lt b \lt 30,$ lo que da $\binom{24}{2} = 276$ pares. Los seis términos fijos no contienen ninguna progresión aritmética de cuatro términos, así que toda progresión debe involucrar a $a$ o $b.$ Si solo uno de ellos está involucrado, tres términos fijos ya deben estar en progresión: $3, 4, 5$ solo se extiende con $6,$ y $30, 40, 50$ solo se extiende con $20.$ Así que las violaciones de una sola variable son $a = 6$ ( $23$ pares) y $20 \in \{a, b\}$ ( $23$ pares), que se solapan en el par $(6, 20).$

Si tanto $a$ como $b$ están involucrados, dos términos fijos completan la progresión. Revisando las posiciones posibles: $(4, 5, a, b)$ da $(6, 7);$ $(3, 5, a, b)$ da $(7, 9);$ $(3, a, b, 30)$ da $(12, 21);$ $(4, a, b, 40)$ da $(16, 28);$ $(5, a, b, 50)$ da $(20, 35),$ fuera de rango; y $(a, b, 30, 40)$ da $(10, 20).$ De estos, $(6, 7)$ y $(10, 20)$ ya se contaron, así que $(7, 9),$ $(12, 21),$ y $(16, 28)$ son los únicos pares malos nuevos.

La cantidad de pares válidos es $276 - (23 + 23 - 1)$ $- 3 = 276 - 48 = 228.$

The sequence is increasing exactly when $5 \lt a \lt b \lt 30,$ giving $\binom{24}{2} = 276$ pairs. The six fixed terms contain no four-term arithmetic progression, so every progression must involve $a$ or $b.$ If only one of them is involved, three fixed terms must already be in progression: $3, 4, 5$ extends only by $6,$ and $30, 40, 50$ extends only by $20.$ So the single-variable violations are $a = 6$ ( $23$ pairs) and $20 \in \{a, b\}$ ( $23$ pairs), which overlap in the pair $(6, 20).$

If both $a$ and $b$ are involved, two fixed terms complete the progression. Checking the possible positions: $(4, 5, a, b)$ gives $(6, 7);$ $(3, 5, a, b)$ gives $(7, 9);$ $(3, a, b, 30)$ gives $(12, 21);$ $(4, a, b, 40)$ gives $(16, 28);$ $(5, a, b, 50)$ gives $(20, 35),$ out of range; and $(a, b, 30, 40)$ gives $(10, 20).$ Of these, $(6, 7)$ and $(10, 20)$ are already counted, so $(7, 9),$ $(12, 21),$ and $(16, 28)$ are the only new bad pairs.

The number of valid pairs is $276 - (23 + 23 - 1)$ $- 3 = 276 - 48 = 228.$

7.

Sean $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ $g,$ $h,$ $i$ enteros distintos de $1$ a $9.$ El mínimo valor positivo posible de $\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f,$ $g,$ $h,$ $i$ be distinct integers from $1$ to $9.$ The minimum possible positive value of $\frac{a \cdot b \cdot c - d \cdot e \cdot f}{g \cdot h \cdot i}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:optimización argumento extremal acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Apunta a un numerador de $1:$ busca dos ternas de dígitos distintos cuyos productos difieran exactamente en $1$

Aim for a numerator of $1:$ look for two triples of distinct digits whose products differ by exactly $1$

Pista grande:

Reserva los tres dígitos sobrantes más grandes para el denominador, y luego descarta denominadores mayores mostrando que obligan a una diferencia de numerador de al menos $2$

Save the three largest leftover digits for the denominator, then rule out bigger denominators by showing they force a numerator difference of at least $2$

Solución:

Intenta hacer que el numerador sea igual a $1$ manteniendo dígitos grandes en el denominador. Los productos $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ y $1 \cdot 5 \cdot 7 = 35$ difieren en $1$ y dejan $4, 8, 9$ para el denominador, dando el valor $\frac{36 - 35}{4 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{1}{288}.$

Para superar esto, una fracción necesitaría numerador $1$ con denominador mayor que $288.$ Los denominadores que superan $288$ son $504,$ $432,$ $360,$ $378,$ $315,$ y $336,$ provenientes respectivamente de $\{7,8,9\},$ $\{6,8,9\},$ $\{5,8,9\},$ $\{6,7,9\},$ $\{5,7,9\},$ y $\{6,7,8\}.$ Al dividir los seis dígitos restantes en dos ternas, las menores diferencias positivas entre los productos son respectivamente $6,$ $2,$ $8,$ $2,$ $4,$ y $6.$ Los límites inferiores resultantes $\begin{aligned}&\frac{6}{504},\quad \frac{2}{432},\quad \frac{8}{360},\\&\frac{2}{378},\quad \frac{4}{315},\quad \frac{6}{336}\end{aligned}$ superan todos a $\frac{1}{288}.$

Así que el mínimo valor positivo es $\frac{1}{288},$ y $m + n = 1 + 288 = 289.$

Try to make the numerator equal to $1$ while keeping large digits in the denominator. The products $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ and $1 \cdot 5 \cdot 7 = 35$ differ by $1$ and leave $4, 8, 9$ for the denominator, giving the value $\frac{36 - 35}{4 \cdot 8 \cdot 9} = \frac{1}{288}.$

To beat this, a fraction would need numerator $1$ with denominator greater than $288.$ The denominators exceeding $288$ are $504,$ $432,$ $360,$ $378,$ $315,$ and $336,$ coming respectively from $\{7,8,9\},$ $\{6,8,9\},$ $\{5,8,9\},$ $\{6,7,9\},$ $\{5,7,9\},$ and $\{6,7,8\}.$ Splitting the remaining six digits into two triples, the smallest positive numerator differences are respectively $6,$ $2,$ $8,$ $2,$ $4,$ and $6.$ The resulting lower bounds $\begin{aligned}&\frac{6}{504},\quad \frac{2}{432},\quad \frac{8}{360},\\&\frac{2}{378},\quad \frac{4}{315},\quad \frac{6}{336}\end{aligned}$ all exceed $\frac{1}{288}.$

So the minimum positive value is $\frac{1}{288},$ and $m + n = 1 + 288 = 289.$

8.

