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2001 AIME I Problema 9

Intenta el Problema 9 del 2001 AIME I a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AIME I, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

En el triángulo ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=15,BC = 15, y CA=17.CA = 17. El punto DD está sobre AB‾,\overline{AB}, EE está sobre BC‾,\overline{BC}, y FF está sobre CA‾.\overline{CA}. Sean AD=p⋅AB,AD = p \cdot AB, BE=q⋅BC,BE = q \cdot BC, y CF=r⋅CA,CF = r \cdot CA, donde p,p, q,q, y rr son positivos y cumplen p+q+r=23p + q + r = \frac{2}{3} y p2+q2+r2=25.p^2 + q^2 + r^2 = \frac{2}{5}. La razón entre el área del triángulo DEFDEF y el área del triángulo ABCABC puede escribirse en la forma mn,\frac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. Halla m+n.m + n.
In triangle ABC,ABC, AB=13,AB = 13, BC=15,BC = 15, and CA=17.CA = 17. Point DD is on AB‾,\overline{AB}, EE is on BC‾,\overline{BC}, and FF is on CA‾.\overline{CA}. Let AD=p⋅AB,AD = p \cdot AB, BE=q⋅BC,BE = q \cdot BC, and CF=r⋅CA,CF = r \cdot CA, where p,p, q,q, and rr are positive and satisfy p+q+r=23p + q + r = \frac{2}{3} and p2+q2+r2=25.p^2 + q^2 + r^2 = \frac{2}{5}. The ratio of the area of triangle DEFDEF to the area of triangle ABCABC can be written in the form mn,\frac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. Find m+n.m + n.
Respuesta: 61
Conceptos:razón de áreassimetría (álgebra)manipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2560
Pista pequeña:
Resta los tres triángulos de las esquinas: [DEF][ABC]=1\frac{[DEF]}{[ABC]} = 1 −p(1−r)- p(1-r) −q(1−p)- q(1-p) −r(1−q)- r(1-q)
Subtract the three corner triangles: [DEF][ABC]=1\frac{[DEF]}{[ABC]} = 1 −p(1−r)- p(1-r) −q(1−p)- q(1-p) −r(1−q)- r(1-q)
Pista grande:
pq+qr+rp=(p+q+r)2−(p2+q2+r2)2pq + qr + rp = \frac{(p+q+r)^2 - (p^2+q^2+r^2)}{2}
Solución:
El área de cada triángulo de esquina es el producto de las proporciones correspondientes sobre los lados: [ADF]=p(1−r)[ABC],[ADF] = p(1-r)[ABC], [BED]=q(1−p)[ABC],[BED] = q(1-p)[ABC], y [CFE]=r(1−q)[ABC],[CFE] = r(1-q)[ABC], usando la fórmula 12xysin⁡θ\frac{1}{2}xy\sin\theta con los ángulos compartidos. Restando, [DEF][ABC]=1−p(1−r)−q(1−p)−r(1−q)=1−(p+q+r)+(pq+qr+rp). \begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &= 1 - p(1-r) \\ &\quad {}- q(1-p) - r(1-q) \\ &= 1 - (p+q+r) \\ &\quad {}+ (pq+qr+rp). \end{aligned}
A partir de los valores dados, pq+qr+rp=(23)2−252pq + qr + rp = \frac{(\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{5}}{2} =49−252= \frac{\frac{4}{9} - \frac{2}{5}}{2} =145.= \frac{1}{45}.
Por lo tanto la razón es 1−23+145=1645,1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{45} = \frac{16}{45}, y m+n=16+45=61.m + n = 16 + 45 = 61.
Each corner triangle’s area is a product of side fractions: [ADF]=p(1−r)[ABC],[ADF] = p(1-r)[ABC], [BED]=q(1−p)[ABC],[BED] = q(1-p)[ABC], and [CFE]=r(1−q)[ABC],[CFE] = r(1-q)[ABC], using the formula 12xysin⁡θ\frac{1}{2}xy\sin\theta on the shared angles. Subtracting, [DEF][ABC]=1−p(1−r)−q(1−p)−r(1−q)=1−(p+q+r)+(pq+qr+rp). \begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &= 1 - p(1-r) \\ &\quad {}- q(1-p) - r(1-q) \\ &= 1 - (p+q+r) \\ &\quad {}+ (pq+qr+rp). \end{aligned}
From the given values, pq+qr+rp=(23)2−252pq + qr + rp = \frac{(\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{5}}{2} =49−252= \frac{\frac{4}{9} - \frac{2}{5}}{2} =145.= \frac{1}{45}.
Therefore the ratio is 1−23+145=1645,1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{45} = \frac{16}{45}, and m+n=16+45=61.m + n = 16 + 45 = 61.
Problema 8#8
Examen completo
Problema 10#10

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