El triángulo equilátero $\triangle ABC$ está inscrito en la circunferencia $\omega$ de radio $18.$ La circunferencia $\omega_A$ es tangente a los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ y es tangente internamente a $\omega.$ Las circunferencias $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera análoga. Las circunferencias $\omega_A,$ $\omega_B,$ y $\omega_C$ se cortan en seis puntos, dos puntos por cada par de circunferencias. Los tres puntos de intersección más cercanos a los vértices de $\triangle ABC$ son los vértices de un triángulo equilátero grande en el interior de $\triangle ABC,$ y los otros tres puntos de intersección son los vértices de un triángulo equilátero más pequeño en el interior de $\triangle ABC.$ La longitud del lado del triángulo equilátero más pequeño puede escribirse como $\sqrt{a} - \sqrt{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Halla $a + b.$

Equilateral triangle $\triangle ABC$ is inscribed in circle $\omega$ with radius $18.$ Circle $\omega_A$ is tangent to sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ and is internally tangent to $\omega.$ Circles $\omega_B$ and $\omega_C$ are defined analogously. Circles $\omega_A,$ $\omega_B,$ and $\omega_C$ meet in six points — two points for each pair of circles. The three intersection points closest to the vertices of $\triangle ABC$ are the vertices of a large equilateral triangle in the interior of $\triangle ABC,$ and the other three intersection points are the vertices of a smaller equilateral triangle in the interior of $\triangle ABC.$ The side length of the smaller equilateral triangle can be written as $\sqrt{a} - \sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo equilátero geometría analítica

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Halla $\omega_A$ primero: su centro está sobre la recta $AO,$ su radio es la mitad de su distancia a $A,$ y la tangencia interna a $\omega$ fija todo

Find $\omega_A$ first: its center lies on line $AO,$ its radius is half its distance from $A,$ and internal tangency to $\omega$ fixes everything

Pista grande:

Los dos puntos de intersección de $\omega_B$ y $\omega_C$ están sobre la recta $AO,$ y el circunradio de cada triángulo es la distancia de ese punto al centro $O$

The two intersection points of $\omega_B$ and $\omega_C$ lie on line $AO,$ and each triangle’s circumradius is the distance from that point to the center $O$

Solución:

Sea $O$ el centro de $\omega.$ El centro de $\omega_A$ está sobre la recta $AO$ (la bisectriz de $\angle A$ ) a cierta distancia $d$ de $A;$ como $\overline{AB}$ forma un ángulo de $30^\circ$ con $AO,$ el radio es $r = d \sin 30^\circ = \frac{d}{2}.$ La tangencia interna a $\omega$ exige que el centro esté a $18 - r$ de $O,$ lo que obliga al centro a pasar más allá de $O:$ $d - 18 = 18 - \frac{d}{2},$ así que $d = 24,$ $r = 12,$ y el centro está $6$ más allá de $O.$

Coloca $O$ en el origen con $A = (0, 18).$ Entonces los tres centros son $O_A = (0, -6)$ y $O_B, O_C = (\pm 3\sqrt{3}, 3),$ todos con radio $12.$ Las intersecciones de $\omega_B$ y $\omega_C$ están sobre el eje $y$ : $27 + (y - 3)^2 = 144$ da $y = 3 \pm \sqrt{117}.$ El punto $(0, 3 + \sqrt{117})$ está más cerca de $A$ y pertenece al triángulo más grande, así que el triángulo más pequeño tiene el vértice $(0, 3 - \sqrt{117}),$ a distancia $\sqrt{117} - 3$ de $O.$

Por simetría, el triángulo más pequeño es equilátero con circunradio $\sqrt{117} - 3,$ así que su lado es $\sqrt{3}\left(\sqrt{117} - 3\right) = \sqrt{351} - \sqrt{27}.$ Por lo tanto $a + b = 351 + 27 = 378.$

Let $O$ be the center of $\omega.$ The center of $\omega_A$ lies on line $AO$ (the bisector of $\angle A$ ) at some distance $d$ from $A;$ since $\overline{AB}$ makes a $30^\circ$ angle with $AO,$ the radius is $r = d \sin 30^\circ = \frac{d}{2}.$ Internal tangency to $\omega$ requires the center to be $18 - r$ from $O,$ which forces the center past $O:$ $d - 18 = 18 - \frac{d}{2},$ so $d = 24,$ $r = 12,$ and the center is $6$ beyond $O.$

Place $O$ at the origin with $A = (0, 18).$ Then the three centers are $O_A = (0, -6)$ and $O_B, O_C = (\pm 3\sqrt{3}, 3),$ all with radius $12.$ The intersections of $\omega_B$ and $\omega_C$ lie on the $y$ -axis: $27 + (y - 3)^2 = 144$ gives $y = 3 \pm \sqrt{117}.$ The point $(0, 3 + \sqrt{117})$ is closer to $A$ and belongs to the larger triangle, so the smaller triangle has vertex $(0, 3 - \sqrt{117}),$ at distance $\sqrt{117} - 3$ from $O.$

By symmetry the smaller triangle is equilateral with circumradius $\sqrt{117} - 3,$ so its side is $\sqrt{3}\left(\sqrt{117} - 3\right) = \sqrt{351} - \sqrt{27}.$ Thus $a + b = 351 + 27 = 378.$

9.

Ellina tiene doce bloques, dos de cada uno: rojo ( $\textbf{R}$ ), azul ( $\textbf{B}$ ), amarillo ( $\textbf{Y}$ ), verde ( $\textbf{G}$ ), naranja ( $\textbf{O}$ ) y morado ( $\textbf{P}$ ). Llama a una disposición de bloques par si hay un número par de bloques entre cada par de bloques del mismo color. Por ejemplo, la disposición $\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}$ es par. Ellina dispone sus bloques en una fila en orden aleatorio. La probabilidad de que su disposición sea par es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Ellina has twelve blocks, two each of red ( $\textbf{R}$ ), blue ( $\textbf{B}$ ), yellow ( $\textbf{Y}$ ), green ( $\textbf{G}$ ), orange ( $\textbf{O}$ ), and purple ( $\textbf{P}$ ). Call an arrangement of blocks even if there is an even number of blocks between each pair of blocks of the same color. For example, the arrangement $\textbf{R B B Y G G Y R O P P O}$ is even. Ellina arranges her blocks in a row in random order. The probability that her arrangement is even is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica permutaciones de multiconjuntos paridad

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Hay un número par de bloques entre las posiciones $i$ y $j$ exactamente cuando $i$ y $j$ tienen paridad opuesta

There is an even number of blocks between positions $i$ and $j$ exactly when $i$ and $j$ have opposite parity

Pista grande:

Así que cada color debe ocupar una posición impar y una par: los seis lugares impares contienen los seis colores una vez, igual que los seis lugares pares

So each color must occupy one odd and one even position: the six odd slots hold all six colors once, as do the six even slots

Solución:

Si un color ocupa las posiciones $i \lt j,$ el número de bloques entre ellas es $j - i - 1,$ que es par exactamente cuando $i$ y $j$ tienen paridad opuesta. Así que una disposición es par precisamente cuando cada color ocupa una posición impar y una posición par, es decir, los seis lugares impares contienen cada color exactamente una vez, y lo mismo hacen los seis lugares pares.

Contando las disposiciones de los doce bloques (los bloques del mismo color son idénticos), hay $\frac{12!}{2^6}$ en total, y $6! \cdot 6!$ pares (una permutación de los seis colores en los lugares impares y otra en los lugares pares). La probabilidad es $\frac{6! \cdot 6! \cdot 2^6}{12!} = \frac{16}{231}.$

Como $\gcd(16, 231) = 1,$ la respuesta es $m + n = 16 + 231 = 247.$

If a color occupies positions $i \lt j,$ the number of blocks between them is $j - i - 1,$ which is even exactly when $i$ and $j$ have opposite parity. So an arrangement is even precisely when every color occupies one odd position and one even position — that is, the six odd slots contain each color exactly once, and so do the six even slots.

Counting arrangements of the twelve blocks (blocks of the same color identical), there are $\frac{12!}{2^6}$ in total, and $6! \cdot 6!$ even ones (a permutation of the six colors in the odd slots and another in the even slots). The probability is $\frac{6! \cdot 6! \cdot 2^6}{12!} = \frac{16}{231}.$

Since $\gcd(16, 231) = 1,$ the answer is $m + n = 16 + 231 = 247.$

10.

Tres esferas de radios $11,$ $13,$ y $19$ son mutuamente tangentes externamente. Un plano corta a las esferas en tres circunferencias congruentes con centros en $A,$ $B,$ y $C,$ respectivamente, y los centros de las esferas están todos del mismo lado de este plano. Supón que $AB^2 = 560.$ Halla $AC^2.$

Three spheres with radii $11,$ $13,$ and $19$ are mutually externally tangent. A plane intersects the spheres in three congruent circles centered at $A,$ $B,$ and $C,$ respectively, and the centers of the spheres all lie on the same side of this plane. Suppose that $AB^2 = 560.$ Find $AC^2.$

Respuesta

Conceptos:esfera Geometría 3D Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Si el centro de una esfera está a altura $h$ sobre el plano, su circunferencia tiene radio al cuadrado $r^2 - h^2;$ la congruencia relaciona las tres alturas

If a sphere’s center sits at height $h$ above the plane, its circle has radius squared $r^2 - h^2;$ congruence ties the three heights together

Pista grande:

$A$ y $B$ son los pies de los centros, así que $AB^2 = 24^2 - (h_2 - h_1)^2;$ combínalo con $h_2^2 - h_1^2 = 13^2 - 11^2$

$A$ and $B$ are the feet of the centers, so $AB^2 = 24^2 - (h_2 - h_1)^2;$ combine with $h_2^2 - h_1^2 = 13^2 - 11^2$

Solución:

Sean las alturas de los centros de las esferas $h_1, h_2, h_3$ sobre el plano. El centro de cada circunferencia es el pie de la perpendicular desde el centro de la esfera, y el radio común de las circunferencias $\rho$ satisface $\rho^2 = 11^2 - h_1^2$ $= 13^2 - h_2^2$ $= 19^2 - h_3^2.$

Las dos primeras esferas son tangentes, así que sus centros distan $11 + 13 = 24$ y proyectando sobre el plano, $AB^2 = 24^2 - (h_2 - h_1)^2.$ Por lo tanto $(h_2 - h_1)^2 = 576 - 560 = 16.$ La congruencia da $h_2^2 - h_1^2 = 169 - 121 = 48,$ así que $h_2 - h_1 = 4$ y $h_2 + h_1 = 12$ (el otro signo da una suma negativa), lo que produce $h_1 = 4,$ $h_2 = 8,$ y $\rho^2 = 121 - 16 = 105.$ Entonces $h_3^2 = 361 - 105 = 256,$ así que $h_3 = 16.$

El primer y el tercer centro distan $11 + 19 = 30,$ así que $\begin{aligned} AC^2 &= 30^2 - (h_3 - h_1)^2 \\ &= 900 - 144 = 756. \end{aligned}$

Let the sphere centers be at heights $h_1, h_2, h_3$ above the plane. Each circle’s center is the foot of the perpendicular from the sphere’s center, and the common circle radius $\rho$ satisfies $\rho^2 = 11^2 - h_1^2$ $= 13^2 - h_2^2$ $= 19^2 - h_3^2.$

The first two spheres are tangent, so their centers are $11 + 13 = 24$ apart, and projecting onto the plane, $AB^2 = 24^2 - (h_2 - h_1)^2.$ Thus $(h_2 - h_1)^2 = 576 - 560 = 16.$ Congruence gives $h_2^2 - h_1^2 = 169 - 121 = 48,$ so $h_2 - h_1 = 4$ and $h_2 + h_1 = 12$ (the other sign gives a negative sum), yielding $h_1 = 4,$ $h_2 = 8,$ and $\rho^2 = 121 - 16 = 105.$ Then $h_3^2 = 361 - 105 = 256,$ so $h_3 = 16.$

The first and third centers are $11 + 19 = 30$ apart, so $\begin{aligned} AC^2 &= 30^2 - (h_3 - h_1)^2 \\ &= 900 - 144 = 756. \end{aligned}$

11.

Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle BAD \lt 90^\circ.$ Una circunferencia tangente a los lados $\overline{DA},$ $\overline{AB},$ y $\overline{BC}$ corta a la diagonal $\overline{AC}$ en los puntos $P$ y $Q$ con $AP \lt AQ,$ como se muestra. Supón que $AP = 3,$ $PQ = 9,$ y $QC = 16.$ Entonces el área de $ABCD$ puede expresarse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

Let $ABCD$ be a parallelogram with $\angle BAD \lt 90^\circ.$ A circle tangent to sides $\overline{DA},$ $\overline{AB},$ and $\overline{BC}$ intersects diagonal $\overline{AC}$ at points $P$ and $Q$ with $AP \lt AQ,$ as shown. Suppose that $AP = 3,$ $PQ = 9,$ and $QC = 16.$ Then the area of $ABCD$ can be expressed in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:potencia de un punto recta tangente ley de los cosenos paralelogramo

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Potencia de un punto: $AP \cdot AQ = 36$ y $CQ \cdot CP = 400$ dan longitudes de tangente $6$ desde $A$ y $20$ desde $C$

Power of a point: $AP \cdot AQ = 36$ and $CQ \cdot CP = 400$ give tangent lengths $6$ from $A$ and $20$ from $C$

Pista grande:

Tangentes iguales obligan a $BC = AB + 14,$ y la tangencia a ambas rectas paralelas $AD$ y $BC$ da $AB \cos^2\!\frac{\angle A}{2} = 6;$ termina con la ley de cosenos sobre $AC = 28$

Equal tangents force $BC = AB + 14,$ and tangency to both parallel lines $AD$ and $BC$ gives $AB \cos^2\!\frac{\angle A}{2} = 6;$ finish with the law of cosines on $AC = 28$

Solución:

Por la potencia de un punto, $AP \cdot AQ = 3 \cdot 12 = 36$ y $CQ \cdot CP = 16 \cdot 25 = 400,$ así que las longitudes de tangente desde $A$ y $C$ son $6$ y $20.$ El punto de tangencia sobre $\overline{AB}$ está a $6$ de $A,$ y por tanto a $AB - 6$ de $B;$ tangentes iguales desde $B$ colocan el punto de tangencia sobre $\overline{BC}$ a esa misma distancia de $B,$ así que su distancia a $C$ es $BC - (AB - 6) = 20,$ lo que da $BC = AB + 14.$

Sea $\angle BAD = 2\theta.$ El centro está sobre la bisectriz de $\angle A$ con longitud de tangente desde $A$ igual a $6,$ así que el radio es $\rho = 6\tan\theta.$ La circunferencia es tangente a ambas rectas paralelas $AD$ y $BC,$ cuya distancia entre sí es $AB \sin 2\theta,$ así que $AB \sin 2\theta = 2\rho = 12 \tan\theta,$ que se simplifica a $AB \cos^2\theta = 6.$ En el triángulo $ABC,$ $\angle ABC = 180^\circ - 2\theta$ y $AC = 3 + 9 + 16 = 28,$ así que la ley de cosenos da $\begin{aligned} 784 &= AB^2 + BC^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot AB \cdot BC \cos 2\theta. \end{aligned}$ Sustituyendo $BC = AB + 14$ y $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1,$ los términos en $AB^2$ se cancelan y, usando $AB\cos^2\theta = 6,$ la ecuación se reduce a $24\,AB + 336 + 196 = 784,$ así que $AB = \frac{21}{2}$ y $\cos^2\theta = \frac{4}{7}.$

Entonces $\sin 2\theta = 2\sqrt{\frac{3}{7}}\sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{7},$ y el área es $\begin{aligned} &AB \cdot BC \sin 2\theta \\ &= \frac{21}{2} \cdot \frac{49}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \\ &= 147\sqrt{3}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $m + n = 147 + 3 = 150.$

By power of a point, $AP \cdot AQ = 3 \cdot 12 = 36$ and $CQ \cdot CP = 16 \cdot 25 = 400,$ so the tangent lengths from $A$ and $C$ are $6$ and $20.$ The tangent point on $\overline{AB}$ is $6$ from $A,$ hence $AB - 6$ from $B;$ equal tangents from $B$ put the tangent point on $\overline{BC}$ at that same distance from $B,$ so its distance from $C$ is $BC - (AB - 6) = 20,$ giving $BC = AB + 14.$

Let $\angle BAD = 2\theta.$ The center lies on the bisector of $\angle A$ with the tangent length from $A$ equal to $6,$ so the radius is $\rho = 6\tan\theta.$ The circle is tangent to both parallel lines $AD$ and $BC,$ whose distance apart is $AB \sin 2\theta,$ so $AB \sin 2\theta = 2\rho = 12 \tan\theta,$ which simplifies to $AB \cos^2\theta = 6.$ In triangle $ABC,$ $\angle ABC = 180^\circ - 2\theta$ and $AC = 3 + 9 + 16 = 28,$ so the law of cosines gives $\begin{aligned} 784 &= AB^2 + BC^2 \\ &\quad {}+ 2 \cdot AB \cdot BC \cos 2\theta. \end{aligned}$ Substituting $BC = AB + 14$ and $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1,$ the $AB^2$ terms cancel and, using $AB\cos^2\theta = 6,$ the equation collapses to $24\,AB + 336 + 196 = 784,$ so $AB = \frac{21}{2}$ and $\cos^2\theta = \frac{4}{7}.$

Then $\sin 2\theta = 2\sqrt{\frac{3}{7}}\sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{7},$ and the area is $\begin{aligned} &AB \cdot BC \sin 2\theta \\ &= \frac{21}{2} \cdot \frac{49}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} \\ &= 147\sqrt{3}, \end{aligned}$ so $m + n = 147 + 3 = 150.$

12.

Para cualquier conjunto finito $X,$ sea $|X|$ el número de elementos de $X.$ Define $S_n = \sum |A \cap B|,$ donde la suma se toma sobre todos los pares ordenados $(A, B)$ tales que $A$ y $B$ son subconjuntos de $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ con $|A| = |B|.$ Por ejemplo, $S_2 = 4$ porque la suma se toma sobre los siguientes pares de subconjuntos: $\begin{aligned} &(A, B) \in {}\\ &\quad \small\left\{\begin{gathered} (\emptyset, \emptyset), (\{1\}, \{1\}), \\ (\{1\}, \{2\}), (\{2\}, \{1\}), \\ (\{2\}, \{2\}), (\{1, 2\}, \{1, 2\}) \end{gathered}\right\}, \end{aligned}$ lo que da $S_2 = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 2 = 4.$ Sea $\frac{S_{2022}}{S_{2021}} = \frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla el residuo cuando $p + q$ se divide entre $1000.$

For any finite set $X,$ let $|X|$ denote the number of elements in $X.$ Define $S_n = \sum |A \cap B|,$ where the sum is taken over all ordered pairs $(A, B)$ such that $A$ and $B$ are subsets of $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ with $|A| = |B|.$ For example, $S_2 = 4$ because the sum is taken over the pairs of subsets $\begin{aligned} &(A, B) \in {}\\ &\quad \small\left\{\begin{gathered} (\emptyset, \emptyset), (\{1\}, \{1\}), \\ (\{1\}, \{2\}), (\{2\}, \{1\}), \\ (\{2\}, \{2\}), (\{1, 2\}, \{1, 2\}) \end{gathered}\right\}, \end{aligned}$ giving $S_2 = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 2 = 4.$ Let $\frac{S_{2022}}{S_{2021}} = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find the remainder when $p + q$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:subconjuntos combinaciones doble conteo Convolución de Vandermonde

Nivel de dificultad: 2990

Pista pequeña:

Intercambia el orden de la suma: para cada elemento, cuenta los pares $(A, B)$ con $|A| = |B|$ que lo contienen en ambos conjuntos

Swap the order of summation: for each element, count the pairs $(A, B)$ with $|A| = |B|$ that contain it in both sets

Pista grande:

$\sum_k \binom{n-1}{k-1}^2 = \binom{2n-2}{n-1},$ así que $S_n = n\binom{2n-2}{n-1};$ luego simplifica el cociente de términos consecutivos

$\sum_k \binom{n-1}{k-1}^2 = \binom{2n-2}{n-1},$ so $S_n = n\binom{2n-2}{n-1};$ then simplify the ratio of consecutive terms

Solución:

Cuenta elemento por elemento: $S_n$ es igual al número de ternas $(x, A, B)$ con $|A| = |B|$ y $x \in A \cap B.$ Para un $x$ fijo y un tamaño $k,$ hay $\binom{n-1}{k-1}$ elecciones para cada uno de $A$ y $B$ que contienen a $x,$ así que por la identidad de Vandermonde $\begin{aligned} S_n &= n \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}^2 \\ &= n\binom{2n-2}{n-1}. \end{aligned}$

Por lo tanto, $\begin{aligned} \frac{S_{2022}}{S_{2021}} &= \frac{2022\binom{4042}{2021}}{2021\binom{4040}{2020}} \\ &= \frac{2022}{2021} \cdot \frac{4042 \cdot 4041}{2021^2} \\ &= \frac{2 \cdot 2022 \cdot 4041}{2021^2}. \end{aligned}$ Como $2021 = 43 \cdot 47$ no divide ni a $2022,$ ni a $4041 = 3^2 \cdot 449,$ ni a $2,$ esta fracción está en su mínima expresión: $p = 2 \cdot 2022 \cdot 4041 = 16341804$ y $q = 2021^2 = 4084441.$

Entonces $p + q = 20426245,$ cuyo residuo módulo $1000$ es $245.$

Count element by element: $S_n$ equals the number of triples $(x, A, B)$ with $|A| = |B|$ and $x \in A \cap B.$ For a fixed $x$ and size $k,$ there are $\binom{n-1}{k-1}$ choices for each of $A$ and $B$ containing $x,$ so by the Vandermonde identity $\begin{aligned} S_n &= n \sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1}^2 \\ &= n\binom{2n-2}{n-1}. \end{aligned}$

Therefore $\begin{aligned} \frac{S_{2022}}{S_{2021}} &= \frac{2022\binom{4042}{2021}}{2021\binom{4040}{2020}} \\ &= \frac{2022}{2021} \cdot \frac{4042 \cdot 4041}{2021^2} \\ &= \frac{2 \cdot 2022 \cdot 4041}{2021^2}. \end{aligned}$ Since $2021 = 43 \cdot 47$ divides neither $2022,$ $4041 = 3^2 \cdot 449,$ nor $2,$ this fraction is in lowest terms: $p = 2 \cdot 2022 \cdot 4041 = 16341804$ and $q = 2021^2 = 4084441.$

Then $p + q = 20426245,$ whose remainder modulo $1000$ is $245.$

13.

Sea $S$ el conjunto de todos los números racionales que pueden expresarse como un decimal periódico de la forma $0.\overline{abcd},$ donde al menos uno de los dígitos $a,$ $b,$ $c,$ o $d$ es distinto de cero. Sea $N$ el número de numeradores distintos que se obtienen cuando los números de $S$ se escriben como fracciones en su mínima expresión. Por ejemplo, tanto $4$ como $410$ se cuentan entre los numeradores distintos de los números de $S$ porque $0.\overline{3636} = \frac{4}{11}$ y $0.\overline{1230} = \frac{410}{3333}.$ Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $S$ be the set of all rational numbers that can be expressed as a repeating decimal in the form $0.\overline{abcd},$ where at least one of the digits $a,$ $b,$ $c,$ or $d$ is nonzero. Let $N$ be the number of distinct numerators obtained when numbers in $S$ are written as fractions in lowest terms. For example, both $4$ and $410$ are counted among the distinct numerators for numbers in $S$ because $0.\overline{3636} = \frac{4}{11}$ and $0.\overline{1230} = \frac{410}{3333}.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:decimal periódico Función φ de Euler análisis por casos

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Cada elemento de $S$ es $\frac{k}{9999}$ con $1 \le k \le 9999$ y $9999 = 3^2 \cdot 11 \cdot 101$

Every element of $S$ is $\frac{k}{9999}$ with $1 \le k \le 9999$ and $9999 = 3^2 \cdot 11 \cdot 101$

Pista grande:

$m$ es un numerador exactamente cuando $m \le D$ y $\gcd(m, D) = 1$ para algún divisor $D$ de $9999.$ Clasifica $m$ según cuáles de $3,$ $11,$ o $101$ lo dividen.

$m$ is a numerator exactly when $m \le D$ and $\gcd(m, D) = 1$ for some divisor $D$ of $9999.$ Classify $m$ by which of $3,$ $11,$ or $101$ divide it.

Solución:

Cada elemento de $S$ es igual a $\frac{k}{9999}$ para algún $1 \le k \le 9999,$ donde $9999 = 3^2 \cdot 11 \cdot 101.$ En su mínima expresión esto es $\frac{m}{D}$ donde $D$ divide a $9999,$ $m \le D,$ y $\gcd(m, D) = 1;$ recíprocamente, cualquier $\frac{m}{D}$ de este tipo surge de $k = m \cdot \frac{9999}{D}.$ Así que $N$ cuenta los enteros $m$ que son a lo sumo, y coprimos con, algún divisor $D$ de $9999.$

Clasifica $m$ según cuáles de los primos $3,$ $11,$ o $101$ lo dividen, usando siempre el mayor divisor $D$ coprimo con $m.$ Si $\gcd(m, 9999) = 1,$ toma $D = 9999:$ hay $\varphi(9999) = 6000$ tales $m.$ Si solo $3$ divide a $m,$ toma $D = 11 \cdot 101 = 1111:$ los múltiplos de $3$ hasta $1111$ que evitan $11$ y $101$ suman $370 - 33 - 3 = 334.$ Si solo $11$ divide a $m,$ toma $D = 9 \cdot 101 = 909:$ eso da $82 - 27 = 55.$ Si solo $101$ divide a $m,$ entonces $D = 99 \lt 101$ no admite ninguno. Si $m$ es divisible por $33$ pero no por $101,$ toma $D = 101:$ los valores $33,$ $66,$ y $99$ dan $3$ más, y cualquier $m$ divisible por $3 \cdot 101$ o $11 \cdot 101$ necesitaría $D \le 11,$ lo cual es imposible.

Por lo tanto $N = 6000 + 334 + 55 + 3$ $= 6392,$ y el residuo módulo $1000$ es $392.$

Every element of $S$ equals $\frac{k}{9999}$ for some $1 \le k \le 9999,$ where $9999 = 3^2 \cdot 11 \cdot 101.$ In lowest terms this is $\frac{m}{D}$ where $D$ divides $9999,$ $m \le D,$ and $\gcd(m, D) = 1;$ conversely any such $\frac{m}{D}$ arises from $k = m \cdot \frac{9999}{D}.$ So $N$ counts the integers $m$ that are at most, and coprime to, some divisor $D$ of $9999.$

Classify $m$ by which of the primes $3,$ $11,$ or $101$ divide it, always using the largest divisor $D$ coprime to $m.$ If $\gcd(m, 9999) = 1,$ take $D = 9999:$ there are $\varphi(9999) = 6000$ such $m.$ If only $3$ divides $m,$ take $D = 11 \cdot 101 = 1111:$ multiples of $3$ up to $1111$ avoiding $11$ and $101$ number $370 - 33 - 3 = 334.$ If only $11$ divides $m,$ take $D = 9 \cdot 101 = 909:$ that gives $82 - 27 = 55.$ If only $101$ divides $m,$ then $D = 99 \lt 101$ admits none. If $m$ is divisible by $33$ but not by $101,$ take $D = 101:$ the values $33,$ $66,$ and $99$ give $3$ more, and any $m$ divisible by $3 \cdot 101$ or $11 \cdot 101$ would need $D \le 11,$ which is impossible.

Therefore $N = 6000 + 334 + 55 + 3$ $= 6392,$ and the remainder modulo $1000$ is $392.$

14.

Dado $\triangle ABC$ y un punto $P$ sobre uno de sus lados, llama a la recta $\ell$ la recta divisoria de $\triangle ABC$ a través de $P$ si $\ell$ pasa por $P$ y divide $\triangle ABC$ en dos polígonos de igual perímetro. Sea $\triangle ABC$ un triángulo donde $BC = 219$ y $AB$ y $AC$ son enteros positivos. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, y supón que las rectas divisorias de $\triangle ABC$ a través de $M$ y $N$ se cortan a $30^\circ.$ Halla el perímetro de $\triangle ABC.$

Given $\triangle ABC$ and a point $P$ on one of its sides, call line $\ell$ the splitting line of $\triangle ABC$ through $P$ if $\ell$ passes through $P$ and divides $\triangle ABC$ into two polygons of equal perimeter. Let $\triangle ABC$ be a triangle where $BC = 219$ and $AB$ and $AC$ are positive integers. Let $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, and suppose that the splitting lines of $\triangle ABC$ through $M$ and $N$ intersect at $30^\circ.$ Find the perimeter of $\triangle ABC.$

Respuesta

Conceptos:bisectriz ley de los cosenos Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Muestra que la recta divisoria a través de $M$ es paralela a la bisectriz desde $C:$ corta a $\overline{BC}$ en $X$ con $BX = s - \frac{c}{2},$ y $\angle BXM = \frac{C}{2}$

Show the splitting line through $M$ is parallel to the angle bisector from $C:$ it meets $\overline{BC}$ at $X$ with $BX = s - \frac{c}{2},$ and $\angle BXM = \frac{C}{2}$

Pista grande:

Las bisectrices desde $B$ y $C$ se cruzan a $90^\circ + \frac{A}{2},$ así que la condición de $30^\circ$ obliga a $\angle A = 120^\circ;$ luego haz que $4 \cdot 219^2 - 3(b+c)^2$ sea un cuadrado perfecto

The bisectors from $B$ and $C$ cross at $90^\circ + \frac{A}{2},$ so the $30^\circ$ condition forces $\angle A = 120^\circ;$ then make $4 \cdot 219^2 - 3(b+c)^2$ a perfect square

Solución:

Escribe $a = BC = 219,$ $b = CA,$ $c = AB,$ y $s$ para el semiperímetro. La recta divisoria a través de $M$ corta a $\overline{BC}$ en el punto $X.$ Al igualar los perímetros de las dos partes y cancelar el segmento común $\overline{MX},$ se obtiene $\frac{c}{2}+BX=\frac{c}{2}+b+(a-BX),$ por lo que $BX=\frac{a+b}{2}=s-\frac{c}{2}.$ En el triángulo $BMX,$ la ley de senos muestra $\angle BXM = \frac{C}{2}:$ esto requiere $c \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = (a + b)\sin\frac{C}{2},$ que se reduce mediante $a + b = 2R(\sin A + \sin B)$ $= 4R\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}$ y $c = 4R \sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ a $\sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{A - B}{2},$ cierto porque esos ángulos son complementarios. Por lo tanto, la recta divisoria a través de $M$ es paralela a la bisectriz desde $C,$ y de igual modo la que pasa por $N$ es paralela a la bisectriz desde $B.$

Las bisectrices internas desde $B$ y $C$ forman un ángulo de $90^\circ + \frac{A}{2} \gt 90^\circ,$ así que el ángulo agudo entre las dos rectas divisorias es $90^\circ - \frac{A}{2} = 30^\circ,$ lo que obliga a $\angle A = 120^\circ.$ La ley de cosenos da $\begin{aligned} 219^2 &= b^2 + c^2 + bc \\ &= (b + c)^2 - bc. \end{aligned}$ Pon $p = b + c,$ de modo que $bc = p^2 - 219^2$ y $b$ y $c$ son raíces de $t^2 - pt + (p^2 - 219^2),$ lo que exige que $4 \cdot 219^2 - 3p^2$ sea un cuadrado perfecto $k^2.$ Entonces $3$ divide a $k$ y $3$ divide a $p;$ escribir $p = 3r$ y $k = 3m$ convierte la condición en $m^2 + 3r^2 = 146^2.$ La desigualdad triangular $p \gt 219$ y $4 \cdot 219^2 \ge 3p^2$ restringen $74 \le r \le 84,$ y al revisarlos, solo $r = 80$ funciona, con $m = 46.$

Así que $b + c = 240$ y $bc = 240^2 - 47961 = 9639,$ lo que da $\{b, c\} = \{51, 189\},$ un triángulo válido. El perímetro es $219 + 240 = 459.$

Write $a = BC = 219,$ $b = CA,$ $c = AB,$ and $s$ for the semiperimeter. The splitting line through $M$ meets $\overline{BC}$ at the point $X.$ Equating the two piece perimeters and cancelling their common segment $\overline{MX}$ gives $\frac{c}{2}+BX=\frac{c}{2}+b+(a-BX),$ so $BX=\frac{a+b}{2}=s-\frac{c}{2}.$ In triangle $BMX,$ the law of sines shows $\angle BXM = \frac{C}{2}:$ this needs $c \sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = (a + b)\sin\frac{C}{2},$ which reduces via $a + b = 2R(\sin A + \sin B)$ $= 4R\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A - B}{2}$ and $c = 4R \sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}$ to $\sin\left(B + \frac{C}{2}\right) = \cos\frac{A - B}{2},$ true because those angles are complementary. Hence the splitting line through $M$ is parallel to the angle bisector from $C,$ and likewise the one through $N$ is parallel to the bisector from $B.$

The internal bisectors from $B$ and $C$ meet at $90^\circ + \frac{A}{2} \gt 90^\circ,$ so the acute angle between the two splitting lines is $90^\circ - \frac{A}{2} = 30^\circ,$ forcing $\angle A = 120^\circ.$ The law of cosines gives $\begin{aligned} 219^2 &= b^2 + c^2 + bc \\ &= (b + c)^2 - bc. \end{aligned}$ Set $p = b + c,$ so $bc = p^2 - 219^2$ and $b$ and $c$ are roots of $t^2 - pt + (p^2 - 219^2),$ requiring $4 \cdot 219^2 - 3p^2$ to be a perfect square $k^2.$ Then $3$ divides $k$ and $3$ divides $p;$ writing $p = 3r$ and $k = 3m$ turns the condition into $m^2 + 3r^2 = 146^2.$ The triangle inequality $p \gt 219$ and $4 \cdot 219^2 \ge 3p^2$ restrict $74 \le r \le 84,$ and checking these, only $r = 80$ works, with $m = 46.$

So $b + c = 240$ and $bc = 240^2 - 47961 = 9639,$ giving $\{b, c\} = \{51, 189\}$ — a valid triangle. The perimeter is $219 + 240 = 459.$

15.

Sean $x,$ $y,$ y $z$ números reales positivos que satisfacen el sistema de ecuaciones $\sqrt{2x - xy} + \sqrt{2y - xy} = 1$ $\sqrt{2y - yz} + \sqrt{2z - yz} = \sqrt{2}$ $\sqrt{2z - zx} + \sqrt{2x - zx} = \sqrt{3}.$ Entonces $\left[(1 - x)(1 - y)(1 - z)\right]^2$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ be positive real numbers satisfying the system of equations $\sqrt{2x - xy} + \sqrt{2y - xy} = 1$ $\sqrt{2y - yz} + \sqrt{2z - yz} = \sqrt{2}$ $\sqrt{2z - zx} + \sqrt{2x - zx} = \sqrt{3}.$ Then $\left[(1 - x)(1 - y)(1 - z)\right]^2$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones identidad trigonométrica sustitución

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Factoriza cada radical como $\sqrt{x(2 - y)}$ y sustituye $x = 2\sin^2\alpha,$ $y = 2\sin^2\beta,$ $z = 2\sin^2\gamma$

Factor each radical as $\sqrt{x(2 - y)}$ and substitute $x = 2\sin^2\alpha,$ $y = 2\sin^2\beta,$ $z = 2\sin^2\gamma$

Pista grande:

Cada ecuación se reduce por la fórmula de adición a $2\sin(\alpha + \beta) = 1,$ etc.; resuelve el pequeño sistema lineal para los ángulos y usa $1 - 2\sin^2\theta = \cos 2\theta$

Each equation collapses by the addition formula to $2\sin(\alpha + \beta) = 1,$ etc.; solve the little linear system for the angles and use $1 - 2\sin^2\theta = \cos 2\theta$

Solución:

Cada radicando se factoriza: $2x - xy = x(2 - y),$ y análogamente los demás, así que $0 \lt x, y, z \le 2.$ Sustituyamos $x = 2\sin^2\alpha,$ $y = 2\sin^2\beta,$ $z = 2\sin^2\gamma$ con $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0^\circ, 90^\circ\right].$ Entonces $\sqrt{x(2 - y)} = \sqrt{4\sin^2\alpha\cos^2\beta}$ $= 2\sin\alpha\cos\beta,$ y cada ecuación se reduce mediante la fórmula de suma del seno: $2\sin(\alpha + \beta) = 1,$ $2\sin(\beta + \gamma) = \sqrt{2},$ $2\sin(\gamma + \alpha) = \sqrt{3}.$

Una elección admisible es $\alpha + \beta = 30^\circ,$ $\beta + \gamma = 45^\circ,$ $\gamma + \alpha = 60^\circ,$ que da $\alpha = 22.5^\circ,$ $\beta = 7.5^\circ,$ $\gamma = 37.5^\circ.$ La única otra rama compatible con $0^\circ \lt \alpha,\beta,\gamma \le 90^\circ$ usa sumas por pares $150^\circ,135^\circ,120^\circ,$ y da $\alpha = 67.5^\circ,$ $\beta = 82.5^\circ,$ $\gamma = 52.5^\circ;$ su producto de abajo es el opuesto del de la primera rama, así que el cuadrado pedido es igual. Para la primera rama, la identidad de ángulo doble da $1 - x = \cos 2\alpha = \cos 45^\circ,$ $1 - y = \cos 15^\circ,$ y $1 - z = \cos 75^\circ.$

Por tanto, $\begin{aligned} &(1 - x)(1 - y)(1 - z) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\cos 15^\circ \\ &\quad {}\cdot \sin 15^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \end{aligned}$ cuyo cuadrado es $\frac{2}{64} = \frac{1}{32}.$ Así, $m + n = 1 + 32 = 33.$

Each radicand factors: $2x - xy = x(2 - y),$ and so on, so $0 \lt x, y, z \le 2.$ Substitute $x = 2\sin^2\alpha,$ $y = 2\sin^2\beta,$ $z = 2\sin^2\gamma$ with $\alpha, \beta, \gamma \in \left(0^\circ, 90^\circ\right].$ Then $\sqrt{x(2 - y)} = \sqrt{4\sin^2\alpha\cos^2\beta}$ $= 2\sin\alpha\cos\beta,$ and each equation collapses by the sine addition formula: $2\sin(\alpha + \beta) = 1,$ $2\sin(\beta + \gamma) = \sqrt{2},$ $2\sin(\gamma + \alpha) = \sqrt{3}.$

One admissible choice is $\alpha + \beta = 30^\circ,$ $\beta + \gamma = 45^\circ,$ $\gamma + \alpha = 60^\circ,$ which gives $\alpha = 22.5^\circ,$ $\beta = 7.5^\circ,$ $\gamma = 37.5^\circ.$ The only other branch consistent with $0^\circ \lt \alpha,\beta,\gamma \le 90^\circ$ uses pairwise sums $150^\circ,135^\circ,120^\circ,$ giving $\alpha = 67.5^\circ,$ $\beta = 82.5^\circ,$ $\gamma = 52.5^\circ;$ its product below is the negative of the first branch’s product, so the requested square is identical. For the first branch, the double-angle identity gives $1 - x = \cos 2\alpha = \cos 45^\circ,$ $1 - y = \cos 15^\circ,$ and $1 - z = \cos 75^\circ.$

Therefore $\begin{aligned} &(1 - x)(1 - y)(1 - z) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\cos 15^\circ \\ &\quad {}\cdot \sin 15^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{8}, \end{aligned}$ whose square is $\frac{2}{64} = \frac{1}{32}.$ Thus $m + n = 1 + 32 = 33.$